[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Guts

nn riesco a capire l'oscillatore armonico con le eq differenziali.

ho mx''+kx=0 quindi mi trovo le soluzioni del polinomio caratteristico che sono
l1,2(chiamo così lambda)=+-i rad(k/m)

chiamo w=rad(k/m) (ma perchè??)

Perché quando derivi f(wx) ottieni w*f'(wx), e derivando un'altra volta ottieni w^2 * f''(wx).
Per cui, se f(x) risolve y''+y=0, allora f(wx) risolve y''+(w^2)y=0.

ho quindi che z(x)=c1 cos(wt) + c2 sin (wt), fin qua ok.
ma poi come trovo che questo è uguale a Acos(wt+a)?

Usa le formule:

sin x = cos(x-Pi/2)
cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)

e fai un po' di manipolazione.

sulla spiegazione che ho negli appunti c'è poi:

Acos(wt+a)=A(coswt-sinwtsina)
c1=Acosa
c2=-Asina

c1^2+c2^2=A^2
A=rad(c1^2+c2^2)

cosa=c1/rad(c1^2+c2^2)
sina=c2/rad(c1^2+c2^2)

qualcuno mi spiega il procedimento pls.

Innanzitutto, se ci fai caso, c1 e c2 sono rispettivamente x(0) e x'(0).
La prima riga mi sembra un errore di copiatura della formula di addizione del coseno:

A cos(wt+a) = A (cos wt cos a - sin wt sin a)

La quarta riga è un'applicazione della prima relazione fondamentale della Trigonometria piana. La quinta è una riscrittura con cui calcoli A: puoi supporre A>=0, perché puoi sistemare il segno lavorando sull'angolo a, che calcoli sfruttando le ultime due righe.

2)come dimostro che l'integrale generale di un'equazione differenziale(y(x)) è dato dalla somma della soluzione dell'omogenea(z(x)) più una soluzione particolare(yp(x))?

sul quaderno ho scritto una cosa del genere:
dato che sia y(x) che yp(x) sono soluzioni dell'equazione diff lineare, allora y-yp sarà soluzione dell'omogenea (ma perchè? le soluzioni dell'equazione sono anche soluzioni dell'omogenea?) e quindi y-yp=z, quindi y=z+yp.
qualcuno me la spiega?

L'equazione differenziale ha la forma F(x,y,y',y'') = g(x), dove F soddisfa la relazione F(x,y1+y2,(y1+y2)',(y1+y2)'') = F(x,y1,y1',y1'') + F(x,y2,y2',y2'').
Allora, se y e yp sono entrambe soluzioni di F(x,y,y',y'')=g(x), y-yp soddisfa F(x,y-yp,(y-yp)',(y-yp)'') = F(x,y,y',y'')-F(x,yp,yp',yp'') = g(x)-g(x)=0; ossia, y-yp è soluzione dell'omogenea associata.

[Guts]

grazie mille, il 2o ho capito, il primo ora me lo riguardo un po' meglio
ciao

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da cagnaluia

1.a.
Se ho una matrice A...

Unito al thread in rilievo.

[TALLA]

Salve a tutti ragazzi....a volte mi capita di imbattermi in alcune funzioni le quali(per il loro studio) mi tocca derivarle due volte...e spesso capita che diventi un lavoro lunghissimo e "incasinato" trovarne gli zeri!
Ad esempio una del genere
y= 1/2 x^2 + 4x + 2/(2x+1)
diventa lunghissimo il lavoro per determinare la concavità!

Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche trucco di semplificazione che mi ritorni utile per determinare a occhio ad esempio la concavità delle funzioni, o che riesca in qualche modo a vedere subito in che maniera è rivolta la concavità!

