[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucrezio

P.S.: Noto con piacere che anche il miglior matematico del forum si è finalmente deciso a passare al LaTeX!

Ah. E chi sarebbe?
Magari è passato anche lui a Opera 9...

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Ah. E chi sarebbe?
Magari è passato anche lui a Opera 9...

[TALLA]

Ma sono io!

[serbring]

quanto vale il residuo di della funzione f(t) in 4i?

f(t)=[t*e^(i*radq(3)*t)]/[t^2+16]

a me viene (1/2)e^(4*radq(3)) ma il risultato è sbagliato...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da serbring

quanto vale il residuo di della funzione f(t) in 4i?

f(t)=[t*e^(i*radq(3)*t)]/[z^2+14]

La funzione:



è definita per z=4i e olomorfa in un suo intorno.
Quindi, il residuo di f in 4i è 0.

[serbring]

Originariamente inviato da Ziosilvio

La funzione:



è definita per z=4i e olomorfa in un suo intorno.
Quindi, il residuo di f in 4i è 0.

scusami avevo sbagliato a scrivere la funzione...in 4i non'è definita...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da serbring

scusami avevo sbagliato a scrivere la funzione

OK, quindi il numeratore è una funzione olomorfa in tutto il piano complesso, mentre il denominatore si riscrive (z-4i)(z+4i).
Quindi il punto z=4i è un polo semplice, perché (z-4i)f(z) ammette limite in z=4i: per trovare il valore del residuo, basta calcolare il valore di tale limite, ossia, il valore di

in z=4i. Tale valore è ovviamente


Nota: più in generale, se z0 è un polo di ordine n, allora vale la formula:

come si vede subito considerando lo sviluppo in serie di Laurent di f in z0

[pietro84]

piccolo dubbio.

l'integrale generale di una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine è del tipo :

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t) (se z1 è diverso da z2)
nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia radici complesse e coniugate, z1 e z2 sono numeri complessi, per semplicità suppongo che la parte reale di z1 e z2 sia nulla.

utilizzando le formule di eulero si ottiene:

y(t)= (c1+c2) cos(z1t) + j(c1-c2) sen(z2t)= Acos(z1t)+jBsen(z2t)
con z1=z2

nei libri di analisi però la soluzione riportata è di questo tipo:

y(t)= A cos(z1t) + Bsen(z1t)

quando si cercano soluzioni puramente reali.

però io mi chiedo: in base a quale considerazione rigorosa l'unità immaginaria sparisce? intuitivamente il ragionamento fila, ma non riesco a giustificare con rigore questo passaggio

[Lucrezio]

Originariamente inviato da pietro84

piccolo dubbio.

l'integrale generale di una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine è del tipo :

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t) (se z1 è diverso da z2)
nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia radici complesse e coniugate, z1 e z2 sono numeri complessi, per semplicità suppongo che la parte reale di z1 e z2 sia nulla.

utilizzando le formule di eulero si ottiene:

y(t)= (c1+c2) cos(z1t) + j(c1-c2) sen(z2t)= Acos(z1t)+jBsen(z2t)
con z1=z2

nei libri di analisi però la soluzione riportata è di questo tipo:

y(t)= A cos(z1t) + Bsen(z1t)

quando si cercano soluzioni puramente reali.

però io mi chiedo: in base a quale considerazione rigorosa l'unità immaginaria sparisce? intuitivamente il ragionamento fila, ma non riesco a giustificare con rigore questo passaggio

L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare di secondo ordine è uno spazio vettoriale di dimensione 2.
che tu prenda exp(iwt), exp(-iwt) come base va benissimo, ma se tu decidi che vuoi applicare lo studio che stai facendo ad un sistema fisico "reale", puoi decidere arbitrariamente, senza problemi, di prendere solo la parte reale delle tue soluzioni. Devi però trovare due funzioni che siano linearmente indipendenti e al contempo soluzione entrambe dell'equazione differenziale: il seno e il coseno godono di queste proprietà (sono ortogonali e risolvono l'equazione se il termine dissipativo è nullo; altrimenti ti viene un fattore esponenziale che però ha argomento in ogni caso reale, quindi interessa poco, ai fini di quello che vogliamo vedere!) quindi, restringendosi ad R, siamo a posto

