[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[ShadowMan]

Originariamente inviato da Lampo89

quella relazione ti dice solo che |f(x)| è minore in un intorno di pi/2 ( in realtà su tutto l'intervallo di integrazione) di una certa funzione il cui integrale diverge; per la monotonia dell'integrale allora l'integrale in un intorno di pi/2 sarà minore dell'integrale di g nello stesso intorno, ma nulla vieta al primo di essere finito anzi!

Giustissimo l'avevo proprio dimenticato

Originariamente inviato da Lampo89

fra l'altro la maggiorazione è sbagliata: infatti |sin(x)|<= 1 implica che 1/|sin(x)| >= 1 e perciò la disuguaglianza sarebbe col simbolo opposto
|f(x)| >=sin(radq(x))/(pi/2-x)
la funzione minorante non è integrabile impropriamente in un intorno sx di 1/2 , perciò (nota bene il simbolo >=) la funzione a sx non è integrabile impropriamente. Una domanda sorge spontanea : sbagliamo noi o il libro??

Ok, grazie.
Boh ed anche la seconda versione riveduta e corretta

[goldorak]

Originariamente inviato da ShadowMan

St
Aggiungo anche quest'altro che non mi torna.
Per x->1

i log li ho trasformati aggiungendo e sottraendo 1 e quindi log(1+y)~y per y->0.
Ora, dallo schemino del libro quel coso converge se 1-a<1 e quindi a>0 giusto?

Il denominatore pero' e' asintotico ad 1 non a (x-1)^2.

Quindi ponendo 1+y=x con y->0 (a=alfa)

f(x) = F(y) ~ y^a *y = y^(a+1) = (x-1)^(a+1).

[ShadowMan]

Originariamente inviato da goldorak

Il denominatore pero' e' asintotico ad 1 non a (x-1)^2.

Quindi ponendo 1+y=x con y->0 (a=alfa)

f(x) = F(y) ~ y^a *y = y^(a+1) = (x-1)^(a+1).

thanks

[misterx]

ciao,
so che una funzione è invertibile se è biunivoca(iniettiva e suriettiva) e la sua derivata prima non si azzera mai (condizione necessaria ma non sufficiente) in quanto esiste ad esempio la funzione y=x^3 che si azzera nel punto x=0 e quindi si direbbe che tale funzione non è invertibile ed invece lo è: qual'è allora il metodo più efficace per scoprire se una funzione è invertibile ?



grazie

[Aldin]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
so che una funzione è invertibile se è biunivoca(iniettiva e suriettiva) e la sua derivata prima non si azzera mai (condizione necessaria ma non sufficiente) in quanto esiste ad esempio la funzione y=x^3 che si azzera nel punto x=0 e quindi si direbbe che tale funzione non è invertibile ed invece lo è: qual'è allora il metodo più efficace per scoprire se una funzione è invertibile ?
grazie

Tieni presente il significato geometrico. Una funzione è biettiva quando incrociando il suo grafico con rette parallele all'asse x le rette toccano la funzione solo una volta, il che significa per funzioni continue stretta monotonia. Perché sia invertibile, la condizione di stretta monotonia generalmente è sufficiente ma non necessaria, in quanto possono esistere funzioni invertibili e non monotone (disegno). Ti serve lo sudio di fuzione. Tu studiando il segno della derivata prima individui per certo le zone di monotonia dove sai che è invertibile. Nel caso la funzione sia continua sei a posto, altrimenti per il disegno, la monotonia ti dice fino a che punto della x la funzione sale, e fino a che punto decresce. Ora sostituisci questi punti nella funzione e vedi che il minimo del secondo pezzo di funzione sta sopra il massimo del primo pezzo, quindi la funzione è invertibile. Dovrebbe essere così...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
so che una funzione è invertibile se è biunivoca(iniettiva e suriettiva) e la sua derivata prima non si azzera mai (condizione necessaria ma non sufficiente) in quanto esiste ad esempio la funzione y=x^3 che si azzera nel punto x=0 e quindi si direbbe che tale funzione non è invertibile ed invece lo è: qual'è allora il metodo più efficace per scoprire se una funzione è invertibile ?



grazie

La derivata può annullarsi in punti isolati ma non deve annullarsi in intervalli di misura positiva. (E, ovviamente, non deve cambiare segno.)

[misterx]

Originariamente inviato da Aldin

Tieni presente il significato geometrico. Una funzione è biettiva quando incrociando il suo grafico con rette parallele all'asse x le rette toccano la funzione solo una volta, il che significa per funzioni continue stretta monotonia. Perché sia invertibile, la condizione di stretta monotonia generalmente è sufficiente ma non necessaria, in quanto possono esistere funzioni invertibili e non monotone (disegno). Ti serve lo sudio di fuzione. Tu studiando il segno della derivata prima individui per certo le zone di monotonia dove sai che è invertibile. Nel caso la funzione sia continua sei a posto, altrimenti per il disegno, la monotonia ti dice fino a che punto della x la funzione sale, e fino a che punto decresce. Ora sostituisci questi punti nella funzione e vedi che il minimo del secondo pezzo di funzione sta sopra il massimo del primo pezzo, quindi la funzione è invertibile. Dovrebbe essere così...

ciao,
quindi calcolando solo la derivata prima e studiandone il segno dovrei essere in grado di capire con assoluta certezza se la funzione è monotona crescente e quindi invertibile?

grazie

[goldorak]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
quindi calcolando solo la derivata prima e studiandone il segno dovrei essere in grado di capire con assoluta certezza se la funzione è monotona crescente e quindi invertibile?

grazie

Se la funzione e' definita e continua su un intervallo con la derivata che esiste in ogni punto dell'intervallo si, basta studiare il segno della derivata per capire se la funzione e' strettamente monotona o no sull'intervallo in questione.

