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[pazuzu970]

Originariamente inviato da flapane

[ot]
@pazuzu hai un'altra mail? quella a cui volevo risponderti @virgilio.it dice: bad destination mailbox address

Ora ti scrivo in pvt.

[elmoro]

Originariamente inviato da elmoro

scusate ma sono molto arrugginito... se ho un'espressione del genere:

arctg(0.5w)-arctg(w)+arctg(0.1w)=0

come cavolo procedo?

soluzione trovata: la pulsazione si trova semplicemente facendo la tangente: mi ero incasinato con la calcolatrice che era settata per i grasi anzichè i radianti....

[nin]

Sono ancora io!
Stavolta la tipologia di esercizio è un pò diversa, si tratta di una dimostrazione.

Sia {Un} una base ortonormale di vettori in L2(a,b), dimostrare che un vettore v appartenente a questo spazio è equidistante dai vettori base cui è ortogonale.

Definiamo innanzi tutto il prodotto scalare (tralasciamo il peso) fra 2 vettori, g e f, in questo spazio:



e la distanza sempre fra f, g:



Sia un vettore generico della base cui v è ortogonale.

Ho pensato di procedere così, svolgendo il quadrato nell'integrale:


Ora:

perchè vettore unitario

perchè ortogonali

e in definitiva



...che non dipende dal vettore di base ortonormale preso in considerazione e quindi è costante.

Che ne dite, regge?
Era nel compito scritto d'esame che ho sostenuto pochi giorni fa, probabilmente mi verrà chiesto di spiegare e correggere gli errori all'orale e vorrei avere le idee chiare.

Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da nin

Sia {Un} una base ortonormale di vettori in L2(a,b), dimostrare che un vettore v appartenente a questo spazio è equidistante dai vettori base cui è ortogonale.


CUT

Che ne dite, regge?

Mi pare di sì.

E credo si possa generalizzare a uno spazio con prodotto scalare, reale o complesso; ora ci provo.
Sia V uno spazio con prodotto scalare <v,w>, e sia {v[j], j in I} una base di V.
Per j e k qualsiasi in I con j<>k hai

d(v[j],v[k])^2 = <v[i]-v[j],v[i]-v[j]>
               = <v[j],v[j]> + <-v[k],v[j]> + <v[j],-v[k]> + <-v[k],-v[k]>
               = <v[j],v[j]> - <v[k],v[j]> - <v[j],-v[k]> + <v[k],v[k]>
               = 1 - 0 - 0 + 1

quindi d(v[j],v[k]) = sqrt(2) in ogni caso.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

come calcolo il determinante di una matrice infinita?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da dijo

come calcolo il determinante di una matrice infinita?

La cosa non è per niente immediata se uno ha fatto solo la matematica del biennio.
Ho fatto un giro su Wikipedia, ed è saltata fuori una definizione che usa l'esponenziale di matrici.

La cosa funziona più o meno così.
Una matrice è fondamentalmente un operatore lineare continuo A su uno spazio di Banach separabile V. Chiamiamo L(V) lo spazio di tutti questi operatori.
Puoi definire l'esponenziale di A come



Nota che questa quantità è ben definita, perché se V è uno spazio di Banach, allora L(V) è a sua volta uno spazio di Banach.
A sua volta, l'esponenziale è un morfismo suriettivo del gruppo additivo L(V) nel gruppo moltiplicativo GL(V) degli elementi invertibili di L(V). Allora una determinazione del logaritmo di una matrice invertibile J, è una mappa log : GL(V) --> L(V) tale che exp log J = J per ogni J in GL(V).
Bada che, in generale, se J è una matrice, allora log J è una matrice a elementi complessi.

Ora, facendo due conti vedi che, se A è una matrice finita, allora



dove la traccia di A è la somma dei suoi autovalori. Ma allora puoi definire



anche se A è infinita.

