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Old 16-06-2006, 12:33   #21
Bandit
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Come si risolve questo? Io mi sono arrugginito


Int(da -inf a +inf) [ (1-cos(x t))/x^2]


ovviamente il differenziale è dx.



Ho provato a calcolarlo con il Mathematica ma
dice che la funzione non converge? Non
è vero perchè al numeratore la funzione è limitata
mentre 1/x^2 converge a zero
vado con una specie di ricordo, non è che devi provare con taylor?
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Old 16-06-2006, 13:03   #22
gtr84
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vado con una specie di ricordo, non è che devi provare con taylor?
Il problema è che gli estremi di integrazione non sono finiti
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Old 16-06-2006, 13:05   #23
Bandit
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per parti hai provato? mettendo ad esempio 1/x * cos()/x
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Old 16-06-2006, 13:24   #24
gtr84
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L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t. Prima non convergeva perchè non avevo posto
t come parametro
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Old 16-06-2006, 13:29   #25
Bandit
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Originariamente inviato da gtr84
L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t. Prima non convergeva perchè non avevo posto
t come parametro
ok, meno male
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Old 16-06-2006, 19:50   #26
Ziosilvio
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Originariamente inviato da gtr84
L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t
Strano.
Io l'ho risolto col Teorema dei residui per t=1, e mi viene Pigreco.
Sempre per t=1 e sempre con Mathematica, integro tra 0 e +oo e mi viene 1.57 e qualche cosa, che non a caso è Pigreco-mezzi o giù di lì.

Dove sbaglio?

Nota: l'ho rifatto con Maxima per t>0 arbitrario, e mi dà Pigreco*t.
Quindi inizio a credere che ci sia un fattore 2 di troppo nella tua stima.

Altra nota: rifacendolo per t<0 (sempre con Maxima) mi sono accorto che in realtà l'integrale vale Pigreco*|t|.
Questo in realtà si capisce ricordando che il coseno è una funzione pari.
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Ultima modifica di Ziosilvio : 16-06-2006 alle 19:59.
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Old 16-06-2006, 23:43   #27
gtr84
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Originariamente inviato da Ziosilvio
Strano.
Io l'ho risolto col Teorema dei residui per t=1, e mi viene Pigreco.
Sempre per t=1 e sempre con Mathematica, integro tra 0 e +oo e mi viene 1.57 e qualche cosa, che non a caso è Pigreco-mezzi o giù di lì.

Dove sbaglio?

Nota: l'ho rifatto con Maxima per t>0 arbitrario, e mi dà Pigreco*t.
Quindi inizio a credere che ci sia un fattore 2 di troppo nella tua stima.

Altra nota: rifacendolo per t<0 (sempre con Maxima) mi sono accorto che in realtà l'integrale vale Pigreco*|t|.
Questo in realtà si capisce ricordando che il coseno è una funzione pari.
Oddio, scusa se ti ho fatto impazzire

La funzione è quella però moltiplicata per 2
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Old 16-06-2006, 23:50   #28
gtr84
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Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]

come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale...
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Old 17-06-2006, 10:28   #29
Ziosilvio
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Originariamente inviato da gtr84
Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]

come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale...
Speravo in questa domanda

Quando si deve calcolare l'integrale esteso a IR di una funzione del tipo "cosa in seno o coseno, diviso polinomio", conviene sostituire la parte trigonometrica con un esponenziale complesso, e valutare l'integrale originario come limite della parte reale (o immaginaria, a seconda dei casi) di un'opportuna famiglia di integrali della funzione olomorfa ottenuta.

Nel nostro caso, la funzione da integrare è u(x) = (1 - cos tx)/x^2.
Fai presto a vedere che l'integrale di u, è pari a |t| volte l'integrale di v(x) = (1 - cos x)/x^2.

Sia f(z) = (1 - exp(jz))/z^2: si vede subito che f è olomorfa in C privato dell'origine, dove ha un polo semplice con residuo -j = 1/j.
Per R>0 sia Gamma(R) il circuito costituito dai seguenti quattro pezzi:
- Gamma1(R): intervallo [1/R,R];
- Gamma2(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio R, contenuta nel semipiano superiore;
- Gamma3(R): intervallo [-R,-1/R];
- Gamma4(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1/R, contenuta nel semipiano inferiore.
Per ogni R, l'indice di avvolgimento di Gamma(R) rispetto all'origine è 1: per il Teorema dei Residui si ha allora:
Codice:
 /
 |
 |  f(z) dz  = 2 Pi j Res(f,0) Ind(Gamma(R),0) = 2 Pi
 |
/ Gamma(R)
Ma tale integrale è somma degli integrali sulle quattro componenti.
Ora, è chiaro che la somma dei contributi di Gamma1 e Gamma3, converge per R-->oo all'integrale su IRdi v(x): quindi occorre stimare gli altri due.

