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[Jarni]

Originariamente inviato da The-Revenge

si avevo solo bisogno di quella quella disequazione, perchè le altre cose le so fare.

Nella fattispecie ho questo integrale triplo : z^2 nel dominio x^2 + y^2 +z^2 < 1, x^2 > y^2 + z^2, x>0.

Passando in coordinate sferiche, dalla prima ricavo 1<rho<0 ; dalla terza ottengo rho*cos(theta)*sin(phi) >0, da cui ricavo -p/2<theta<p/2 e 0<phi<p
(dove p è pigreco); in realtà otterei anche un altra coppia di angoli, dove entrambi sono negativi e quindi il prodotto e positivo, ma visto che in quella coppia l'azimut varia da pigreco a 2pigreco, e questo non è possibile, ho considerato solo la prima.
La disequazione che ho postato deriva dalla seconda disequazione, cioè x^2 >y^2+z^2.
Dopo aver sostituisco i parametri sferici, fatto alcune trasformazioni per semplificarla, ottengo quella disequazione che ho postato...

Credo che è tutto

Premessa: prendi tutto con le pinze.

Se usi questo cambio di coordinate:

x=rho*sin(theta)*cos(phi)
y=rho*sin(theta)*sin(phi)
z=rho*cos(theta)
rho>0
0<theta<pi
-pi<phi<pi

Avrai l'utile proprietà che sin(theta) sarà sempre positiva.
Otterrai, quindi:

0<rho<1
-pi/2<phi<pi/2 (data da cos(phi)>0)

e la condizione:

2*cos(phi)^2*sin(theta)^2>1

Data la positività sia di cos(phi) che di sin(theta), possiamo fare la radice quadrata ottenendo:

sin(theta)>1/(sqrt(2)*cos(phi))

Tuttavia, sin(theta) non potrà mai essere maggiore di 1, quindi il secondo membro deve essere minore di 1:

1/(sqrt(2)*cos(phi))<1 ovvero cos(phi)>1/sqrt(2)

il che implica

-pi/4<phi<pi/4

condizione più restrittiva della precedente su phi. E infatti la sostituiremo...

Come detto, sotto questa considerazione:

sin(theta)>1/(sqrt(2)*cos(phi))

theta avrà questi estremi:

arcsin(1/(sqrt(2)*cos(phi)))<theta<pi-arcsin(1/(sqrt(2)*cos(phi)))

e le altre coordinate:

0<rho<1
-pi/4<phi<pi/4

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da The-Revenge

si avevo solo bisogno di quella quella disequazione, perchè le altre cose le so fare.

Nella fattispecie ho questo integrale triplo : z^2 nel dominio x^2 + y^2 +z^2 < 1, x^2 > y^2 + z^2, x>0.

Passando in coordinate sferiche, dalla prima ricavo 1<rho<0 ; dalla terza ottengo rho*cos(theta)*sin(phi) >0, da cui ricavo -p/2<theta<p/2 e 0<phi<p
(dove p è pigreco); in realtà otterei anche un altra coppia di angoli, dove entrambi sono negativi e quindi il prodotto e positivo, ma visto che in quella coppia l'azimut varia da pigreco a 2pigreco, e questo non è possibile, ho considerato solo la prima.
La disequazione che ho postato deriva dalla seconda disequazione, cioè x^2 >y^2+z^2.
Dopo aver sostituisco i parametri sferici, fatto alcune trasformazioni per semplificarla, ottengo quella disequazione che ho postato...

Credo che è tutto

Disclaimer: sto cercando di visualizzare 'sto dominio senza carta e penna quindi potrei dire boiate.

La prima disequazione identifica i punti interni a una sfera di raggio 1.

Le altre due messe insieme dovrebbero essere la parte interna di una delle due falde del cono di vertice l'origine, apertura pi/4 e con l'asse coincidente con l'asse x (in particolare, la falda che si sviluppa lungo il semiasse positivo).

Quindi il tuo dominio sarebbe questo cono "tappato" da una calotta sferica.

Se questo è corretto, le coordinate più naturali mi sembrano le coordinate sferiche, ma messe in modo tale che la x giochi il ruolo della z (in pratica theta è l'angolo che il vettore posizione forma con x e phi "gira" sul piano yz invece che sul piano xy)...quindi la trasformazione sarà una roba tipo x=rho*cos(theta), y=rho*sin(phi)*cos(theta), z=rho*sin(phi)*sin(theta).

In questo modo i limiti di integrazione dovrebbero risultare facili: rho varia tra 0 e 1, theta varia da 0 a pi/4 e phi fa tutto il giro da 0 a 2pi.

Vedi un po' se può funzionare (probabilmente no).

Comunque, cerca sempre di visualizzare che diavolo di oggetto sia il dominio...è molto utile per controllare di non aver fatto sciocchezze cercando l'intervallo in cui variano le nuove coordinate.