Ci sono dei metodi più semplici se A è diagonalizzabile, e altri metodi che impiegano la forma canonica di Jordan.
Qualche link:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_logarithm

[vermaccio]

Equazione differenziale di PRIMO grado a coefficienti costanti (K=cost)

dot_x+K*x=g(x)

dove g(x) è una funziona positiva crescente di cui (sgrunt!) NON è nota l'equazione (so solo che è sempre positiva e cresce con la x).

come calcolo l'integrale particolare? o, meglio, conoscendo che g(x) è positiva crescente, che proprietà posso evincere sulla soluzione globale x(t) dell'eq. differenziale?

Se fosse stato
dot_x+K*x=0
avrei avuto
x(t)=cost*e^-Kt che decresce esponenzialmente a zero.

Avendo però anche g(x), la presenza del termine g(x) positivo crescente come modifica la soluzione x(t)?

[Ziosilvio]

Tu sai che l'equazione omogenea associata



ha soluzioni



Per trovare la soluzione particolare puoi usare il metodo di variazione della costante arbitraria: se infatti A non fosse costante, ma variasse anche lei a seconda di t, l'equazione diventerebbe



che però equivale a



che ha soluzione



A questo punto, x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare.

EDIT: quindi g è funzione di x, e non di t?

[vermaccio]

opps! g(t) anch'essa.

[vermaccio]

x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare
dove


sin qui tutto ok.

però sapendo che f(t) è sempre positiva e crescente allora la funzione

che andamento avrà?
dovrebbe essere crescente perchè g(t) cresce ed è sempre positivo e la stessa cosa e^ks.

come si modifica in generale la soluzione rispetto a quella omogenea [ ovvero differenza tra il caso con e senza la g(x)]?

a causa dell'"agiunta! della A(t) crescente ho un "accrescimento" dei valori di e^-kt.

poichè nel tempo e^-kt va a zero mentre A(t) cresce sempre di più che accade?

all'inizio x(t) dovrebbe non variare (A(t) basso e e^-kt alto). Poi x(t) aumenta rispetto al caso omogeneo (E^-kt diminuito ma A(t) aumentato. Oltre un certo valore e^-kt avrà valori tanto bassi (tende a zero) che i valori elevati (ssimi) di A(t) non riscnono ad aumentala "molto".

esatto?

quindi visto un andamento esponenziale che cala a zero dovrai avere una prima parte che decrescepiù lentamente e poi un a parte che descresce più velocemente? insomma cme una "gobba" al centro?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da vermaccio

però sapendo che f(t) è sempre positiva e crescente allora la funzione

che andamento avrà?
dovrebbe essere crescente perchè g(t) cresce ed è sempre positivo e la stessa cosa e^ks.

exp(Ks) è crescente in s se e solo se K>0.
Ora, se moltiplichi due funzioni monotone crescenti positive, ottieni una funzione monotona crescente positiva; ma se una delle due funzioni non ha uno di 'sti due requisiti, non è detto a priori cosa farà il prodotto.

come si modifica in generale la soluzione rispetto a quella omogenea [ ovvero differenza tra il caso con e senza la g(x)]?

Ogni soluzione dell'equazione è somma di una soluzione particolare e di una soluzione dell'omogenea associata.

poichè nel tempo e^-kt va a zero mentre A(t) cresce sempre di più che accade?

Dipende da come cresce A(t).

[vermaccio]

K è positiva e la g(t) sempre positiva e crescente.

il problema è "come" cresce.

ho una telecamera che inquadra un oggetto (una sfera) distante quindi sullo schermo vedo un cerchietto.
se avvicino la camera all'oggetto con velox costante l'area del cerchietto aumenta (la sfera è sempre più vicina alla camera) MA man mano che mi avvicino cresce sempre di più. infatti se è molto lontana anche un grande avvicinamento ingrandisce poco l'area. se sono molto vicino anche un piccolo avvicinamento la ingrandisce molto.

la g(t) è la legge di accrescimento di quell'area.

secondo te la x(t) che forma avrà?

[vermaccio]

scusa. per una serie di motivi troppo lunghi a dirsi è:

la legge ha un andamento del tipo g(t)=cost/(t^3)

secondo te , quindi, la soluzione particolare e quella complessiva che andamento avranno?

