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10-11-2011, 15:14 | #7481 |
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Qualcuno riuscirebbe a spiegami come una funzione possa essere derivabile ma avere derivata discontinua?
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10-11-2011, 15:56 | #7482 | |
Member
Iscritto dal: Dec 2006
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f(x) = x^2 sin(1/x) per x diversi da zero 0 per x uguale a zero definita in questo modo la funzione risulta continua su R (sin(1/x) è limitato per x->0, mentre x è infinitesimo). La funzione è composizione di funzioni e prodotto di funzioni continue e derivabili su R escluso lo zero. Dunque la funzione sarà certamente derivabile in R escluso lo zero (attenzione: ciò non significa che la funzione non è derivabile in zero) calcolando dunque la derivata della funzione con le regole di derivazione si ottiene f'(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x) per x diversi da zero applicando la definizione di limite per verificare la derivabilità in 0 si trova che: lim x->0 ( f(x) - f(0) )/x = lim x->0 x sin(1/x) = 0 Ricapitolando f'(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x) per x diversi da zero 0 per x = 0 perciò f(x) è derivabile in R Inoltre f'(x) è continua in tutti in punti diversi da zero (perchè è una composizione di continue come coseno, potenze etc) mentre invece nel punto x = 0 accade la cosa seguente: lim x->0 f'(x) non esiste e dunque lim x->0 f'(x) è diverso da f'(0) =0 e quindi f'(x) non è una funzione continua in 0 (possiede una discontinuità di seconda specie del tipo non esiste limite) spero di essere stato chiaro p.s. una funzione derivabile in un punto ma ivi discontinua non può avere una discontinuità di tipo salto perchè implicherebbe che la diversità tra derivata destra e sinistra nel punto in esame e quindi la non derivabilità; mi pare di ricordare che esiste un teorema che garantisce che le eventuali discontinuità di una funzione derivabile possono essere solo di seconda specie, dovrebbe essere un corollario al teorema di lagrange prova a googlare in giro . Ultima modifica di Lampo89 : 11-11-2011 alle 13:07. |
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10-11-2011, 16:17 | #7483 | |
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Iscritto dal: Feb 2011
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In realtà proprio è proprio questo esempio che ha utilizzato il professore, soltanto che non l'ha spiegato bene e sul libro ti testo non c'è. |
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10-11-2011, 16:33 | #7484 | |
Moderatore
Iscritto dal: Nov 2003
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EDIT: però in effetti così la derivata non è definita in x=1 e x=2... sorry.
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Ubuntu è un'antica parola africana che significa "non so configurare Debian" Chi scherza col fuoco si brucia. Scienza e tecnica: Matematica - Fisica - Chimica - Informatica - Software scientifico - Consulti medici REGOLAMENTO DarthMaul = Asus FX505 Ryzen 7 3700U 8GB GeForce GTX 1650 Win10 Ultima modifica di Ziosilvio : 10-11-2011 alle 16:42. |
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10-11-2011, 16:35 | #7485 | |
Member
Iscritto dal: Dec 2006
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corollario a lagrange: data f(x) definita in [a,b] ed ivi continua, derivabile nell'aperto (a,b] e tale che esista finito lim x->a f'(x) = z (n.b. non si può dire che z = f'(a) perchè motivazione 0: non si ipotizza che f sia derivabile in a motivazione 1: non si ipotizza che f' sia continua in a ) sotto tali ipotesi, si dimostra che f è derivabile in a e lim x->a f'(x) = f'(a) velocissima dimostrazione: considero un punto c interno ad [a,b]. Applico il teo di lagrange ad f considerando l'intervallo [a,c]: esiste dunque un punto interno a tale intervallo (e lo chiamo d) tale che f'(d) = (f(c)-f(a))/(c-a) è da notare che il punto d dipende solamente dal punto c scelto (che è arbitrario). facendo tendere c ad a, d tende ad a (dato che d è interno all'intervallo [a,c]) dunque dalla relazione sopra si ha che: lim d->a f'(d) = lim c->a (f(c)-f(a))/(c-a) il secondo membro è la definizione di derivata in a , mentre il membro sx è finito e pari a z dunque lim d->a f'(d) = lim c->a (f(c)-f(a))/(c-a) = z perciò z = f'(a) e lim d->a f'(d) = f'(a) = z cioè f è derivabile in a e la derivata è continua in a. da questo corollario con un piccolo volo di fantasia viene fuori che la derivata di una funzione derivabile può avere solo discontinuità di seconda specie Ultima modifica di Lampo89 : 10-11-2011 alle 17:27. |
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10-11-2011, 18:19 | #7486 | |
Senior Member
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Grazie |
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02-12-2011, 08:16 | #7487 |
Senior Member
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ragazzi un piccolo aiutino col dominio di queste due funzioni
1)log(arcsin((x+6)/(x-2))) 2)(pigreco-arcsin(x))^1/2 ci sto sbattendo la testa da parecchio ma non riesco a venirne a capo grazie a chi mi dara una mano
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02-12-2011, 09:45 | #7488 | |
Moderatore
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arcsin x è definito solo per x tra -1 e 1 e ha il segno del suo argomento, quindi... Eccetera...
