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[zanardi84]

Ho risolto un problema intuitivamente, ma in modo rigoroso non ci so arrivare.

Ho un'urna con 21 lettere dell'alfabeto. Estraendone una devo calcolare la probabilità che sia o una vocale, o una lettera che precede la M.

P1 probabilità che sia vocale = 5/21
P2 probabilità che preceda M = 10/21

I due eventi sono compatibili perchè può essere sia vocale che precedere M: A, E, I. Quindi 3/21. Questo intuitivamente.
E applico il teorema di probabilità: P1 + P2 - P1 intersez P2.

Ora: come arrivo all'intersezione con un procedimento matematico rigoroso? So che devo considerare che esiste una forma di ordinamento delle lettere.

Grazie.

[zanardi84]

Un altro problema:
7 palline numerate da 1 a 7 in un'urna. Devo descrivere la variabile aleatoria che che definisce il maggiore dei due numeri estratti contemporaneamente.

Per quanto riguarda i valori della variabile, essi vanno dal 2 al 7 perchè in estrazione di una coppia 1 non sarà mai il valore maggiore.
Ma le probabilità dei valori della variabile come si calcolano?

[zanardi84]

Ho un limite che non riesco a risolvere: lim per x -> più o meno infinito di

2x log(fx) dove fx = (x^2 + 3x) / (X^2 +1)

Mi potreste indicare un modo?

[zanardi84]

Vorrei la conferma per un limite

lim per x -> 0+ di x sin(log x)

dico che: -1 <= sin(log x) <= 1

moltiplico tutto per x perciò -x <= x sin (log x) <= x

per il teorema del confronto (carabinieri), se gli etremi tendono a 0, allora anche il centrale tende a 0.

[robertogl]

Io direi che logx va a meno infinito, ma il sin sta sempre tra meno uno e uno, quindi in realtà per qualsiasi logaritmo, se il sin è moltiplicato per zero, tutto il limite va a zero

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[Lampo89]

Originariamente inviato da zanardi84

Ho un limite che non riesco a risolvere: lim per x -> più o meno infinito di

2x log(fx) dove fx = (x^2 + 3x) / (X^2 +1)

Mi potreste indicare un modo?

se aggiungi e togli a numeratore di f(x) il termine uno ottieni qualcosa di "illuminante"
(x^2 + 3x +1-1) / (X^2 +1) = 1 + (3x - 1)/(x^2 +1)
utile perché il secondo termine a membro dx tende a zero nel limite considerato e log(1+ eps) = eps + o(eps) dove eps è una quantità piccola.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da zanardi84

Vorrei la conferma per un limite

lim per x -> 0+ di x sin(log x)

dico che: -1 <= sin(log x) <= 1

moltiplico tutto per x perciò -x <= x sin (log x) <= x

per il teorema del confronto (carabinieri), se gli etremi tendono a 0, allora anche il centrale tende a 0.

Infatti è proprio così: infinitesimo per limitato tende a zero.

[zanardi84]

Grazie.

Ho un altro limite che non riesco a risolvere

lim per x ->+ infinito di x*(e^f - radice di e)

dove f = (x+2)/(x+3)

Razionalizzare non serve perchè non ho variabili sotto la radice, se svolgo il limite dell'esponente ottengo una forma di indecisione perchè nella sottrazione ottengo radice di e - radice di e, cioè 0, moltiplicato per + infinito che rompe le scatole.
Qualche suggerimento?

[robertogl]

Il limite di f va a uno con x che va all'infinito. Basta raccogliere sotto e sopra x.

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[zanardi84]

Originariamente inviato da robertogl

Il limite di f va a uno con x che va all'infinito. Basta raccogliere sotto e sopra x.

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Sorry, ho dimenticato la x che moltiplica la parentesi nel testo.. senza sarei riuscito a risolverlo. Modifico il post sopra.

[robertogl]

x per (e alla uno meno radice di e) fa comunque infinito. Dove ti blocchi?

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[zanardi84]

Originariamente inviato da robertogl

x per (e alla uno meno radice di e) fa comunque infinito. Dove ti blocchi?

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Scusa ancora, riscrivo la funzione perchè qualcosa non quadra.

lim per x ->+ infinito di x*((e^f)- radice di e)

dove f = (x+2)/(2x+3)

Radice di e non è all'esponente.

Se confronto gli infiniti all'esponente ottengo che la f è asintotica a 1/2 per confronto di infiniti dello stesso grado. La sottrazione degli e in parentesi mi da 0, moltiplicata per x-> + infinito che è una forma di indecisione.

[robertogl]

Originariamente inviato da zanardi84

Scusa ancora, riscrivo la funzione perchè qualcosa non quadra.

lim per x ->+ infinito di x*((e^f)- radice di e)

dove f = (x+2)/(2x+3)

Radice di e non è all'esponente.

Se confronto gli infiniti all'esponente ottengo che la f è asintotica a 1/2 per confronto di infiniti dello stesso grado. La sottrazione degli e in parentesi mi da 0, moltiplicata per x-> + infinito che è una forma di indecisione.