P.S.: in poche parole: vedila come un problema di geometria, non di analisi!
Un'altra risposta possibile è che seno e coseno sono combinazioni lineari (e quindi, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale, a loro volta soluzioni) di e^{iwx} ed e^{-iwx}... alla fine il succo è lo stesso

[pietro84]

Originariamente inviato da Lucrezio

L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare di secondo ordine è uno spazio vettoriale di dimensione 2.
che tu prenda exp(iwt), exp(-iwt) come base va benissimo, ma se tu decidi che vuoi applicare lo studio che stai facendo ad un sistema fisico "reale", puoi decidere arbitrariamente, senza problemi, di prendere solo la parte reale delle tue soluzioni. Devi però trovare due funzioni che siano linearmente indipendenti e al contempo soluzione entrambe dell'equazione differenziale: il seno e il coseno godono di queste proprietà (sono ortogonali e risolvono l'equazione se il termine dissipativo è nullo; altrimenti ti viene un fattore esponenziale che però ha argomento in ogni caso reale, quindi interessa poco, ai fini di quello che vogliamo vedere!) quindi, restringendosi ad R, siamo a posto

P.S.: in poche parole: vedila come un problema di geometria, non di analisi!
Un'altra risposta possibile è che seno e coseno sono combinazioni lineari (e quindi, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale, a loro volta soluzioni) di e^{iwx} ed e^{-iwx}... alla fine il succo è lo stesso

il fatto è che prendo non sono la parte reale, infatti il seno è la parte immaginaria della soluzione.
cmq questo ragionamento l'ho fatto anche io e intuitivamente è corretto, solo che al prof non sta bene detto in questi termini.
mi sembra,da come ho capito, che si effetua un cambiamento di base,con una procedura rigorosa

[Lucrezio]

Originariamente inviato da pietro84

il fatto è che prendo non sono la parte reale, infatti il seno è la parte immaginaria della soluzione.
cmq questo ragionamento l'ho fatto anche io e intuitivamente è corretto, solo che al prof non sta bene detto in questi termini.
mi sembra,da come ho capito, che si effetua un cambiamento di base,con una procedura rigorosa

Uff... se proprio vuoi farti tutti quei contacci
Io analisi I l'ho già dato... e quindi ho rimosso tutto
Comunque anche a noi avevano fatto una cosa del genere...
In ogni caso secondo me il ragionamento sugli spazi vettoriali in cui si restringe il campo (R invece che C) su cui è costruito lo spazio stesso non ha niente di informale o pressapochista... chiaramente bisognerebbe scriverlo!

[pietro84]

Originariamente inviato da Lucrezio

Uff... se proprio vuoi farti tutti quei contacci
Io analisi I l'ho già dato... e quindi ho rimosso tutto
Comunque anche a noi avevano fatto una cosa del genere...
In ogni caso secondo me il ragionamento sugli spazi vettoriali in cui si restringe il campo (R invece che C) su cui è costruito lo spazio stesso non ha niente di informale o pressapochista... chiaramente bisognerebbe scriverlo!

lo so il concetto è quello... solo che io cercavo almeno una impostazione formale del problema. è per teoria dei sistemi... sul libro effettua un cambiamento di base . cioè mediante una trasformazione di similitudine ottiene da una matrice diagonale con alcuni autovalori complessi una matrice diagonale a blocchi con elementi tutti reali(o almeno così ho capito ). però mostra solo il risultato ritendolo un calcolo ovvio... solo che per me tanto ovvio non è
vabbè domani ci dedico un po di tempo...

[ChristinaAemiliana]

Se ho capito bene, tu parti da questa formula:

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t)

e mi dici che z1 e z2 sono complessi coniugati, non solo, ma sono immaginari puri, quindi per chiarezza ti rimane:

z1 = ja

z2 = -ja

con a reale.

Allora quella roba lassù diventa:

y(t) = c1*e(jat) + c2*e(-jat)

Il problema però è che se mi dici che y(t) è reale allora c1 e c2 non puoi metterle a casaccio ma devono essere anche loro due costanti complesse coniugate...questo perché un numero reale lo puoi sempre esprimere come somma di due complessi coniugati, quindi è come se facessi:

y(t) = y_c(t) + [y_c(t)]*

dove y_c è complesso e tale per cui sommato al suo coniugato dia proprio y...a quel punto guardando sopra scopri che funziona solo se è proprio c2=c1*

(ah per me l'asterisco è il coniugato...sorry se ho confuso con la moltiplicazione)

Infine, se vai a riprendere la formula coi seni e coseni che ti perplimeva, vedi che se c2 e c1 sono c.c. allora sia (c1+c2) che j(c1-c2) sono reali per forza.

