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[DanieleC88]

Non ricordo bene questi argomenti, ma credo che non si possa determinare in questo modo l'invertibilità di una funzione. Mi spiego meglio: una derivata prima sempre positiva (o sempre negativa) ti dice che la funzione è sempre strettamente crescente (o strettamente decrescente), e quindi "mai uguale a se stessa" (in parole povere, è monotòna). Da questo il fatto di essere anche invertibile: non credo sia però vero il contrario...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
ho un dubbio che mi attanaglia più per una questione forse di appunti presi male. Il dubbio riguarda le funzioni invertibili: leggo dai miei appunti che una funzione è invertibile sse la sua derivata prima non si azzera mai ma, ad esempio se porendo y=x^3 la sua y'=3x^2 si azzera per x=0 allora dovrei dire che x^3 non è invertibile ma ad occhio x^3 è invertibile in quanto per ogni x corrisponde una ed una sola y e viceversa; dove sta l'errore ?

grazie

Ci sono degli errori negli appunti.

Una funzione a valori reali, definita su un intervallo e derivabile in ogni punto interno, è invertibile se e solo se la derivata prima non si annulla in nessun sottointervallo non ridotto a un punto.
Ossia, la derivata può annullarsi in singoli punti, ma non in intervalli di misura positiva.
Un esempio è proprio la terza potenza, che è invertibile (ciascun numero reale ha una ed una sola radice cubica reale) e la cui derivata prima si annulla solo nell'origine.

D'altra parte, una funzione continua a valori reali definita in un intervallo è invertibile se e solo se è monotona.
E fai presto a vedere che, se una funzione monotona è derivabile in un intervallo, allora la derivata non cambia mai segno in quell'intervallo, nel senso che non passa mai da positiva a negativa o da negativa a positiva.

[sekkia]

La proposizione "tutti i giovedì lavoro al bar e vado in campagna" è falsa.
Ne deriva necessariamente che:
- alcuni giovedì non lavoro al bar e non vado in campagna;
oppure:
- alcuni giovedì non lavoro al bar o non vado in campagna.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da sekkia

La proposizione "tutti i giovedì lavoro al bar e vado in campagna" è falsa.
Ne deriva necessariamente che:
- alcuni giovedì non lavoro al bar e non vado in campagna;
oppure:
- alcuni giovedì non lavoro al bar o non vado in campagna.

Poni A(x) = "x è giovedì", B = "lavoro al bar", C = "vado in campagna".
Allora la negazione di "per ogni x, se A(x) allora B e C" è...

[sekkia]

Io penso che sia giusta la seconda, dato che:
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
però il testo su cui l'ho trovato indica come corretta la prima, affermando che non ci sono abbastanza dati da utilizzare la disgiunzione.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da sekkia

Io penso che sia giusta la seconda, dato che:
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
però il testo su cui l'ho trovato indica come corretta la prima, affermando che non ci sono abbastanza dati da utilizzare la disgiunzione.

Strano, anche a me sembra corretta la seconda.
Qual è il testo su cui hai trovato l'esercizio?

[sekkia]

Medicina
Odontoiatria
Veterinaria
EDITEST
ISBN 9788879596220

Afferma che, dato che "tutti e tutti" è falsa, allora "alcuni e alcuni" è vera. Sembra a me oppure anche questo è un ragionamento abbastanza campato per aria?

[DanieleC88]

Originariamente inviato da sekkia

Afferma che, dato che "tutti e tutti" è falsa, allora "alcuni e alcuni" è vera. Sembra a me oppure anche questo è un ragionamento abbastanza campato per aria?

Anche a me sembra parecchio campato in aria: se è falso che "tutti i giovedì (A) e (B)", allora è vero che "esiste un giovedì in cui (non A) oppure (non B)", ma nessuno mi dice che invece "esiste un giovedì in cui (non A) e (non B)". Se il tipo in questione, in un giovedì, decide di falsificare la proposizione, non ha bisogno necessariamente di rinunciare alla campagna (basta non andare al bar).

