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[jacky guru]

@ misterx: per verificare l'invertibilità, io uso questo stratagemma:

f strettamente monotona => f iniettiva => f invertibile

La suriettività serve a ben poco (anzi, credo a nulla) relativamente all'invertiblità. Invece l'iniettività è, di per sè, condizione necessaria e sufficiente.

[Jarni]

Originariamente inviato da balint

Una volta verificato che la funzione sia invertibile (nell'esempio lo è banalmente, visto che dominio e codominio coincidono), detto molto terra terra la funzione inversa si ricava "scambiando" la x con la y, quindi nel caso dell'esempio sarebbe x = y - 5

Quella non è la funzione inversa di y=x-5.
Non devi scambiare le variabili.

[Jarni]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
grazie per le risposte, nel frattempo ho letto delle proprietà di invertibilità delle funzioni e se non ho capito male, una funzione è invertibile se è iniettiva e suriettiva


Portandomi leggermente avanti chiedo lumi sulla formula di Taylor che leggendo qui pone delle condizioni ben precise, in caso contrario non è applicabile credo.

Per farmi un esempio allora ho preso la funzione y=x^2 che è continua in quanto risponde alla domanda

lim     f(x) = numero = f(x0)
x->x0

esempio:
x0 = 3

lim     x^2 = 9
x->3

il secondo quesito è che la f(x) deve essere derivabile e questo lo si vede facendo uso della definizione del rapporto incrementale

lim      f(x0 + h) - f(x0)
h->0  -----------------
                    h

esempio
se fisso x0=3 e h=0.1

lim         f(3 + 0.1) - f(3)
0.1->0  ----------------- = 1
                    0.1

spero di non aver scritto bestialità

Ora, volendo applicare Taylor dopo aver calcolato le derivate di x^2 che in questo caso è

y' = 2x
y" = 2

queste due derivate sono sufficienti ad approssimare sotto forma di polinomio la funzione di partenza ?


Scusate per le molte imprecisioni ma on trovo risposte immediate nè sui libri e nè tantomento cercando in rete

La serie di Taylor è una serie di polinomi(che possono essere pure infiniti) che approssimano una funzione IN UN PUNTO.
Scegli un punto, costruisci la serie di Taylor(nel tuo esempio le derivate terze e superiori sono nulle, quindi è una serie finita) e otterrai una nuova funzione che si comporta come f(x) in quel punto.

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da misterx

cut

Non puoi fissare un h a tuo piacimento, l'h, per definizione, tende sempre a zero e, nel rapporto incrementale deve essere utilizzata come una lettera da cui poi dipende la tendenza del limite.

E' più giusto così:

f(x) = x^2

x0 = 3

     f(3 + h) - f(3)   9 + h^2 + 6h - 9
lim  --------------- = ---------------- = h + 6 -> 6
h->0        h                  h

In questo modo verifichi la derivabilità di una funzione in un punto.

Siccome la serie di Taylor ti permette di approssimare con un polinomio della variabile in questione una funzione "complessa", cercare il polinomio di Taylor per x^2 è un non-senso, perchè ti restituirà come valore sempre x^2.

Per un qualsiasi x0 (che assumiamo x0=1 per comodità), otteniamo che:

f (x) = x^2  --->  f (x0) = 1
f'(x) = 2x   --->  f'(x0) = 2
f"(x) = 2    --->  f"(x0) = 2

tutte le derivate successive sono nulle. Ora se tu vai a sostituire nella formula di Taylor i valori scritti qui sopra e fai quel paio di calcoli algebrici necessari, scopri come risultato

f(x) = x^2

Molto più utile è invece approssimare con questo metodo funzioni come ln x, sen x, cos x, e^x, ecc... ossia tutte quelle funzioni che non sono esse stesse un polinomio ottenuto come combinazione lineare di x, x^2, x^3,... x^n.

Ciao

[misterx]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

Non puoi fissare un h a tuo piacimento, l'h, per definizione, tende sempre a zero e, nel rapporto incrementale deve essere utilizzata come una lettera da cui poi dipende la tendenza del limite.