[webmagic]

perdonatemi, un quesito:
sqr( (-w^2+1)^2 + (2w)^2 ) = 2

risolvo ed ottengo: sqr ( w^4+1-2w^2+4w^2 ) = 2;

ora le strade sono due:

1a: elevo al quadrato ambo i membri ed ottengo:
w^4+2w^2-3=0; w1=1, w2=-1, w3/4 radici complesse e coniugate. ok!

2a: mi accorgo che sotto la radice ho il quadrato del binomio e lo semplifico con la radice... sqr( (w^2+1)^2) = w^2+1 = 2

w1=1, w2=-1.

Ora le due strategie sono equivalenti?
perchè se elevo al quadrato ambo i membri ottengo quelle due radici complesse e coniugate?

grazie

[nin]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Mi pare di sì.

E credo si possa generalizzare a uno spazio con prodotto scalare, reale o complesso; ora ci provo.
...

Grazie come sempre, anche per la generalizzazione.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da vermaccio

scusa. per una serie di motivi troppo lunghi a dirsi è:

la legge ha un andamento del tipo g(t)=cost/(t^3)

secondo te , quindi, la soluzione particolare e quella complessiva che andamento avranno?

Boh... prova a tracciare qualche grafico con Gnuplot...
La particolare dovrebbe scendere fino a un tot, e poi mettersi a salire.
La complessiva... hai una cosa che tende a zero più una cosa che diverge...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da webmagic

un quesito:
sqr( (-w^2+1)^2 + (2w)^2 ) = 2

risolvo ed ottengo: sqr ( w^4+1-2w^2+4w^2 ) = 2;

ora le strade sono due:

1a: elevo al quadrato ambo i membri ed ottengo:
w^4+2w^2-3=0; w1=1, w2=-1, w3/4 radici complesse e coniugate. ok!

2a: mi accorgo che sotto la radice ho il quadrato del binomio e lo semplifico con la radice... sqr( (w^2+1)^2) = w^2+1 = 2

w1=1, w2=-1.

Ora le due strategie sono equivalenti?
perchè se elevo al quadrato ambo i membri ottengo quelle due radici complesse e coniugate?

Perché in campo complesso, la radice quadrata è una funzione polidroma (accento sulla "i"): un numero complesso non nullo ha due radici quadrate distinte.
Quindi, le soluzioni della tua equazione "radice quadrata di polinomio di secondo grado uguale costante" ha quattro soluzioni, e non due.

Il motivo per cui ogni numero complesso non nullo ha due radici quadrate, è questo.
Considera la rappresentazione polare



per cui, per ogni n>0,



Se z<>0, allora rho>0. Supponi z=w^2: detto



hai rho=r^2, cos theta = cos 2t, e sin theta = sin 2t.
Questo implica r=sqrt(rho) nel senso dei numeri reali, ma



per qualche k intero. Per periodicità, hai una radice



e una radice

[Lucrezio]

Chi mi dimostra che gli autovalori di una matrice siffatta:
http://operaez.net/mimetex/\left ( \...rray} \right )
ovvero una matrice con tutti alpha sulla diagonale, beta sulla sopradiagonale e sulla sotto diagonale, beta nelle posizioni (1,N) e (N,1) e tutto il resto uguale a zero, per N pari, hanno forma

Offresi gratitudine eterna in cambio!

[The-Revenge]

mi potete aiutare in questo please, ci ho messo un ora per far un sistema e mi esce sempre uguale, però il risultato dle libro non quadra....è elettrotecnica, ma il sistema è di matematica quinid posto qui...è un sistema a 2 incognite :

(Va-Vb)G4+Va*G2+Va*G3=8
(Va-Vb)G4+Vb*G1=2

G3=0.05
G1=0.1
G2=0.2
G4=0.025

A me è uscito Vb = 0.53/6.27
Mi sapreste dire se esce cosi anche a voi?

[Paolo_Genova]

Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme

Oltre a questo esercizio specifico, quale potrebbe essere un buon metodo per questo tipo di problema?