[misterx]

ciao,
grazie 1000 per le vostre risposte, ora sto ripassandola matematica "quasi" elementare e tornando sul dubbio funzione invertibile ho i seguenti dubbi:

1) funzione inversa e funzione invertibile sono la stessa cosa ?
2) tutte le funzioni se si considera come campo di esistenza (0,+oo) sono invertibili ?
3) le funzioni invertibili sono solo quelle dispari ?
4) nel caso di un polinomio la funzione è pari/dispari in funzione dell'esponente di grado maggiore ?

grazie

[Lampo89]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
grazie 1000 per le vostre risposte, ora sto ripassandola matematica "quasi" elementare e tornando sul dubbio funzione invertibile ho i seguenti dubbi:

1) funzione inversa e funzione invertibile sono la stessa cosa ?
2) tutte le funzioni se si considera come campo di esistenza (0,+oo) sono invertibili ?
3) le funzioni invertibili sono solo quelle dispari ?
4) nel caso di un polinomio la funzione è pari/dispari in funzione dell'esponente di grado maggiore ?

grazie

1) La funzione è invertibile quando soddisfa le condizioni di invertibilità nel dominio di definizione E (potrebbe accadere anche in un sott'insieme del dominio D, allora si dice che la funzione ristretta a D è invertibile); funzione inversa f-1 è proprio l'applicazione che mappa un elemento del codominio di f in E.
2) no
3) no
4) no: devi considerare anche gli altri termini. esempio : x^2 + x non è pari perchè f(-x) = x^2 - x ; però se un polinomio contiene solo x elevate a esponenti pari allora è una funzione pari; se un polinomio contiene solo termini dispari allora è dispari.

[sekkia]

Originariamente inviato da misterx

1) funzione inversa e funzione invertibile sono la stessa cosa ?

No, una funzione può essere invertibile e quindi esiste la sua funzione inversa: invertibile è una proprietà della f(x), l'inversa è proprio la funzione inversa di f(x).

Originariamente inviato da misterx

4) nel caso di un polinomio la funzione è pari/dispari in funzione dell'esponente di grado maggiore ?

Si e no.
Se sono presenti solo termini di grado pari allora la funzione è pari, stessa cosa se ci sono solo dispari:
: dispari
: pari ()

Nel caso sia presente la somma (algebrica) di esponenti pari e dispari, allora la funzione non è né pari né dispari:
: né P né D

In caso di moltiplicazione/divisione funziona come +/-:
P x P = P
D x D = P
P x D = D
Uguale per la divisione.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

nel caso di un polinomio la funzione è pari/dispari in funzione dell'esponente di grado maggiore ?

No, questo è vero per i monomi ma non per i polinomi in generale, ad esempio p(x)=x^2-x+2 e q(x)=x^3-x+2 non sono né pari né dispari.

[misterx]

ciao,
correggetemi se mi sbaglio: quindi una funzione può non essere suriettiva ma rimanere ugualmente invertibile, giusto ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
correggetemi se mi sbaglio: quindi una funzione può non essere suriettiva ma rimanere ugualmente invertibile, giusto ?

Dati dominio e codominio, una funzione invertibile è sia iniettiva che suriettiva.
Quindi, casomai, è vero il contrario di quello che dici: una funzione può non essere invertibile pur rimanendo suriettiva.

L'uso di alcuni libri di analisi che chiamano invertibile una funzione iniettiva, deriva dal fatto che una funzione il cui codominio sia il suo "range" (ossia l'immagine dell'insieme di definizione) è per costruzione suriettiva.

[misterx]

ciao Ziosilvio,
io ho un caso in un esercizio di una funzione per casi dove studiata per determinati valori presenta un "buco" sull'asse delle y e quindi credo non sia suriettiva.

Il docente costruisce il campo di esistenza della funzione facendo una unione dei due insiemi che, passami il termine, "scansano" il buco (0, 1/3) U [1/2, +oo) e quindi dice che la funzione in questo caso è invertibile.

