[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[misterx]

data la seguente funzione

                 2x + 1
y =     ----------------- -1
            2*sqrt(x^2 + x)

che ho cercato di semplificare così.......faccio tutti i passaggi

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
            (2*sqrt(x^2 + x))*(2*sqrt(x^2 + x))

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
                        2*(x^2 + x)

mi chiedo a questo punto se per eliminare la radice al numeratore è necessario(obbligatorio) porre y=0, portare il -1 al secondo membro ed elevare tutti i termini al numeratore ed al denominatore ed al secondo membro al quadrato: roba da prima superiore ma queste regole non le ricordo e internet non mi è stato di grande aiuto nel trovare una risposta mirata.


grazie

[Mat-ita]

EDIT: RISOLTO! GRAZIE

ciao ragazzi ho un problema con un limite..

e' un limite di una successione per n che tende ad infinito


lim n((( 1+(1/n))^1/3)-1)
n --> +oo



il risultato e' 1/3 tuttavia, la soluzione e' scritta con Taylor (che noi non abbiamo ancora studiato) c'e un altro metodo per arrivare alla soluzione? vi ringrazio... MAT-ITA

[Jarni]

Originariamente inviato da misterx

data la seguente funzione

                 2x + 1
y =     ----------------- -1
            2*sqrt(x^2 + x)

che ho cercato di semplificare così.......faccio tutti i passaggi

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
            (2*sqrt(x^2 + x))*(2*sqrt(x^2 + x))

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
                        2*(x^2 + x)

mi chiedo a questo punto se per eliminare la radice al numeratore è necessario(obbligatorio) porre y=0, portare il -1 al secondo membro ed elevare tutti i termini al numeratore ed al denominatore ed al secondo membro al quadrato: roba da prima superiore ma queste regole non le ricordo e internet non mi è stato di grande aiuto nel trovare una risposta mirata.


grazie

Perché vuoi eliminare la radice al numeratore(che, per inciso, non si può fare)?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Mat-ita

ciao ragazzi ho un problema con un limite..

e' un limite di una successione per n che tende ad infinito


lim n((( 1+(1/n))^1/3)-1)
n --> +oo



il risultato e' 1/3 tuttavia, la soluzione e' scritta con Taylor (che noi non abbiamo ancora studiato) c'e un altro metodo per arrivare alla soluzione? vi ringrazio... MAT-ITA

EDIT: avevo visto una "n" all'esponente, che non c'è.

[misterx]

Originariamente inviato da Jarni

Perché vuoi eliminare la radice al numeratore(che, per inciso, non si può fare)?

per quale motivo non la si può eliminare ?
Ho letto che è sufficiente elevare gli altri termini al quadrato


http://it.wikipedia.org/wiki/Raziona...ne_(matematica)
al punto: Razionalizzazione del numeratore

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da misterx

data la seguente funzione

                 2x + 1
y =     ----------------- -1
            2*sqrt(x^2 + x)

che ho cercato di semplificare così.......faccio tutti i passaggi

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
            (2*sqrt(x^2 + x))*(2*sqrt(x^2 + x))

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
                        2*(x^2 + x)

mi chiedo a questo punto se per eliminare la radice al numeratore è necessario(obbligatorio) porre y=0, portare il -1 al secondo membro ed elevare tutti i termini al numeratore ed al denominatore ed al secondo membro al quadrato: roba da prima superiore ma queste regole non le ricordo e internet non mi è stato di grande aiuto nel trovare una risposta mirata.


grazie

EDIT: sbagliato.

[misterx]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

Puoi ancora raccogliere una x al denominatore e semplificare il (2x+1) al numeratore.

Scusa ma probabilmente ho perso il filo del discorso... devi fare uno studio di funzione?