[Walkerboh86]

Spero di trovare almeno un suggerimento per risolvere questo esercizio....
Allora: Sia D il triangolo formato dai vertici (0,0) (0,2) e (1,0) e si consideri la funzione f(x,y)= e^(x+y) per (x,y) appartenente a D. Si calcoli:
a)il flusso attraverso il grafico di f del campo vettoriale F (x,y,z)=(1,3,2z);
b)il volume del cilindroide C associato ad f ;
c) il flusso di F uscente da C;

E' il testo di un esercizio di un compito di matematica E ad ingegneria....se qualcuno di grazia mi puo' dare una mano avra' per sempre il mio riconoscimento...

PS: scusatemi ma non so usare il latex.....

[The-Revenge]

Originariamente inviato da Jarni

CUT

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

CUT

grazie mille ad entrambi; per quanto riguarda il metodo di jarni, sembra corretto ma troppo macchinoso, almeno per quanto riguarda gli estremi di integerazione di theta.
L'idea di cristina invece l'avevo avuta anchio, cioè considerare la x come rho*cos(theta) al posto della z, però mi frenava il fatto che non sapevo se si potesse fare

EDIT : ho provato il metodo di cristina e sembra funzionare, ancora qualche dubbio mi rimane sugli estremi dell'azimut, che lei chiama theta, io chiamo phi , poco cambia in sostanza.
Comunque, x=rho*cos(phi) , la seconda equazione si semplifica di molto, e alla fine ottengo : tg(phi)^2 > 1. Fatta la semplice equazione, trovo che la soluzione è : (3/2)pi<phi<pi/2 e (5/4)pi<phi<(3/2)phi. Come simmetria geometrica ci siamo, sono gli "spicchi" esterni al cono quando interseca la sfera.
Adesso il mio dubbio è : siccome l'azimut varia da 0 a pi, devo considerare solamente il primo range, dato che il secondo è totalmente fuori il "campo di esistenza" dell'azimut?
EDIT2 : mi correggo ancora, siccome dalla condizione x>0 ho ricavato anche che 0<phi<phi/2, secondo quanto detto prima dovrebbe essere, con l'unione,0<phi<(3/4)pi

[jestermask]

Mi sono incastrato su inf e sup di una funzione.

Se ho l'insieme tipo tutto N riesco a svolgerla tranquillamente (ad esempio A= n/n+1 con n € N) però quando mi danno un'insieme del tipo (0, 1] non capisco se devo cercare sup/inf di quella funzione usando solo i valori contenuti nell'insieme fornito oppure devo fare altro.

Ad esempio devo svolgere:

a) x^3 (0, 1]
b) 1+2x [-1, 2]
c) 1/(x+2) (-2, 0]

Come vanno svolti esattamente?

[idt_winchip]

Ciao ragazzi,
Ho questo integrale


INTEGRALE DI [ log(x) / (x+1)^2) ]

Penso di doverlo risolvere con l'integrazione per parti ma non sto avendo successo.
Ho visto che il risultato è xlog(x)/(x+1) -log(x+1), ma non riesco a ottenerlo.
Qualcuno mi può suggerire qualche cosa per svolgerlo?

[jestermask]

Guarda io ho chiamato (x+1) = u e ho riscritto:

log(x) / u^2 tutto in du e poi l'ho riscritto:

log(x) + u^-2 sempre in du e ho derivato per parti con g(x) = log(x) g'(x) = 1/x f'(x) u^-2 e f(x) -u^-1

seguento la formula: f'g = fg - S(fg')
S = simbolo di integrale

e poi svolgendo il tutto sono arrivato a:

-log(x) / (x+1) - S(-u^-1)/x che risvolgendo esce fuori:

-logx(x+1) + xlog(x+1)

Anche se non mi convince molto l'ultimo parte che ho svolto puo' esserti utile?

[ShadowMan]

Devo studiare l'andamento delle seguente serie con n>1 al variare del parametro x.



Usando il metodo della radice devo calcolarmi il limite n->+oo di

|xn|
------------------------------------------
x^2 + 1[ integrale tra 0 e n(arctg(t^3)dt)]

La parte difficile è l'integrale. L'ho sviluppato per parti e
integrale tra 0 e n(arctg(t^3)dt) = n*arctg(n^3) - int tra 0..n [t/(1+t^6) dt]

Ora ho visto che succedeva al restante integrale per n->+00
int tra 0..n [t/(1+t^6) dt] ~ t/t^6 = 1/t^5 e quindi converge.

Riscrivo il limite iniziale lim n->+oo
|xn|
------------------- ~
x^2 + n*arctg(n^3)

|xn|
------------- =
x^2 + n(pi/2)

|x|
---------
n(pi/2)

Quindi la serie converge se |x| < pi/2, diverge se |x| > pi/2.

secondo voi è giusto?

[^Coman]

Qualcuno mi sa risolvere il seguente limite:

lim (x,y)->(0,0) sen(x-3y)/sqrt(x^2+3y^2)

Io avevo provato a semplificare la funzione eliminando il seno usando il limite notevole, per poi trovarmi un valore candidato e verificarlo passando alle cordinate polari. Ma non ne vengo fuori non riuscendo a ricondurmi ad una forma del tipo sen(x)/x per applicare il limite notevole.
Qualcuno mi sa dare un indicazione su come procedere?
Grazie

[marco XP2400+]

perchè:
nel considerare angoli piccoli si approssima il seno con l'angolo

sen(dteta)=dteta

[sekkia]

Perché

lim       sen(x) = 1
x->0     -------
            x

Quindi sono infinitesimi dello stesso ordine.

