[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da sampeiz

ciao a tutti
ho appena scoperto questo sito
cercando con google aiuti per mate... ho visto anche la sezione con i videocorsi di mate, ottimo!

però mi servirebbe un aiuto urgente per questo esercizio:

devo verificare continuità e derivabilità al variare dei parametri a e b e infine scrivere l'equazione della retta tangente...

x^3+2bx+1 per x<1
ln(x^2-2x+2)+a per x>=1

vi ringrazio tantissimo

Inizia a vedere dove è definita la funzione.
Poi valuta i punti in cui potrebbe esserci discontinuità, e verifica se il valore della funzione in quei punti è uguale al limite dei valori, oppure no. Quali possono essere questi punti? Ti dovrebbe risultare una condizione su a e b.
Dopodiché fa' la stessa cosa con gli eventuali punti di non derivabilità. Ti dovrebbe risultare un'altra condizione su a e b.

Buon lavoro.

[sampeiz]

ok grazie

io provo, vediamo

limite sinistro= 2b+2
limite destro= a

poi faccio a=2b+2 e sostituisco in f? oppure passo subito alla derivata prima?

sostituendo, la funzione diventerebbe:
x^3+2bx+1 per x<1
ln(x^2+2x+2)+2b+2 per x>=1

la derivata prima:
3x^2+2b
(2x-2)/(x^2-2x+2)

faccio di nuovo i limiti in x=1
limite sinistro=3+2b
limite destro=0

b= -3/2

quindi a=2b+2 diventa a= -1

in questi a e b ho f(x) continua e derivabile, è tutto giusto?


ora il problema é per la retta tangente, applico questa formula?
y(x) = f ' (x) (x-x0) + f (x0) con x0=1

quindi ora che ho la "a" e la "b"... sempre che siano giusti... sostituisco nella funzione di partenza?

x^3 +2(-3/2)x+1 per x<1
ln(x^2-2x+2)+(-1) per x>=1

ma ora le devo eguagliare? e trovare un'unica funzione per poi fare la derivata e calcolare la f in 1?

grazie tantissimo per l'aiuto

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da sampeiz

ok grazie

io provo, vediamo

limite sinistro= 2b+2
limite destro= a

poi faccio a=2b+2 e sostituisco in f? oppure passo subito alla derivata prima?

sostituendo, la funzione diventerebbe:
x^3+2bx+1 per x<1
ln(x^2+2x+2)+2b+2 per x>=1

la derivata prima:
3x^2+2b
(2x-2)/(x^2-2x+2)

faccio di nuovo i limiti in x=1
limite sinistro=3+2b
limite destro=0

b= -3/2

quindi a=2b+2 diventa a= -1

in questi a e b ho f(x) continua e derivabile, è tutto giusto?

I conti sono giusti, e quei valori di a e b sono gli unici per cui la funzione è sia continua che derivabile nel punto x=1.

(Ovviamente, i valori sono unici perché costituiscono l'unica soluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite.)

Originariamente inviato da sampeiz

ora il problema é per la retta tangente, applico questa formula?
y(x) = f ' (x) (x-x0) + f (x0) con x0=1

quindi ora che ho la "a" e la "b"... sempre che siano giusti... sostituisco nella funzione di partenza?

x^3 +2(-3/2)x+1 per x<1
ln(x^2-2x+2)+(-1) per x>=1

ma ora le devo eguagliare? e trovare un'unica funzione per poi fare la derivata e calcolare la f in 1?

grazie tantissimo per l'aiuto

La retta tangente deve essere nel punto x=1, o in un punto arbitrario?
Perché, per un noto teorema di analisi, se i limiti destro e sinistro della derivata prima in un punto x0 in cui la funzione è continua sono uguali, allora la funzione è derivabile in x0 e il valore comune dei limiti sinistro e destro della derivata prima in x0 coincide con il valore della derivata prima nel punto x0...

[ChristinaAemiliana]

Allora...innanzitutto ti sei perso un passaggio:

Originariamente inviato da Ziosilvio

Inizia a vedere dove è definita la funzione.