Grazie

[pietro84]

altro piccolo dubbio sulle serie.

consideriamo una funzione f: z app ad A----->f(z) app B
con A e B aperti del piano complesso,
ed una serie di funzioni {Sn(z)} di termine generale fn(z).
distinguiamo ora due casi:
1){Sn(z)} converge uniformemente in A alla funzione f(z).
2){Sn(z)} converge puntualmente in A alla funzione f(z)

la definizione formale di convergenza uniforme è molto chiara e semplice, però non mi ha fatto capire molto bene la differenza che c'è tra convergenza puntuale e convergenza uniforme in pratica.
cioè qual è la differnza tra f(z) nel caso 1 e f(z) nel caso 2 ?

[Guts]

Originariamente inviato da TALLA

Salve a tutti ragazzi....a volte mi capita di imbattermi in alcune funzioni le quali(per il loro studio) mi tocca derivarle due volte...e spesso capita che diventi un lavoro lunghissimo e "incasinato" trovarne gli zeri!
Ad esempio una del genere
y= 1/2 x^2 + 4x + 2/(2x+1)
diventa lunghissimo il lavoro per determinare la concavità!

Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche trucco di semplificazione che mi ritorni utile per determinare a occhio ad esempio la concavità delle funzioni, o che riesca in qualche modo a vedere subito in che maniera è rivolta la concavità!

Grazie

io nn ho mai sentito di alcun trucco, giusto con le parabole se a è positivo han concavità verso l'alto. alla fine devi trovare cmq i punti in cui la derivata(prima o seconda che sia) si annulla, quindi devi calcolartele lo stesso. dopo che ne fai un bel po' vai via spedito

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

la definizione formale di convergenza uniforme è molto chiara e semplice, però non mi ha fatto capire molto bene la differenza che c'è tra convergenza puntuale e convergenza uniforme in pratica.

La differenza non sta nel limite, ma nel modo in cui lo si raggiunge.
Nella convergenza puntuale, l'indice n_epsilon che serve ad avere |S{n}(z)-f(z)|<epsilon per n>n_epsilon, è a priori uno per ciascuno z; nella convergenza uniforme, ce n'è uno che va bene per tutti gli z.
E' chiaro allora che la convergenza uniforme è una condizione molto più "severa" di quella puntuale; ma allora, le proprietà che si hanno in caso di convergenza uniforme, devono essere migliori di quelle che si hanno in caso di convergenza puntuale.
E in effetti è così: per una successione di funzioni continue, la convergenza puntuale non implica la continuità del limite, mentre quella uniforme sì.
Se poi lavori sul piano complesso, allora hai il bellissimo teorema (dovuto a Weierstrass, mi pare) per cui, se le f{n} (o, che è lo stesso, le S{n}) sono olomorfe in A e se S{n}-->f uniformemente sui compatti di A, allora f è olomorfa in A e S'{n}-->f' uniformemente sui compatti di A.

[Guts]

domanda stupida ma nn mi viene in mente

data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

E in effetti è così: per una successione di funzioni continue, la convergenza puntuale non implica la continuità del limite, mentre quella uniforme sì.
Se poi lavori sul piano complesso, allora hai il bellissimo teorema (dovuto a Weierstrass, mi pare) per cui, se le f{n} (o, che è lo stesso, le S{n}) sono olomorfe in A e se S{n}-->f uniformemente sui compatti di A, allora f è olomorfa in A e S'{n}-->f' uniformemente sui compatti di A.

è proprio questo che volevo sapere.
quindi in parole povere se un serie converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A la f(z) è continua comunque io prendo z.
se invece converge puntualmente e non uniformemente vuol dire che la f(z) presenta delle discontinuità?

ps: cosa sono i compatti di A?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

se un serie converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A la f(z) è continua comunque io prendo z.

Attento a non fare confusione: la convergenza uniforme è una proprietà di insieme, per cui non ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A", mentre ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) in un insieme A".

se invece converge puntualmente e non uniformemente vuol dire che la f(z) presenta delle discontinuità?

Vuol dire che non puoi pretendere che non ci siano discontinuità.
Dopotutto, f{n}(z)=z/n converge puntualmente ma non uniformemente in C alla costante zero, che è continua in C.

ps: cosa sono i compatti di A?