Ah ok prima non c'era il 2x, o almeno non lo vedo da telefono
Prova a mettere x=1/y per entrare in uno di quei casi dove puoi usare Hopital, magari qualcosa esce

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[CioKKoBaMBuZzo]

ciao a tutti

avrei una domanda su un problema di elettromagnetismo, ma la domanda riguarda la matematica che sta dietro la soluzione quindi penso sia meglio postarlo qui.

ho una superficie sferica di raggio R, una carica A posta a distanza d > R dal centro della sfera e una carica B posta a distanza c < R dal centro della sfera, tutte sullo stesso asse: centro / A / B

sono in coordinate sferiche riferite al centro della superficie sferica, e teta rappresenta l'angolo tra l'asse di cui prima (centro sfera / A / B) e il raggio vettore dal centro della sfera.

devo determinare B e c affinché il potenziale sulla superficie sferica sia nullo.
sono arrivato a dire che la condizione perchè ciò accada è:

A / sqrt( R^2 + d^2 -2*R*d*cos(teta) ) = -B / sqrt( R^2 + c^2 -2*R*c*cos(teta) )

per ogni scelta di teta tra 0 e pi greco.

a questo punto mi sono bloccato. sul libro ho visto che va avanti dicendo che ciò può accadere solo se i denominatori sono funzioni simili di teta (ho cercato la definizione di funzioni simili ma non ho trovato nulla), e in particolare deve essere:

c/R = R/d

qualcuno può aiutarmi?
grazie

[Lampo89]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

ciao a tutti

avrei una domanda su un problema di elettromagnetismo, ma la domanda riguarda la matematica che sta dietro la soluzione quindi penso sia meglio postarlo qui.

ho una superficie sferica di raggio R, una carica A posta a distanza d > R dal centro della sfera e una carica B posta a distanza c < R dal centro della sfera, tutte sullo stesso asse: centro / A / B

sono in coordinate sferiche riferite al centro della superficie sferica, e teta rappresenta l'angolo tra l'asse di cui prima (centro sfera / A / B) e il raggio vettore dal centro della sfera.

devo determinare B e c affinché il potenziale sulla superficie sferica sia nullo.
sono arrivato a dire che la condizione perchè ciò accada è:

A / sqrt( R^2 + d^2 -2*R*d*cos(teta) ) = -B / sqrt( R^2 + c^2 -2*R*c*cos(teta) )

per ogni scelta di teta tra 0 e pi greco.

a questo punto mi sono bloccato. sul libro ho visto che va avanti dicendo che ciò può accadere solo se i denominatori sono funzioni simili di teta (ho cercato la definizione di funzioni simili ma non ho trovato nulla), e in particolare deve essere:

c/R = R/d

qualcuno può aiutarmi?
grazie

Secondo me fai prima in questo modo:
la relazione che trovi vale per ogni teta; in particolare per teta = 0, Pi ottieni le due equazioni:

A / sqrt( R^2 + d^2 -2*R*d ) = -B / sqrt( R^2 + c^2 -2*R*c )

A / sqrt( R^2 + d^2 +2*R*d ) = -B / sqrt( R^2 + c^2 +2*R*c )

che è sistema di due equazioni in due incognite e ti ritrovi al volo la soluzione (una non è accettabile dato che dà un c > R)

[CioKKoBaMBuZzo]

grazie per la risposta, in effetti sembra fattibile così

ma la nozione di "funzioni simili" esiste o è una cosa intuitiva che non capisco io?

[Lampo89]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

grazie per la risposta, in effetti sembra fattibile così

ma la nozione di "funzioni simili" esiste o è una cosa intuitiva che non capisco io?

non esiste una definizione, credo che sia semplicemente per dire che se hai un'uguaglianza tra due funzioni con una forma analitica simile (espressa in termini di alcune incognite che vorresti determinare), allora dovrebbe essere abbastanza semplice trovare questi parametri "confrontando le due" e facendo tornare le cose. In questo caso non mi sembra.

comunque, quell'uguaglianza lì significa che il rapporto degli argomenti delle radici deve essere una costante (lo vedi portando tutte la radici a membro dx per es, a membro sx ottieni appunto una cosa indipendente dall'angolo), perciò i due argomenti differiscono per la costante moltiplicativa (la chiamo h per essere breve) legata al rapporto fra carica/carica immagine .

R^2 + d^2 -2*R*d cos(teta)= h (R^2 + c^2 -2*R*c cos(teta) )
ottengo un polinomio in cos(teta), cosa che mi piace perché posso usare il principio di identità dei polinomi
uguaglio perciò i coeff:

d = h c
R^2 + d^2 = h (R^2 + c^2)

se risolvi sto sistema dovresti trovare la relazione che afferma il tuo libro

[zanardi84]

Originariamente inviato da robertogl

Ah ok prima non c'era il 2x, o almeno non lo vedo da telefono
Prova a mettere x=1/y per entrare in uno di quei casi dove puoi usare Hopital, magari qualcosa esce

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Risolto con i criteri asintotici.

La funzione al denominatore, dopo aver razionalizzato, tende a 1 per x tendente a infinito. Posso perciò scriverla come 1+ funzione infinitesima la cui somma è la funzione che ho all'esponente.
Ottengo quindi una cosa del tipo e^(1+g(x) - e. Raccolgo e ed ottengo e(e^g(x) -1). Quello che c'è in parentesi è asintotico a g(x).

Il denominatore non crea problemi.

Entrambe le funzioni, la g(x) ottenuta e la f(x) originale al denominatore tendono a 1/2, perciò basta sostituire per ottenere il risultato di un quarto radice di e.

[zanardi84]

Ho un problema di cauchy le cui equazioni sono

y' = (y+y^2)/2
y(1) = 2

Ho risolto l'equazione e ho trovato la soluzione generale

y(x) = kx/(1-kx) dove ek = e^c con c costante.

sostituendo la condizione iniziale trovo k = 2/3, da cui y(x) = 2x/(3 - 2x)

Ora: come stabilisco qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di cauchy è definita?

Grazie.

[Vlad3210]

Salve a tutti!
Potete aiutarmi con questo integrale? Esiste la sua soluzione in forma chiusa?

http://operaez.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\int\limits_0^\infty {{{\ln }^2}\left( {\frac{\lambda }{\eta } + q} \right){q^{N - 1}}{{\left( {\frac{\lambda }{\eta } + q} \right)}^{ - \left( {N + \lambda } \right)}}dq}

Grazie!