Hai un logaritmo, quindi un argomento che deve essere positivo dove ti interessa, altrimenti la funzione non è definita. Quando vai a controllare, scopri che x^2-2x+2>0 è una condizione sempre verificata, perciò non ci sono problemi con la definizione della nostra funzione. Ma devi controllare, altrimenti è un errore.

Poi, per trovare la retta tangente (in x0 presumo, da quello che hai scritto...) va bene applicare la formula che hai ricordato, ma non devi eguagliare le due espressioni né trovare un'unica funzione. La tua funzione è già quella lì ed è definita proprio così, a tratti. La funzione è continua e derivabile in x0=1 quindi per la tangente in x0 puoi usare una qualsiasi delle due espressioni. Vedi da te infatti che gli "ingredienti" della formula, f'(x0)=0 e f(x0)=-1, sono gli stessi com'è giusto che sia. Applicando la formula trovi allora semplicemente y=-1, una tangente orizzontale in accordo col fatto che x0 è pure un punto stazionario, come si scopre osservando il valore della derivata.

[mister_slave]

salve a tutti qualcuno mi può spiegare a fare questo esercizio su i limiti di successione?

lim n->inf 1/n log ( (2n)! /n^n))

il problema sta nel fatto che il rapporto 2n! /n^n sarebbe inf/inf come lo risolvo?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da mister_slave

salve a tutti qualcuno mi può spiegare a fare questo esercizio su i limiti di successione?

lim n->inf 1/n log ( (2n)! /n^n))

il problema sta nel fatto che il rapporto 2n! /n^n sarebbe inf/inf come lo risolvo?

Prova a vedere se puoi adoperare l'approssimazione di Stirling: , o in forma asintotica: ln n! = n ln n - n + O(ln n).

[serbring]

Sto giusto studiando un po' di metodi analitici per l'ottimizzazione vincolata.
Mi sto basando su questi appunti perchè son semplici. Non ne ho bisogno per risolvere esercizi, bensì per utilizzare l'optimization toolbox di matlab. Cmq non riesco a capire come arrivano alla formula 2-18. Potreste perfavore darmi qualche input? Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da serbring

Sto giusto studiando un po' di metodi analitici per l'ottimizzazione vincolata.
Mi sto basando su questi appunti perchè son semplici. Non ne ho bisogno per risolvere esercizi, bensì per utilizzare l'optimization toolbox di matlab. Cmq non riesco a capire come arrivano alla formula 2-18. Potreste perfavore darmi qualche input? Grazie

Uhm... il primo membro della (2.18) è chiaramente la parentesi di Poisson di y ed f...

però confesso che non mi riesce di capire la notazione
Sembrerebbe una matrice hessiana o qualcosa di simile, ma fatta in che modo?

[serbring]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Uhm... il primo membro della (2.18) è chiaramente la parentesi di Poisson di y ed f...

però confesso che non mi riesce di capire la notazione
Sembrerebbe una matrice hessiana o qualcosa di simile, ma fatta in che modo?

come scriveresti che le curve di livello di y e f devono essere tangenti in un pto stazionario? Non capisco come hanno fatto a ricavare la parentesi di poisson da quella affermazione.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da serbring

come scriveresti che le curve di livello di y e f devono essere tangenti in un pto stazionario? Non capisco come hanno fatto a ricavare la parentesi di poisson da quella affermazione.

Per la prima: uhm... avevo pensato al teorema della funzione implicita, ma quello richiede che almeno una delle derivate parziali non si annulli. Mamma mia, quanto mi ricordo male Analisi II

Spoiler:

Ho pure detto hessiana anziché jacobiana... va be', pazienza.

L'altra boh, non lo so manco io finche non capisco che è quella notazione.

[serbring]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Per la prima: uhm... avevo pensato al teorema della funzione implicita, ma quello richiede che almeno una delle derivate parziali non si annulli. Mamma mia, quanto mi ricordo male Analisi II

L'altra boh, non lo so manco io finche non capisco che è quella notazione.

ok ti ringrazio. Altra domanda, per fare un'analisi di sensibilità di un problema di ottimizzazione vincolata, basta guardare il gradiente?