Consideriamo l'integrale di f(z) su Gamma2(R). Ponendo z = R exp(jt) troviamo:
Codice:
 /               / Pi
 |               |    1 - exp(j R exp(jt))
 |  f(z) dz  = j |    -------------------- dt
 |               |           R exp(jt)
/ Gamma2(R)     / 0
Ora, |exp(jt)| = 1, quindi vale la stima:
Codice:
|  /          |      / Pi
|  |          |    1 |
|  |  f(z) dz | <= - |    |1 - exp(j R exp(jt))| dt
|  |          |    R |
| / Gamma2(R) |     / 0
Ma |exp(j R exp(jt))| = exp(-R sin t), quindi per R-->oo l'integrando converge quasi ovunque a 1; essendo inoltre continuo in R e t l'integrando e limitato l'intervallo di integrazione, la convergenza è sicuramente dominata. Allora il contributo di Gamma2(R) va a zero.

Consideriamo adesso l'integrale di f(z) su Gamma4(R). Ponendo z = exp(jt)/R troviamo:
Codice:
 /             / 2 Pi
 |             |    exp(j exp(jt)/R) - 1
 |  f(z) dz  = |    -------------------- dt
 |             |         (j exp(jt)/R)
/ Gamma2(R)   / Pi
perché j = -1/j. Stavolta il valore dell'integrando converge q.o. al valore della derivata di g(z)=exp(z) nel punto z0=0, cioè a 1; ancora una volta la convergenza è dominata, per cui il contributo di Gamma4(R) converge a Pi.

Allora l'uguaglianza data dal Teorema dei Residui ha al primo membro una quantità che converge all'integrale di v(x) su IR, più Pi; e dall'altra parte 2 Pi. Quindi...
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Ultima modifica di Ziosilvio : 17-06-2006 alle 10:34.
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Old 17-06-2006, 10:46   #30
gtr84
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Old 17-06-2006, 10:55   #31
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Io però ci sono riuscito senza usare Mathematica
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Old 17-06-2006, 10:57   #32
Print
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Problema sulle probabilità

1 -Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta???
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Old 17-06-2006, 11:21   #33
Ziosilvio
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Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta?
Ovviamente è: uno, meno quella di sbagliare a tutte e tre.
Dài, che non è difficile...
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Old 17-06-2006, 12:02   #34
Lucrezio
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ZioSilvio perché niente LaTeX? Tutti quegli integralacci sembrerebbero meno mostruosi...
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Old 17-06-2006, 12:06   #35
Ziosilvio
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Originariamente inviato da Lucrezio
ZioSilvio perché niente LaTeX? Tutti quegli integralacci sembrerebbero meno mostruosi...
Perché, da quello che vedo a pagina 1, la visualizzazione delle formule LaTeX è ancora troppo dipendente dal sistema e dal browser --- mentre il testo monospaziato è universale
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Old 17-06-2006, 12:08   #36
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Originariamente inviato da Ziosilvio
Ovviamente è: uno, meno quella di sbagliare a tutte e tre.
Dài, che non è difficile...
cioè? il risultato mi dice: 61/125
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Old 17-06-2006, 12:19   #37
Lucrezio
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1 -Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta???
Beh, la probabilità di azzeccare una domanda è 1/5... quindi quella di sbagliare è 4/5.
La probabilità di sbagliarne tre di fila è 4/5*4/5*4/5=64/125
Quindi la probabilità di azzecarne almeno una andando a casaccio è 1-64/125=61/125
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Old 17-06-2006, 12:20   #38
Lucrezio
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Originariamente inviato da Ziosilvio
Perché, da quello che vedo a pagina 1, la visualizzazione delle formule LaTeX è ancora troppo dipendente dal sistema e dal browser --- mentre il testo monospaziato è universale
Già... purtroppo questo è un problema che non si è ancora risolto...
Maledizione, certo che se Edivad ci implementasse LaTeX direttamente nel forum (come su quello delle olimpiadi di matematica)...
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Old 17-06-2006, 12:20   #39
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Originariamente inviato da Lucrezio
Beh, la probabilità di azzeccare una domanda è 1/5... quindi quella di sbagliare è 4/5.
La probabilità di sbagliarne tre di fila è 4/5*4/5*4/5=64/125
Quindi la probabilità di azzecarne almeno una andando a casaccio è 1-64/125=61/125
ok tnx
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Old 19-06-2006, 15:59   #40
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integrale

Come si risolve questo integrale?

int lnx/x
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