E' più giusto così:

f(x) = x^2

x0 = 3

     f(3 + h) - f(3)   9 + h^2 + 6h - 9
lim  --------------- = ---------------- = h + 6 -> 6
h->0        h                  h

In questo modo verifichi la derivabilità di una funzione in un punto.

Siccome la serie di Taylor ti permette di approssimare con un polinomio della variabile in questione una funzione "complessa", cercare il polinomio di Taylor per x^2 è un non-senso, perchè ti restituirà come valore sempre x^2.

Per un qualsiasi x0 (che assumiamo x0=1 per comodità), otteniamo che:

f (x) = x^2  --->  f (x0) = 1
f'(x) = 2x   --->  f'(x0) = 2
f"(x) = 2    --->  f"(x0) = 2

tutte le derivate successive sono nulle. Ora se tu vai a sostituire nella formula di Taylor i valori scritti qui sopra e fai quel paio di calcoli algebrici necessari, scopri come risultato

f(x) = x^2

Molto più utile è invece approssimare con questo metodo funzioni come ln x, sen x, cos x, e^x, ecc... ossia tutte quelle funzioni che non sono esse stesse un polinomio ottenuto come combinazione lineare di x, x^2, x^3,... x^n.

Ciao

grazie nuovamente a tutti.

[jeffryeretico]

ciao ragazzi,

ho bisogno di una mano. ho un 'esercizio da fare!
ho questo numero: 960, lo devo scomporre in 3 numeri, ad esempio: 16 x 10 x 6 , oppure 12 x 10 x 8 ( in ordine dal piu' grande al piu' piccolo; in modo che moltiplicati per 3 - 5 -6,7, mi diano il risultato di: 53,6 - 50 - 36. ( il risultato che so che deve avere il mio esercizio)

partendo a ritroso, ovvero facendo 53,6 - 50 - 36 diviso 3 - 5- 6,7 , mi da come risultato : 17, 86 - 10 - 5.37

la cosa che non mi torna è che scomponendo 960 in che modo riesco a trovare questi numeri con i decimali (con la virgola)?

con e scomposizioni normali che ho fatto, come dicevo prima mi viene tipo 12 x 10 x 8, ppure 16 x 10 x 6 (ricordo che mi servono sempre in scala dal piu' grande al piu' piccolo)


potete aiutarmi?

grazie

[jumpjack]

esisterà di certo un programma o una pagina che scompone un numero in fattori primi: inseriscici il tuo numero, ma dopo averlo moltiplicato per 10, per 100, o per 1000, e dividi i risultati per 10, 100 o 1000

forse...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da jacky guru

@ misterx: per verificare l'invertibilità, io uso questo stratagemma:

f strettamente monotona => f iniettiva => f invertibile

La suriettività serve a ben poco (anzi, credo a nulla) relativamente all'invertiblità. Invece l'iniettività è, di per sè, condizione necessaria e sufficiente.

Questo è vero per funzioni definite su intervalli della retta reale ed ivi continue.

Se la funzione non è continua, allora può essere invertibile senza essere monotona.
Considera, ad esempio, la funzione f tale che f(x)=x se x è razionale, ed f(x)=-x se x è irrazionale.
Non solo: se modifichi f in modo che valga 1 per x=0 e 0 per x=1, ottieni una funzione invertibile che non è continua in alcun punto!

[jacky guru]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Questo è vero per funzioni definite su intervalli della retta reale ed ivi continue.

Se la funzione non è continua, allora può essere invertibile senza essere monotona.
Considera, ad esempio, la funzione f tale che f(x)=x se x è razionale, ed f(x)=-x se x è irrazionale.
Non solo: se modifichi f in modo che valga 1 per x=0 e 0 per x=1, ottieni una funzione invertibile che non è continua in alcun punto!

Ho riportato quel ragionamento perchè credo sia il più elementare e il più comprensibile (anche per me).