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Uhm... il primo membro della (2.18) è chiaramente la parentesi di Poisson di y ed f...

però confesso che non mi riesce di capire la notazione
Sembrerebbe una matrice hessiana o qualcosa di simile, ma fatta in che modo?

Per me è semplicemente in entrambi i casi, e nel primo manca una d...

Altrimenti non so, io quelle notazioni lì le ho sempre viste usare nel significato di "derivata taldeitali fatta a y (o a f, nell'altro caso) costante". Se quella in parentesi non è una derivata non so proprio cosa possa essere.

[serbring]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Per me è semplicemente in entrambi i casi, e nel primo manca una d...

Altrimenti non so, io quelle notazioni lì le ho sempre viste usare nel significato di "derivata taldeitali fatta a y (o a f, nell'altro caso) costante". Se quella in parentesi non è una derivata non so proprio cosa possa essere.

Cioè per si intende la derivata di x1 su x2 tenendo costante y?

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da serbring

Cioè per si intende la derivata di x1 su x2 tenendo costante y?

Così su due piedi mi torna in mente quel significato lì, anche se le parentesi usate erano solitamente quelle tonde. Una derivata tra parentesi con fuori un pedice di consueto significava "fatta a y costante" o "lungo y" se y era una particolare direzione o anche una curva...

Però non sono un matematico, quindi può darsi benissimo che in altri ambiti quella notazione significhi tutt'altro.

[serbring]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Così su due piedi mi torna in mente quel significato lì, anche se le parentesi usate erano solitamente quelle tonde. Una derivata tra parentesi con fuori un pedice di consueto significava "fatta a y costante" o "lungo y" se y era una particolare direzione o anche una curva...

Però non sono un matematico, quindi può darsi benissimo che in altri ambiti quella notazione significhi tutt'altro.

ma non ha molto senso perchè x1 e x2 sono le variabili e f è la funzione....

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da serbring

ma non ha molto senso perchè x1 e x2 sono le variabili e f è la funzione....

E allora no, può essere che dx1 e dx2 siano semplicemente gli incrementi...però continuo anche io a non capire cosa sia quella formula 2.16.

[serbring]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

E allora no, può essere che dx1 e dx2 siano semplicemente gli incrementi...però continuo anche io a non capire cosa sia quella formula 2.16.

ok grazie...

venendo alla domanda sull'analisi di sensitività, se avessi il seguente problema di ottimizzazione:

f(x1,x2)=0
g(x1,x2)<0

Come faccio a valutare come varia la f al variare di x1 e x2? Come faccio a trovare di quanto posso far variare x1 tenendo la x2 costante senza uscire dalla feasibility region?

[misterx]

ciao,
ho 6 computer e devo calcolare la probabilità che siano guasti all'accensione:
- si accende
- non si accende

e quindi calcolare la probabilità che un certo numero di computer manifesti il medesimo problema.
Una serie di esperimenti mi fa asserire che la probabilià che un computer non si accenda è di 7/19 cioè su 19 accensioni ho notato 7 casi di fallimento: mi chiedo quale potrebbe essere la probabilità che tutti e 6 i computer non si accendano.

Ho pensato ad una binomiale ma è giusto usare:

n=19 numero delle prove
k=6 numero dei successi che equivale al numero dei computer
p=7/19 probabilità di insuccesso di un singolo computer


grazie

[drakal]

se i computer non si influenzano a vicenda allora gli eventi sono indipendenti e la probabilità cercata è il prodotto delle singole probabilità, ossia (7/19)^6

[misterx]

Originariamente inviato da drakal

se i computer non si influenzano a vicenda allora gli eventi sono indipendenti e la probabilità cercata è il prodotto delle singole probabilità, ossia (7/19)^6

perchè sarebbe errato calcolare così?

P(X=6)=19!/[6!(19-6)!]* (7/19)^6 * (1-7/19)^13