[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Quando l'insieme è la chiusura di un insieme aperto.

nella fretta ho scritto male , volevo dire: quando accade che un insieme ha punti che sono di accumulazione di punti esterni? quando il punto appartiene a due insiemi diversi?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

quando accade che un insieme ha punti che sono di accumulazione di punti esterni?

Abbastanza spesso. Ricorda che un insieme e il suo complementare hanno la stessa frontiera.

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Abbastanza spesso. Ricorda che un insieme e il suo complementare hanno la stessa frontiera.

forse con un esempio riesco a capire meglio:
prendiamo nel piano complesso un cerchio C(0,R) , cioè un cerchio di centro l'origine e raggio R. direi che questo è un dominio(o sbaglio?)
sia A il suo complementare, che quindi è un aperto.
ora i punti sulla frontiera di C sono punti di accumulazione sia per punti interni a C, sia per punti esterni a C, infatti se prendiamo un intorno piccolo a piacere I di un punto z0 appartenente alla frontiera di C, esso conterrà sia punti di C che punti di A.
è esatto questo ragionamento? e se è così come fa ad essere un dominio il cerchio C?!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

prendiamo nel piano complesso un cerchio C(0,R) , cioè un cerchio di centro l'origine e raggio R. direi che questo è un dominio(o sbaglio?)

Immagino tu intenda: un cerchio chiuso di centro l'origine e raggio R.
Sì, è un dominio.

sia A il suo complementare, che quindi è un aperto

Sì: è l'insieme dei numeri complessi con valore assoluto maggiore di R.

ora i punti sulla frontiera di C sono punti di accumulazione sia per punti interni a C, sia per punti esterni a C, infatti se prendiamo un intorno piccolo a piacere I di un punto z0 appartenente alla frontiera di C, esso conterrà sia punti di C che punti di A.
è esatto questo ragionamento?

Sì.

e se è così come fa ad essere un dominio il cerchio C?

Essendo la chiusura di un aperto.
Dopotutto, se come esempio tu avessi preso il complementare del cerchio aperto di centro 0 e raggio R, anche quello sarebbe stato un dominio.
Tieni a mente che non c'è nulla che impedisca a un punto di essere di accumulazione per due insiemi disgiunti.

[gtr84]

C'è qualche esperto di statistica?

Ho capito che in base al campione si sceglie il test statistico
appropriato.

Quando vado a calcolare il livello di significatività dei dati ossservati
non riesco ad interpretare il risultato.

Qualcuno mi aiuta? Io la statistica la odio!

[TALLA]

Ciao ragazzi....i soliti stupidi dubbi!
Come tutti sapete in una funzione, il segno della sua derivata ne determina la crescenza o la decrescenza....guardando il libro ho però trovato una stranezza o che sono io il rincitrullito!

nella y=x^2-1/x^2-4

la derivata è y'= -6x/(x^2-4)^2

quindi studiando il segno dovrebbe decrescere da -infinito a 0 e crescere da 0 a + infinito!invece è tutto il contrario!!!e non riesco a capire il perchè

grazie

[TALLA]

Ei.......LASCIATE PERDERE!!!!!!


CHE IDIOTAAA!!!!!

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Esattamente: (cut)

Oh, perfetto...era proprio il punto che non ricordavo precisamente! Tnx.

[ChristinaAemiliana]

Ho una domanda veloce anche io...mi è sorto un dubbio.

La famosa proprietà della derivata prima della delta di Dirac:

f(t)δ'(t) = f'(0)δ(t) - f(0)δ'(t)

è così o sbaglio il segno? Ho un vuoto di memoria...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Tnx.

Prego.

Anzi: grazie a te, visto che dopo il tuo post ho corretto gli ultimi due errori che c'erano!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

La famosa proprietà della derivata prima della delta di Dirac:

f(t)δ'(t) = f'(0)δ(t) - f(0)δ'(t)

è così o sbaglio il segno? Ho un vuoto di memoria...