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02-12-2011, 09:48 | #7489 |
Senior Member
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grazie silvio ma il mio problema si riferiva piu che altro al risultato con il quale non mi riesco a trovare e volevo sapere proprio i singoli passaggi per magari capire dove sta l'errore di fondo
Grazie ancora per l'attenzione
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02-12-2011, 14:34 | #7490 |
Moderatore
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Dài, che il secondo è proprio facile facile...
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02-12-2011, 15:41 | #7491 |
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per la seconda funzione il mio problema e questo
praticamente imponendo arcsin(x)<=Pigreco dovrebbe essere sempre verificata quindi il dominio dovrebbe ridurso a quello dell'argomento [-1,1] ma il libro mi porta [-1,0] quindi credo faccia il successivo passaggio cioe sin(arcsin(x))<=sin(Pigreco) quindi x<=0 In questo caso come mi devo comportare? la seconda soluzione e quella che va semrep applicata? ps sono riuscito a risolvere la prima
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Un GRAZIE a tutti voi del forum che ogni giorno mi tirate fuori dai casini .......... Sto giocando a : Hitman Codename 47 Ultima modifica di peppozzolo : 02-12-2011 alle 15:59. |
02-12-2011, 20:55 | #7492 | |
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Iscritto dal: Dec 2006
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direi che il libro sbaglia clamorosamente. Quello che dici è correttissimo: l'inversa del seno è definita tra -1 e 1, ed è limitata tra -pi/2 e pi/2, di conseguenza la disuguaglianza è sempre verificata. Attento però: il tuo passaggio, quello in cui applichi sin a ambo i membri per far andare via l'arcoseno è sbagliato. Prova a pensarci un attimo, in caso ti dò una dritta! Ultima modifica di Lampo89 : 02-12-2011 alle 21:13. |
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02-12-2011, 22:32 | #7493 | ||
Moderatore
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Lasciando perdere la parte che contiene l'errore Ottimo
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03-12-2011, 08:36 | #7494 | |
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ps grazie a entrambi per il supporto
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03-12-2011, 10:04 | #7495 |
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ok vedo che ci sei solo per disequazioni ed equazioni in cui il membro di dx (un numero) è compreso tra -Pi/2 e Pi/2.
Ultima modifica di Lampo89 : 03-12-2011 alle 11:06. |
15-12-2011, 18:04 | #7496 |
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errore ... sorry
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processore: CPU AMD FM2+ A10-7850K B. Ed. Box 4,0GHz - 4MB Cache - 95W; scheda madre: Gigabyte GA-F2A88XM-D3H Ultima modifica di Helyanwe : 15-12-2011 alle 22:14. |
19-12-2011, 13:56 | #7497 |
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Ciao a tutti,
Il mio è un quesito di probabilità più che di matematica, spero di non essere troppo OT: Sono disponibili 4 borse di laurea, i candidati sono 3 donne e 7 uomini! Le borse di studio vengono assegnate per estrazione a sorte, si calcoli la probabilità che almeno una donna riceva la borsa di studio. Il libro calcola la probabilità che le borse vengano assegnate solo agli uomini e poi per differenza trova la probabilità che almeno una donna riceva la borsa di studio! Ma come si fa a calcolare direttamente tale valore? |
20-12-2011, 10:34 | #7498 |
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Calcolare direttamente si può.
Però è scomodo, perché si tratta fondamentalmente di fare quattro estrazioni senza reinserimento, quindi calcolare le probabilità congiunte è un po' faticoso, noioso, e anche aperto agli errori. Calcolando la probabilità complementare, invece, si fa praticamente un conto solo.
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30-12-2011, 14:49 | #7499 |
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piccolo problema: dimostrazione per induzione. Devo dimostrare che:
(ab)^n = a^n per b^n lo faccio per 0 e po devo dimostrarlo per n+1. Posso dire che (ab)^(n+1) non è altro che ab ripetuto n+1 volte, e lo stesso di a e di b a sinistra? Così posso dire che a e b si ripetono uguali volte a sinistra e destra... altrimenti (ab)^n per (ab) = a^n per a per b^n per b semplifico a e b quindi (ab)^n = a^n per b^n e poi faccio (ab)^(n-1) per ab= a^(n-1) per a per b (n-1) per b e via così. Potrei dimostrarlo in qualche passaggio con l'esponenziale, ma penso di non poterlo fare ancora |
30-12-2011, 15:03 | #7500 |
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Per effettuare la dimostrazione per induzione, devi sfruttare l'ipotesi induttiva (a*b)^n = a^n *b^n per dimostrare il passo induttivo (a*b)^(n+1) = a^(n+1) * b^(n+1).
Quindi, un ragionamento corretto sarebbe: (a*b)^(n+1) = (a*b)^n * (a*b) per la definizione di potenza = (a^n *b^n) * a * b per ipotesi indutiva = a * (a^n *b^n) * b per le proprietà commutativa e associativa = a^(n+1) * b^(n+1)
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