Comunque non serve che z1 e z2 siano immaginari puri, basta che siano c.c.

[pietro84]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Comunque non serve che z1 e z2 siano immaginari puri, basta che siano c.c.

lo so... infatti per non moltiplicare per l'esponenziale reale ho supposto Re[z1]=Re[z2]=0.
sì il discorso è questo grazie... ora mi resta da capire con quale procedura si ricava la matrice T del cambiamento di base... ci perderò un po di tempo oggi

[pietro84]

ho trovato per fortuna
sia A una matrice reale quadrata con almeno una coppia di autovalori complessi.
mediante una trasformazione di similarità si può ottenere una matrice diagonale a blocchi con tutti elementi reali. Tale matrice è detta forma di Jordan reale associata alla matrice A.
quindi Ar=(T^-1)*A*T . T si ricava con una procedura standard anche abbastanza semplice.

quindi se abbiamo un sistema di equazioni differenziali omogenee della forma:
x'(t)=Ax(t)
x(0)=x0


trasformare la matrice A in Ar vuol dire cambiare opportunamente la base dello spazio vettoriale a cui appartiene il vettore x(t). cioè rappresentare x(t) con un'altra base rispetto alla quale le soluzioni sono tutte reali.
Il prezzo da pagare è che invece di trasformare A in una matrice diagonale, si deve trasformarla in una matrice diagonale a blocchi.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Precorso di matematica. Già mi trovo nei guai.


Ogni polinomio R(x), cioè polinomio con coefficenti reali, si può scomporre in prodotto di polinomi dal grado al più 2.


Come scompongo:

x^4+1

x^4+2x^3-5x^2-14x+24

[fsdfdsddijsdfsdfo]

risposta per ziosilvio

Scrivendo un'equazione in cui da una parte hai il polinomio di quarto grado che devi scomporre, e dall'altra (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f); e poi metteno a sistema.
Qui, dato che il coefficiente direttore è 1, puoi porre a=d=1.
Fa' attenzione, che il sistema che ottieni non è lineare.

Non capisco come mai metti a=d=1

io so che ad=1 ma potrebbe pure essere la coppia (2;1/2)


comunque il tuo risultato è giusto.


per il secondo sistema come faccio? risolvo un sistema di un milione di incognite?


non esiste una via piu veloce?
la prof aveva accennato al completamento dei quadrati... ma ti giuro che io non ci riesco...


mi sento stupido...

[fsdfdsddijsdfsdfo]

ho appena tirato fuori derive. La fattorizzazione della seconda è una cosa improponibile. Di sicuro c'è un errore nel testo.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

soluzione del primo piu veloce:

x^4+1+2x^2-2x^2=0 sommo zero

(x^2+1)^2-2x^2=0 raccolgo

[(x^2+1)-xsqrt2][(x^2+1)+xsqrt2] differenza di quadrati.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da dijo

Non capisco come mai metti a=d=1

io so che ad=1 ma potrebbe pure essere la coppia (2;1/2)

Perché come la scomposizione di un numero intero in fattori primi è unica a meno dell'ordine e di elementi invertibili, così la scomposizione di un polinomio a coefficienti reali in prodotto di potenze di polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 è unica a meno dell'ordine e di elementi invertibili.
Ora, nei numeri interi gli unici elementi invertibili sono +1 e -1; nei polinomi, sono i polinomi costanti non nulli.
Per cui, fintanto che il prodotto di tali costanti non nulle è uguale al coefficiente direttore del polinomio di partenza, va tutto bene e la scomposizione si può fare.
Dato che qui il coefficiente direttore del polinomio da scomporre è 1, ti conviene supporre che anche i coefficienti direttori degli altri polinomi siano uguali a 1, in modo da ridurre il numero e la complessità dei conti da fare.

per il secondo sistema come faccio? risolvo un sistema di un milione di incognite?

Perché un milione? Dovrebbero essere sempre quattro...