Ciao

ho visto che c'è un errore, c'è un 4 al denominatore in luodo del 2

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
                        4*(x^2 + x)

si, è uno studio di funzione e volevo arrivare a porre la y=0 in quanto quella che ho postato è la derivata prima
Quello che mi interessava in definitiva era rendere più semplice calcolare le radici di quella derivata

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da misterx

ho visto che c'è un errore, c'è un 4 al denominatore in luodo del 2

               (2x + 1)*(2*sqrt(x^2 + x))
y =     ------------------------------- -1
                        4*(x^2 + x)

si, è uno studio di funzione e volevo arrivare a porre la y=0 in quanto quella che ho postato è la derivata prima
Quello che mi interessava in definitiva era rendere più semplice calcolare le radici di quella derivata

E io ho fatto un errore infame lo stesso perchè la semplificazione suggerita è impossibile da fare sia con il 4 che con il 2.

Comunque:

             (2x+1) * 2(x^2+x)^1/2
y' = 0    -> --------------------- = 1
                    4x^2 + 4x
               
Per x diverso da 0 e -1

                (2x+1) * 2(x^2+x)^1/2 = 4x^2 + 4x

elevo tutto al quadrato per far sparire la radice antipatica e ottengo, 
dopo calcoli algebrici semplici:

                2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x = 0

che ha due radici in campo reale (0 e -1) e due radici complesse. 
Siccome le radici reali trovate esulano dal campo di esistenza della 
derivata (-1 <= x <= 0), si può dire che la derivata non si annulla in 
nessun punto.

Ciao

[Mat-ita]

Originariamente inviato da Mat-ita

ciao ragazzi ho un problema con un limite..

e' un limite di una successione per n che tende ad infinito


lim n((( 1+(1/n))^1/3)-1)
n --> +oo



il risultato e' 1/3 tuttavia, la soluzione e' scritta con Taylor (che noi non abbiamo ancora studiato) c'e un altro metodo per arrivare alla soluzione? vi ringrazio... MAT-ITA

mi quoto da solo per dire che sono stato dal docente che mi ha spiegato come risolvere il limite.

ciao matita

[misterx]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

E io ho fatto un errore infame lo stesso perchè la semplificazione suggerita è impossibile da fare sia con il 4 che con il 2.

Comunque:

             (2x+1) * 2(x^2+x)^1/2
y' = 0    -> --------------------- = 1
                    4x^2 + 4x
               
Per x diverso da 0 e -1

                (2x+1) * 2(x^2+x)^1/2 = 4x^2 + 4x

elevo tutto al quadrato per far sparire la radice antipatica e ottengo, 
dopo calcoli algebrici semplici:

                2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x = 0

che ha due radici in campo reale (0 e -1) e due radici complesse. 
Siccome le radici reali trovate esulano dal campo di esistenza della 
derivata (-1 <= x <= 0), si può dire che la derivata non si annulla in 
nessun punto.

Ciao

grazie

Sono contento in quanto alla fine hai usato il metodo che avevo pensato pure io per eliminare la radice che del resto anche se poco usato è lecito; diversamente non avrei saputo come fare.

Una curiosità: è sparito il denominatore perchè hai moltiplicato a destra ed a sinistra per 4x^2 + 4x ?

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da misterx

grazie

Sono contento in quanto alla fine hai usato il metodo che avevo pensato pure io per eliminare la radice che del resto anche se poco usato è lecito; diversamente non avrei saputo come fare.

Una curiosità: è sparito il denominatore perchè hai moltiplicato a destra ed a sinistra per 4x^2 + 4x ?

Effettivamente mi ha fatto penare quella radice... è che ho perso un po' di allenamento sugli studi di funzione...

Si, ho moltiplicato, ma moltiplicando ho imposto le condizioni di esistenza sul denominatore, altrimenti, per le radici trovate la derivata non è definita.

Ciao

[misterx]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

Effettivamente mi ha fatto penare quella radice... è che ho perso un po' di allenamento sugli studi di funzione...

Si, ho moltiplicato, ma moltiplicando ho imposto le condizioni di esistenza sul denominatore, altrimenti, per le radici trovate la derivata non è definita.