Un compatto di C è la stessa cosa di un compatto di IR^2: un insieme chiuso e limitato.
Dire che "f{n} converge a f uniformemente sui compatti di A" vuol dire che, se K è un compatto di C contenuto in A, allora f{n} converge uniformemente a f in K.
La convergenza uniforme sui compatti di A è un po' meno della convergenza uniforme in A, ma è sufficiente in parecchie applicazioni.

[pietro84]

Attento a non fare confusione: la convergenza uniforme è una proprietà di insieme, per cui non ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A", mentre ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) in un insieme A".

giusto, hai ragione

quando è richiesta l'ipotesi di convergenza uniforme del limite, è per la garanzia che il limite f(z) sia una funzione continua?
ad esempio il teorema che hai citato tu mi sembra che l'ho studiato tempo fa come "teorema di derivazione termine a termine" , richiede la convergenza uniforme per il motivo che ho ipotizzato?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

quando è richiesta l'ipotesi di convergenza uniforme del limite, è per la garanzia che il limite f(z) sia una funzione continua?

Esatto.
E in effetti, se A è aperto, allora non è necessaria la convergenza uniforme in A, ma basta la convergenza uniforme sui compatti di A a garantire che il limite sia una funzione continua.

ad esempio il teorema che hai citato tu mi sembra che l'ho studiato tempo fa come "teorema di derivazione termine a termine" , richiede la convergenza uniforme per il motivo che ho ipotizzato?

Sì, perché poi usi il Teorema di Morera per dimostrare che il limite è una funzione olomorfa oltre che continua, e il Teorema di Cauchy per dimostrare la convergenza della serie delle derivate.

[ChristinaAemiliana]

Uhm, e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini? In questo momento non ricordo bene da dove arrivava quel risultato.

[pietro84]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Uhm, e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini? In questo momento non ricordo bene da dove arrivava quel risultato.

dopo aver dimostrato che f(z) è olomorfa nell'aperto A il gioco è fatto, perchè una funzione olomorfa ammette derivate di qualunque ordine in A.
almeno così mi ricordo.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini?

Esattamente: se f è olomorfa in A, se z è in A e se la palla di centro z e raggio r è contenuta in A, detto C(r,z) il circuito t --> z + r exp(jt) per t in [0, 2 Pi], si ha per il Teorema di Cauchy:

              /
          1   |      f(w)
f(z) = ------ |      ---- dw
       2 Pi j |      w-z
              /C(r,z)

che però è derivabile in z, per cui:

               /
           1   |        f(w)
f'(z) = ------ |      ------- dw
        2 Pi j |      (w-z)^2
               /C(r,z)

Iterando n volte:

                  /
             n!   |          f(w)
f^(n)(z) = ------ |      ----------- dw
           2 Pi j |      (w-z)^(n+1)
                  /C(r,z)

[Guts]

Originariamente inviato da Guts

domanda stupida ma nn mi viene in mente

data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

qualcuno mi da una mano?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Guts

data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

Per definizione

Più in dettaglio: gli autovalori di A sono tutti e soli i valori v tali che det(vI-A)=0, ossia tali che il sistema vI-A=0 ha una soluzione non banale w. Ma se (vI-A)w=0, allora vw-Aw=0, ossia Aw=vw.

[pietro84]

ho altre due domande

allora si definisce insieme chiuso un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
si definisce dominio un insieme chiuso per cui ogni punto è punto di accumulazione di punti interni all'insieme; ma quanto accade questo? quando esiste un secondo insieme che ha elementi in comune col primo?

il concetto di dominio(particolare insieme chiuso),ha qualcosa a che vedere col concetto di insieme di definizione(detto anche dominio appunto) di una funzione?! a me sembrerebbe di no...

[Ziosilvio]

Avevo fatto un errore quattro post sopra. Ora ho corretto.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

si definisce dominio un insieme chiuso per cui ogni punto è punto di accumulazione di punti interni all'insieme; ma quanto accade questo?

Quando l'insieme è la chiusura di un insieme aperto.