Bisogna che ci mettiamo un po' d'accordo sulle notazioni.
Con delta(t) intendi la distribuzione su IR che associa alla funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto f il suo valore nel punto t?

Se è così, allora in quanto distribuzione delta(t) è derivabile e il valore di delta'(t) su f è il valore di f' in t, cambiato di segno.
(Si tratta semplicemente della formula di integrazione per parti, in cui l'integrale viene valutato su un intervallo chiuso e limitato che contiene propriamente i supporti di f ed f' e include t.)

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Bisogna che ci mettiamo un po' d'accordo sulle notazioni.
Con delta(t) intendi la distribuzione su IR che associa alla funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto f il suo valore nel punto t?

Sì, la definizione della delta è quella anche per me, con l'unica differenza che il valore associato a f è quello nel punto 0, o in generale quello nel punto dove la delta è centrata in caso di delta traslate. In sostanza, questa distribuzione:

         /+oo
        |      
f(z) =  |      δ(t)f(t)dt = f(0)
        |      
        /-oo

Se è così, allora in quanto distribuzione delta(t) è derivabile e il valore di delta'(t) su f è il valore di f' in t, cambiato di segno.
(Si tratta semplicemente della formula di integrazione per parti, in cui l'integrale viene valutato su un intervallo chiuso e limitato che contiene propriamente i supporti di f ed f' e include t.)

Allora se ho capito bene è così:

         /+oo
        |      
        |      δ'(t)f(t)dt = 
        |      
        /-oo


         /+oo
        |      
  =   - |      δ(t)f'(t)dt = 
        |      
        /-oo

  
  = f'(0)

Questa se non ricordo male è proprio quella definizione di derivata distribuzionale che si tira fuori facendo per parti l'integrale tra -oo e +oo e considerando che il primo addendo derivante dall'integrazione per parti è nullo perché f(t) è diversa da zero solo in un intervallo limitato.

E fin qui ci siamo.

Il mio dubbio era se si potesse fare un ragionamento del genere. La delta gode di questa proprietà, che si dimostra banalmente prendendo gli integrali di ambo i menbri tra -oo e +oo:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

allora uno si può chiedere:

f(t)δ'(t) = ?

Per rispondere si può provare a prendere la derivata del prodotto:

[f(t)δ(t)]' = f'(t)δ(t) + f(t)δ'(t)

poi si considera che per la proprietà della delta scritta sopra:

[f(t)δ(t)]' = [f(0)δ(t)]' = f(0)[δ(t)]' = f(0)δ'(t)

perché f(0) e una costante. Poi sempre usando la stessa proprietà della delta, il primo addendo a secondo membro diventa:

f'(t)δ(t) = f'(0)δ(t)

Quindi sostituendo i risultati trovati:

f(0)δ'(t) = f'(0)δ(t) + f(t)δ'(t)

E infine isolando il secondo addendo a secondo membro risulta:

f(t)δ'(t) = f(0)δ'(t) - f'(0)δ(t)

che è la risposta alla domanda iniziale.

Ecco, io ricordavo una proprietà del genere della δ'(t), anche se avevo incertezze sul segno (che infatti è l'opposto di quanto avevo ipotizzato all'inizio!). Il discorso mi funziona, ma sono incerta sui passaggi fatti...in particolare mi chiedevo se fosse rigorosamente lecito applicare la formula della derivata di un prodotto quando c'è di mezzo una distribuzione.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Sì, la definizione della delta è quella anche per me, con l'unica differenza che il valore associato a f è quello nel punto 0, o in generale quello nel punto dove la delta è centrata in caso di delta traslate.

Ossia: fai finta che delta sia una funzione che soddisfa delta(0) = +oo, delta(x) = 0 per ogni x<>0, e integrale su IR di delta(t)dt = 1.
OK: quindi delta è la delta di Dirac "classica".