Ciao

ne ho anch'io parecchia di ruggine anche sui termini usati in matematica

Porre le condizioni di esistenza significa che restringo il campo dei valori di validità dell'intera funzione vero ?
Detto questo quindi, passo a determinare quelli del numeratore:

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da misterx

ne ho anch'io parecchia di ruggine anche sui termini usati in matematica

Porre le condizioni di esistenza significa che restringo il campo dei valori di validità dell'intera funzione vero ?
Detto questo quindi, passo a determinare quelli del numeratore:

In pratica restringi il campo cartesiano alle sole zone in cui passa il grafico della funzione; ad esempio per y = x^1/2, la condizioni di esistenza (o campo di esistenza) è per x >= 0, ossia esistono y solo se le x sono più grandi dello zero (infatti se guardi il grafico della radice quadrata di x noti che a sinistra dell'asse delle y il grafico della funzione non esiste.

Le condizioni di esistenza vanno poste:
- sui logaritmi (argomento del logaritmo > 0);
- sulle radici pari (argomento della radice >= 0);
- sui denominatori delle frazioni (denominatore diverso da 0).

Sui numeratori e sulle altre funzioni non vanno poste condizioni di esistenza (perchè non ne servono).

Ciao

[misterx]

Originariamente inviato da Herr Fritz 27

In pratica restringi il campo cartesiano alle sole zone in cui passa il grafico della funzione; ad esempio per y = x^1/2, la condizioni di esistenza (o campo di esistenza) è per x >= 0, ossia esistono y solo se le x sono più grandi dello zero (infatti se guardi il grafico della radice quadrata di x noti che a sinistra dell'asse delle y il grafico della funzione non esiste.

Le condizioni di esistenza vanno poste:
- sui logaritmi (argomento del logaritmo > 0);
- sulle radici pari (argomento della radice >= 0);
- sui denominatori delle frazioni (denominatore diverso da 0).

Sui numeratori e sulle altre funzioni non vanno poste condizioni di esistenza (perchè non ne servono).

Ciao

capito, grazie 1000

[s3s3]

Mi sembra quasi un insulto chiedere una domanda del genere in questo 3d, ma non vorrei non rispettarei il regolamento:

Perchè se divido un numero non multiplo di 3, per 3 ottengo sempre un numero periodico?

Siccome le mie conoscenze matematiche sono quel che sono, mi affido a voi per sciogliere questo mio dubbio.

Vi ringrazio anticipatamente.

Ciao.

Stefano.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da s3s3

Mi sembra quasi un insulto chiedere una domanda del genere in questo 3d, ma non vorrei non rispettarei il regolamento:

Perchè se divido un numero non multiplo di 3, per 3 ottengo sempre un numero periodico?

Siccome le mie conoscenze matematiche sono quel che sono, mi affido a voi per sciogliere questo mio dubbio.

Vi ringrazio anticipatamente.

Ciao.

Stefano.

Mi sa che, più in generale, ti stai chiedendo perché i numeri razionali sono quelli che hanno una rappresentazione decimale finita oppure periodica.

Non ricordo bene, ma credo che il trucco stia nell'algoritmo di divisione col resto.
Considera una successione fatta così: x{0} è il numero di partenza, e x{n+1} è il resto della divisione per 3 (scelgo il tuo caso) di 10*x{n}.
Per definizione, tale resto è 0, 1, oppure 2. Dato che i termini della successione sono infiniti, prima o poi devono ripetersi. Da quel momento in poi, la sequenza delle cifre decimali sarà periodica.

[s3s3]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Mi sa che, più in generale, ti stai chiedendo perché i numeri razionali sono quelli che hanno una rappresentazione decimale finita oppure periodica.

Non ho capito bene cosa intendi...