[Jarni]

Originariamente inviato da marco XP2400+

perchè:
nel considerare angoli piccoli si approssima il seno con l'angolo

sen(dteta)=dteta

Se è una domanda, perché se guardi il piano di Gauss la lunghezza dell'arco e il suo seno vanno a coincidere se diminuisci l'angolo.

[The-Revenge]

ragazzi dovrei fare la dimostrazione che la varianza della distribuzione di poisson è lamba. Solo che a me esce lamba^2 + lamba. Mi aiutate? Io ho fatto la trasformazione x^2 = x(x-1)+x e ho diviso in due serie.
EDIT : risolto, mi dimenticavo di fare la formula della varianza, il risultato che mi usciva era semplicemente E[X^2] -.-'

[MetalDetector]

Ciao a tutti!

Ho una serie numerica a termini positivi, tale che:

somma (n=0 ... +oo) an ---> CONVERGE


Cosa si può dire su:

somma (n=0 ... +oo) (an)^3

somma (n=0 ... +oo) (an)^2


Grazie!

[kierlo]

dato che condizione necessaria e sufficiente affinchè serie di an converga è che an->o per n->+inf, si ha che an^3 ->0 molto + rapidamente di an.

an^2 il caso è diverso, dato che diventa una serie a termini positivi, mentre an non lo è necessariamente..e quindi le cose cambiano:
serie di an potrebbe convergere per leibniz e non convergere assolutamente..per es..

[MetalDetector]

Originariamente inviato da kierlo

dato che condizione necessaria e sufficiente affinchè serie di an converga è che an->o per n->+inf, si ha che an^3 ->0 molto + rapidamente di an.

an^2 il caso è diverso, dato che diventa una serie a termini positivi, mentre an non lo è necessariamente..e quindi le cose cambiano:
serie di an potrebbe convergere per leibniz e non convergere assolutamente..per es..

Ciao,
grazie per avermi risposto. Non mi sono chiare due cose:
1) La condizione che hai enunciato è condizione necessaria, ma NON sufficiente! Prendi 1/n: come serie diverge eppure il limite fa zero! Se la serie converge posso dire che an tende a zero!

2) La serie an di partenza è a termini positivi, me lo dice la traccia

[xxxyyy]

Un aiuto... sono arrugginito anche con le serie...



Converge, se si' perche'? e a che funzione?

x e a sono positivi (reali).

Grazie

[MetalDetector]

Originariamente inviato da xxxyyy

Un aiuto... sono arrugginito anche con le serie...



Converge, se si' perche'? e a che funzione?

x e a sono positivi (reali).

Grazie

Ciao,
prova a fare così: innanzitutto "butta fuori" quell'x dalla serie: è un parametro reale e NON ne altera la convergenza. Poi poni e^(-n/alpha) = t e trova il raggio di convergenza come serie di potenze e infine verifica negli estremi l'eventuale convergenza semplice.
ATTENZIONE, però: trattandosi di una serie di funzioni che NON è "nativamente" una serie di potenze, non vale il teorema per cui esiste convergenza uniforme/totale in ogni sottointervallo aperto incluso nell'intervallo di convergenza puntuale dapprima trovato. Per determinare questi altri due tipi di convergenza devi usare i criteri "canonici" (trovare una serie maggiorante ecc....).

Spero di non aver detto castronerie e mi scuso per il linguaggio poco matematico

[xxxyyy]

Originariamente inviato da MetalDetector

Ciao,
prova a fare così: innanzitutto "butta fuori" quell'x dalla serie: è un parametro reale e NON ne altera la convergenza. Poi poni e^(-n/alpha) = t e trova il raggio di convergenza come serie di potenze e infine verifica negli estremi l'eventuale convergenza semplice.
ATTENZIONE, però: trattandosi di una serie di funzioni che NON è "nativamente" una serie di potenze, non vale il teorema per cui esiste convergenza uniforme/totale in ogni sottointervallo aperto incluso nell'intervallo di convergenza puntuale dapprima trovato. Per determinare questi altri due tipi di convergenza devi usare i criteri "canonici" (trovare una serie maggiorante ecc....).

Spero di non aver detto castronerie e mi scuso per il linguaggio poco matematico

Il problema sta proprio li'.
Dovrei dimostrare la convergenza uniforme per poi usare il trucco della derivata... derivata della serie uguale serie della derivate.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da MetalDetector

Ciao a tutti!

Ho una serie numerica a termini positivi, tale che:

somma (n=0 ... +oo) an ---> CONVERGE


Cosa si può dire su:

somma (n=0 ... +oo) (an)^3

somma (n=0 ... +oo) (an)^2


Grazie!

Se la serie converge, allora la successione è infinitesima, per cui esiste tale che per .
Visto che gli sono positivi, quali che siano ed hai .
Applica il criterio del rapporto.