Ma come Aldin ti ha mostrato, ci sono esempi di funzioni invertibili che non sono necessariamente continue.

[Aldin]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
quindi calcolando solo la derivata prima e studiandone il segno dovrei essere in grado di capire con assoluta certezza se la funzione è monotona crescente e quindi invertibile?

grazie

Anche decrescente

[misterx]

grazie 1000


un apparente innocuo limite

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))=+oo
x->+oo

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))=+oo
x->+oo

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))=-oo
x->0+

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))=-oo
x->0-

per i due in grassetto 0+ e 0- posso dire sempre se è come credo che 1/0+ -> +oo ma poi mi ritrovo una forma indeterminata del tipo (0+) * (+oo), stesso discorso per la direzione 0-.

Mi chiedevo se la soluzione sta nel fatto che il codominio del logaritmo per valori della x < 1 è negativo e quindi il risultato è ovviamente -oo oppure esiste un artificio matematico per mettere in evidenza tale fatto ?

Spero di essere stato chiaro.

ciao

[cionci]

Nel caso di 0+ x^2 + x è un infinitesimo di ordine 1. Il logaritmo di un infitesimo non è una forma indeterminata.

PS: certe volte mi viene da pensare a quanto sia più facile fare i limiti per chi ha fatto analisi non standard (cioè fondata sul calcolo infinitesimale di Leibniz)

[misterx]

ciao,
credo anch'io che mi manchi un qualche passaggio di teoria per capire bene i limiti.

Riprendendo:

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))
x->0+

dove 1/x=1/0+ = +oo e (x^2)=(0+)^2=0+

quindi se non erro ottengo come argomento del logaritmo:
log(0+ * +oo) che è una forma indeterminata

[cionci]

x^2 + x = (0+)^2 + 0+ = infinitesimo di primo ordine

[goldorak]

post sbagliato

[misterx]

ma c'è un teorema per stabilirne l'ordine ?

[goldorak]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
credo anch'io che mi manchi un qualche passaggio di teoria per capire bene i limiti.

Riprendendo:

lim log(x^2 + x) = log(x^2( 1 +1/x))
x->0+

dove 1/x=1/0+ = +oo e (x^2)=(0+)^2=0+

quindi se non erro ottengo come argomento del logaritmo:
log(0+ * +oo) che è una forma indeterminata

log (x^2+x) = log (x) + log (1+x) = log (x) + [ x + o(x^2) ]
L'espressione tra parentesi quadre tende a zero per x->0 mentre il primo termine log (x) -> -oo per x->0+. Quindi il limite e' -oo.

[misterx]

Originariamente inviato da goldorak

log (x^2+x) = log (x) + log (1+x) = log (x) + [ x + o(x^2) ]
L'espressione tra parentesi quadre tende a zero per x->0 mentre il primo termine log (x) -> -oo per x->0+. Quindi il limite e' -oo.

a me non vengono mai in mente certe soluzioni

grazie


ciao

[ShadowMan]

Integrali tripli ed integrazione per sezioni.
Sono partito da un esercizio facile : ∫∫∫ y dxdydz su D=Sfera centrata in (0,3,0) e raggio unitario.

L'idea di tagliare a metà la sfera e moltiplicare tutto per 2 è giusta?
Così ho messo Z€[0,1] e (x,y)€Sz
Sz è un cerchio di raggio Rz variabile.

Ora non riesco assolutamente a capire come definire Rz in funzione di z.

E D I T
Se ho capito bene devo calcolarmi ques'integrale ∫∫y dxdy sull'insieme E={(xy)€R2 : 0 <= x^2+ (y-3)^2 =< 1}

[goldorak]

Originariamente inviato da ShadowMan

Integrali tripli ed integrazione per sezioni.
Sono partito da un esercizio facile : ∫∫∫ y dxdydz su D=Sfera centrata in (0,3,0) e raggio unitario.

L'idea di tagliare a metà la sfera e moltiplicare tutto per 2 è giusta?
Così ho messo Z€[0,1] e (x,y)€Sz
Sz è un cerchio di raggio Rz variabile.

Ora non riesco assolutamente a capire come definire Rz in funzione di z.

Devi integrare su una sfera, e vuoi usare le coordinate cartesiane ?
Ma usa le coordinate sferiche con separazione delle variabili e il risultato ti apparira' facilmente.

[ShadowMan]

Originariamente inviato da goldorak

Devi integrare su una sfera, e vuoi usare le coordinate cartesiane ?
Ma usa le coordinate sferiche con separazione delle variabili e il risultato ti apparira' facilmente.

Cambiando variabili ad inizio esercizio l'avrei già risolto.
è il metodo per sezioni che non ho ben chiaro e vorrei capirlo....