Originariamente inviato da Ziosilvio

Non ricordo bene, ma credo che il trucco stia nell'algoritmo di divisione col resto.
Considera una successione fatta così: x{0} è il numero di partenza, e x{n+1} è il resto della divisione per 3 (scelgo il tuo caso) di 10*x{n}.
Per definizione, tale resto è 0, 1, oppure 2. Dato che i termini della successione sono infiniti, prima o poi devono ripetersi. Da quel momento in poi, la sequenza delle cifre decimali sarà periodica.

Quindi dici che essendo il periodico + piccolo (ad esclusione dell'1), la periodicità sia la + "semplice" possibile?

Grazie.

Ciao.

Stefano.

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da s3s3

Quindi dici che essendo il periodico + piccolo (ad esclusione dell'1), la periodicità sia la + "semplice" possibile?

Ti sta dicendo che tu un qualsiasi numero lo puoi vedere scomposto come un numero multiplo di tre più un'altra quantità. Più in generale puoi dire che un qualsiasi numero intero può essere scritto come:

y= 3x + k

dove con y si intende un numero qualsiasi, con 3x il multiplo di tre più vicino a y e con k il resto che ti permette di arrivare a comporre il numero da te voluto; in questo caso k varia tra -1, 0 e +1.

Quando dividi per 3 y hai:

y/3 = x + k/3

x sarà un numero intero, mentre k varia tra -1/3, 0 e +1/3, frazioni che, come ben sai, restituiscono uno ±0,33333 periodico che, aggiunto o tolto a x, danno come risultato un numero periodico (solo nei casi di k diverso da zero); ad esempio:

22 = 21 + 1
(y=22, 3x=21, k=1)

22/3 = 21/3 + 1/3
|
v
(x=21/3 --> x=7)
|
v
22/3 = 7 + 1/3
|
v
(k/3 = 1/3 = 0,333333...)
|
v
22/3=7,3333333...


Ciao

[s3s3]

Ora ho capito. Grazie mille a tutti e due.

Ciao.

Stefano.

EDIT: Sono una cosa per Herr Fritz 27...Su y= 3x + k, k può assumere anche -2 e +2 no?

[Herr Fritz 27]

Originariamente inviato da s3s3

Solo una cosa per Herr Fritz 27...Su y= 3x + k, k può assumere anche -2 e +2 no?

Dipende come intendi il k: se k può assumere solo valori positivi allora k può essere 0, 1, 2; se invece k può assumere anche valori negativi allora varia tra -1, 0, +1 senza mai usare il due perchè la situazione +2 corrisponde alla situazione -1 considerando il multiplo di tre immediatamente superiore.

CASO k = 0, 1, 2

Y   =   3X   +   K

...
32  =   30   +   2	-> y/3 = 10 + 2/3 (0,6666) = 10,6666
33  =   33   +   0	-> y/3 = 11
34  =   33   +   1	-> y/3 = 11 + 0,3333 = 11,3333
35  =   33   +   2	-> y/3 = 11 + 0,6666 = 11,6666
36  =   36   +   0	-> y/3 = 12
...

CASO K = -1, 0, +1

Y   =   3X   +   K

...
32  =   33   -   1	-> y/3 = 11 - 1/3 (0,3333) = 10,6666   (Uguale al caso 30 + 2)
33  =   33   +   0	-> y/3 = 11
34  =   33   +   1	-> y/3 = 11 + 0,3333 = 11,3333         (Uguale al caso 36 - 2)
35  =   36   -   1	-> y/3 = 12 - 0,3333 = 11,6666
36  =   36   +   0	-> y/3 = 12
...

Come vedi i metodi sono equivalenti; andando ad usare +2 nel caso di 32, ci si sovrappone al caso -1, allo stesso modo, usando -2 ci si sovrapporrebbe al caso -2.

Tutto dipende da come vuoi considerare k, ossia se facente parte dell'insieme dei numeri naturali N (primo caso) o dell'insieme dei numeri interi relativi Z (secondo caso).

Ciao