Allora se ho capito bene è così:

         /+oo
        |      
        |      δ'(t)f(t)dt = 
        |      
        /-oo


         /+oo
        |      
  =   - |      δ(t)f'(t)dt = 
        |      
        /-oo

  
  = f'(0)

Ossia: integrale su IR di delta'(t)f(t)dt = (delta(+oo)f(+oo)-delta(-oo)f(-oo)) - integrale su IR di delta(t)f'(t)dt = 0 (perché f è a supporto compatto) - f'(0) (per definizione di delta).
Nella tua formula manca un segno "meno" davanti a f'(0); per il resto va bene.

Il mio dubbio era se si potesse fare un ragionamento del genere. La delta gode di questa proprietà, che si dimostra banalmente prendendo gli integrali di ambo i menbri tra -oo e +oo:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

Qui ho qualche dubbio di natura semantica.
Dunque: a primo membro hai il prodotto di una funzione fondamentale (ossia: infinitamente differenziabile a supporto compatto) e una distribuzione, che è una distribuzione; invece al secondo hai il prodotto di un numero e di una distribuzione, che va inteso come un multiplo della distribuzione delta (le distribuzioni formano uno spazio vettoriale).
Allora l'uguaglianza si può interpretare solo come uguaglianza tra distribuzioni, e l'interpretazione è la seguente: per ogni funzione fondamentale f, la distribuzione f(t)delta(t) è uguale alla distribuzione f(0)delta(t). Il che a sua volta vuol dire: per ogni funzione fondamentale g(t), il valore della distribuzione f(t)delta(t) su g, è uguale a f(0) volte il valore della distribuzione delta su g. E direi che questo è proprio vero.

allora uno si può chiedere:

f(t)δ'(t) = ?

Per rispondere si può provare a prendere la derivata del prodotto:

[f(t)δ(t)]' = f'(t)δ(t) + f(t)δ'(t)

poi si considera che per la proprietà della delta scritta sopra:

[f(t)δ(t)]' = [f(0)δ(t)]' = f(0)[δ(t)]' = f(0)δ'(t)

perché f(0) e una costante. Poi sempre usando la stessa proprietà della delta, il primo addendo a secondo membro diventa:

f'(t)δ(t) = f'(0)δ(t)

Quindi sostituendo i risultati trovati:

f(0)δ'(t) = f'(0)δ(t) + f(t)δ'(t)

E infine isolando il secondo addendo a secondo membro risulta:

f(t)δ'(t) = f(0)δ'(t) - f'(0)δ(t)

che è la risposta alla domanda iniziale.

Ecco, io ricordavo una proprietà del genere della δ'(t), anche se avevo incertezze sul segno (che infatti è l'opposto di quanto avevo ipotizzato all'inizio!). Il discorso mi funziona, ma sono incerta sui passaggi fatti...in particolare mi chiedevo se fosse rigorosamente lecito applicare la formula della derivata di un prodotto quando c'è di mezzo una distribuzione.

Secondo me, il modo più semplice per non avere questo tipo di dubbi, è trattare le distribuzioni per quello che sono, ossia funzionali lineari debolmente continui sullo spazio delle funzioni fondamentali; e non per quello che vorremmo che fossero, ossia "funzioni fasulle"
Con questa filosofia: se T è una distribuzione e g è una funzione fondamentale, indica con <T,g> il valore di T su g.
Se f è una funzione infinitamente differenziabile (non occorre che sia anche una funzione fondamentale), allora puoi definire Tf (o fT) come la distribuzione che soddisfa <Tf,g>=<T,fg> per ogni funzione fondamentale g. (Esercizio: dimostrare che Tf è davvero una distribuzione.) Allora puoi applicare la regola di derivazione del prodotto, perché:

<(Tf)',g> = - <Tf,g'>
          = - <T,fg'>
          = - <T,(fg)'-f'g>
          = - <T,(fg)'> + <T,f'g>
          = <T',fg> + <Tf',g>
          = <T'f,g> + <Tf',g>

per ogni funzione fondamentale g, e quindi (Tf)'=T'f+Tf' come distribuzione.
Fa' attenzione, però, perché (Kolmogorov&Fomin, edizione italiana, pag. 204) non si può definire il prodotto di due distribuzioni generiche in modo che sia continuo e contemporaneamente che il prodotto di due distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili sia la distribuzione indotta dal prodotto delle due funzioni.