Ciò significa che evitando eventuali "buchi" una funzione può essere resa invertibile ?
E credo che sia un pò quello che mi dicevi nell'altra risposta a proposito dell'annullarsi della derivata prima in un punto nel caso della y=x^3: almeno credo.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

ciao Ziosilvio,
io ho un caso in un esercizio di una funzione per casi dove studiata per determinati valori presenta un "buco" sull'asse delle y e quindi credo non sia suriettiva.

Il docente costruisce il campo di esistenza della funzione facendo una unione dei due insiemi che, passami il termine, "scansano" il buco (0, 1/3) U [1/2, +oo) e quindi dice che la funzione in questo caso è invertibile.

Ciò significa che evitando eventuali "buchi" una funzione può essere resa invertibile ?
E credo che sia un pò quello che mi dicevi nell'altra risposta a proposito dell'annullarsi della derivata prima in un punto nel caso della y=x^3: almeno credo.

Per rispondere bene, dovrei avere davanti il testo effettivo dell'esercizio.

[misterx]

ciao,
ecco l'esercizio:

     { 2^x     se caso1: x>=0, caso2: x>=1, caso3: x>= -1
f(x)={
     { 3^x     se caso1: x<0,  caso2: x<1,  caso3: x< -1

sono in tutto tre casi

quello di cui si discuteva era il caso 3 cioè quando 2^x ha x>=-1 e 3^x ha x<-1

Per il caso 2 la funzione non è biunivoca mentre nel caso 3 è biunivoca ma non sutiettiva per via di un buco tra l'intervallo che ho postato in precedenza ma nonostante questo fatto, la funzione è invertibile.

Detto questo, allora la proprietà di essere biunivoca non è fondamentale per dire che una funzione è invertibile in quanto è sufficiente ignorare il "buco".

ciao

[xxxyyy]

Qualcuno riuscirebbe a dimostrare la converegenza uniforme di sta serie?



Grazie!

[Aldin]

Mah, potrebbe aiutarti e^(-x)=O(x^(-a)) per x-> +oo e a>0 ?

Ho anche io una domanda. La funzione radice di indice pari, va da[0,+oo[->[0,+oo[ dato che è questo l'intervallo di invertibilità della funzione potenza di indice pari. Quando pero' facciamo radq(4) otteniamo 2 e -2. Per definizione -2 non dovrebbe esserci dato che non fa parte del codominio della funzione radice di indice pari. O fa 2 o -2, a seconda che si scelga il ramo destro o quella sinistro della funzione potenza:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi..._x%5E2.svg.png

[Lampo89]

Qualcuno riuscirebbe a dimostrare la converegenza uniforme di sta serie?


Grazie!

a è una costante positiva? A me riuscirebbe di dimostrare il contrario, cioè che la serie di funzioni non converge uniformemente, perchè la successione di funzioni non converge uniformemente.
se a è positivo diverso da zero, l'insieme di convergenza della serie di funzioni è [0,+inf), infatti per x negativo nel limite per n->+00 l'esponenziale va all'infinito con segno positivo, mentre l'altro termine con segno negativo; al contrario per x >= 0 va a zero. La successione converge alla funzione nulla per x>= 0.
Per verificare la convergenza uniforme della serie bisogna calcolare il limite per n che tende all'infinito dell'estremo superiore, al variare di x in E [0,+inf), di |fn(x)-f(x)| e controllare se è uguale a 0. ma per ogni n ciascuna funzione dovrebbe avere massimo nel punto x = a/n. di conseguenza :

lim sup |nx*exp(-nx/a)| = lim n->+oo a = a ed è diverso da zero.
poichè la successione di funzioni non converge uniformemente, la serie di funzioni ad essa associata non converge uniformemente, affermazione che si ottiene negando il teorema:
la serie di funzioni di termine generale fn(x) converge unif -> la successione di funzioni fn(x) converge uniformemente.
Non sono certo della correttezza della dimostrazione perchè:
1 probabilmente il testo diceva espressamente che la serie converge uniformemente
2 non studio queste cose da 6 mesi
quindi ti invito di ascoltare il consiglio di persone ben più preparate di me