Tornando al tuo esempio: una funzione più facile da prendere in esame può essere la mantissa di |x| ? EDIT: NO, mi rispondo da solo... non è proprio iniettiva, tra l'altro

[Jarni]

Originariamente inviato da jeffryeretico

ciao ragazzi,

ho bisogno di una mano. ho un 'esercizio da fare!
ho questo numero: 960, lo devo scomporre in 3 numeri, ad esempio: 16 x 10 x 6 , oppure 12 x 10 x 8 ( in ordine dal piu' grande al piu' piccolo; in modo che moltiplicati per 3 - 5 -6,7, mi diano il risultato di: 53,6 - 50 - 36. ( il risultato che so che deve avere il mio esercizio)

Pubblica il testo dell'esercizio.

[Ziosilvio]

Unito al thread in rilievo, della cui esistenza si terrà senz'altro conto in futuro

[jeffryeretico]

Originariamente inviato da jeffryeretico

ciao ragazzi,

ho bisogno di una mano. ho un 'esercizio da fare!
ho questo numero: 960, lo devo scomporre in 3 numeri, ad esempio: 16 x 10 x 6 , oppure 12 x 10 x 8 ( in ordine dal piu' grande al piu' piccolo; in modo che moltiplicati per 3 - 5 -6,7, mi diano il risultato di: 53,6 - 50 - 36. ( il risultato che so che deve avere il mio esercizio)

partendo a ritroso, ovvero facendo 53,6 - 50 - 36 diviso 3 - 5- 6,7 , mi da come risultato : 17, 86 - 10 - 5.37

la cosa che non mi torna è che scomponendo 960 in che modo riesco a trovare questi numeri con i decimali (con la virgola)?

con e scomposizioni normali che ho fatto, come dicevo prima mi viene tipo 12 x 10 x 8, ppure 16 x 10 x 6 (ricordo che mi servono sempre in scala dal piu' grande al piu' piccolo)


potete aiutarmi?

grazie

uppetino

[jeffryeretico]

Originariamente inviato da Jarni

Pubblica il testo dell'esercizio.

sostanzialmente è quello che ti ho indicato.
deve avere come risultato 53,6 - 50 - 36

[stgww]

Ciao, mi sono incasinato sul limte per x che tende a infinito di (x/(x+1))^x, in realtà è un limite di successione, ma a livello risolutivo non cambia niente.
Thx !

[T3d]

Originariamente inviato da stgww

Ciao, mi sono incasinato sul limte per x che tende a infinito di (x/(x+1))^x, in realtà è un limite di successione, ma a livello risolutivo non cambia niente.
Thx !

è un limite notevole, facile facile. è quello in cui l'esponenziale di un binomio particolare tende all'infinito ...

[stgww]

Originariamente inviato da T3d

è un limite notevole, facile facile. è quello in cui l'esponenziale di un binomio particolare tende all'infinito ...

Ho capi, ma non riesco a trasformarlo, il binomio è (1+1/x)^x, mi incasino durante qualche passaggio probabilmente, non hai voglia di farmelo due secondi?

[Herr Fritz 27]

  x          x          1
----- = ---------- = ------- = (1+1/x)^(-1)
 x+1     x(1+1/x)     1+1/x
			     |
			     |
			     v

(1+1/x)^(-1)^(x) --> (1+1/x)^(-x)

Che per x->inf il limite tende a e^(-1).

Ciao

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da stgww

Ciao, mi sono incasinato sul limte per x che tende a infinito di (x/(x+1))^x, in realtà è un limite di successione, ma a livello risolutivo non cambia niente.
Thx !

Fissato b, qual è la relazione tra a^b e (1/a)^b?

[stgww]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

  x          x          1
----- = ---------- = ------- = (1+1/x)^(-1)
 x+1     x(1+1/x)     1+1/x
			     |
			     |
			     v

(1+1/x)^(-1)^(x) --> (1+1/x)^(-x)

Che per x->inf il limite tende a e^(-1).

Ciao

Originariamente inviato da Ziosilvio

Fissato b, qual è la relazione tra a^b e (1/a)^b?

Grazie !!!

[stgww]

Ciao!, ma la richiesta è "Quando la funzione y=[...] è monotona" devo fare la derivata e porla maggiore di zero. L'intervallo che calcolerò sarà quello di monotonia? Si fa così?

Grazie

EDIT: Ops..scusate doppio post