[Qwertid]

Ciao ragazzi!
Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente? Vi ringrazio

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Qwertid

Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente?

Solo per il modo orrendo in cui ci hai sottoposto il tuo problema, meriteresti di non avere risposta


La prossima volta, usa LaTeX, o testo puro in un tag "code".

Ad ogni modo: parti bene, ma alla terza riga sbagli a calcolare l'integrale di (y+5)dy tra -sqrt(4-x^2) e sqrt(4-x^2).
Infatti la primitiva è y^2/2+5y, ma il primo addendo calcolato tra i due estremi è (4-x^2)/2-(4-x^2)/2, ossia 0.
Te ne potevi accorgere osservando che y è una funzione dispari, e integrata su un intervallo simmetrico dà 0.
Per cui, rimane solo il pezzo 10*sqrt(4-x^2).

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Qwertid

Ciao ragazzi!
Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente? Vi ringrazio

Un errorino c'è...

[Qwertid]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Solo per il modo orrendo in cui ci hai sottoposto il tuo problema, meriteresti di non avere risposta


La prossima volta, usa LaTeX, o testo puro in un tag "code".

Ad ogni modo: parti bene, ma alla terza riga sbagli a calcolare l'integrale di (y+5)dy tra -sqrt(4-x^2) e sqrt(4-x^2).
Infatti la primitiva è y^2/2+5y, ma il primo addendo calcolato tra i due estremi è (4-x^2)-(4-x^2), ossia 0.
Te ne potevi accorgere osservando che y è una funzione dispari, e integrata su un intervallo simmetrico dà 0.
Per cui, rimane solo il pezzo 10*sqrt(4-x^2).

Ti ringrazio per l'aiuto In effetti ho postato in maniera scandalosa ma domani c'è l'esame di analisi II e non ho tanto tempo per le finezze

Il mio dubbio più grande era se integrare direttamente con gli estremi dati e considerare come funzione y=1 oppure fare qualche magagna prima

Grazie ancora per l'aiuto!

[Bandit]

Se ho ---x(t)----->[__LTI___]----y(t)--->


se ho un x(t)= cos(2πf0t) che entra in un sistema lineare tempo invariante con risposta impulsiva h(t), l'uscita è 1/2|H(f0)|[e^(j2πf0t+faseH(f0)+e^(-j2πf0t+faseH(f0))]
la spiego poichè non la so scrivere 1/2 per il modulo di H(f0) che moltiplica la formula di eulero del coseno: dove agli esponenziali normali si aggiunge l'esponenziale con la fase di H(f0).

ora come faccio a sapere che H(f0)=j2πf

[Qwertid]

Scusate mi è venuto un altro dubbio

"Assegnata la funzione f(x,y)=alfa*log(1+xy) determinare le direzioni di massima e minima pendenza di f nel punto di coordinate (1,2). Per quali valori di alfa tali direzioni sono ortogonali al vettore (1,-2)?"

Facendo i conti e risolvendo la prima parte dell'esercizio trovo che le direzioni di massima e minima pendenza sono indipendenti dal valore di alfa.. Di conseguenza ogni valore di alfa sarà accettabile come direzione ortogonale al vettore.. La mia domanda è : qual è il significato nascosto che sta dietro questo fatto? Ovvero perchè accade una cosa del genere (dal punto di vista geometrico?)? Grazie!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Qwertid

Facendo i conti e risolvendo la prima parte dell'esercizio trovo che le direzioni di massima e minima pendenza sono indipendenti dal valore di alfa.

Questo è naturale: applicando una moltiplicazione di fattore alpha>0, tu puoi cambiare l'entità dello spostamento, ma devi farlo dello stesso fattore in ogni punto, per cui le direzioni di massima variazione rimangono quelle.

La mia domanda è : qual è il significato nascosto che sta dietro questo fatto?

Semplicemente quello che ho detto poco fa.