Quote:
Originariamente inviato da xenom
non so, io continuo a non capire all'atto pratico la convergenza uniforme. concettualmente e graficamente ho capito il significato, ma non riesco ad applicarlo.
per esempio, prendiamo una banale serie di funzioni del tipo: Σ(sin(nx)/n^2);
se non erro converge assolutamente per ogni x, poiché il valore assoluto del seno è sempre minore di 1, e 1/n^2 è serie armonica di secondo ordine e quindi converge;
ora se volessi stabilire se converge totalmente? intanto, con il fatto che ho convergenza su tutto R già mi crea confusione, perché la convergenza uniforme mi pare di averla vista applicata solo su intervalli limitati
devo cercare un massimo della funzione, fissato n, e vedere se converge?
|
Per vedere se la serie di funzioni
converge totalmente, devi far vedere che esiste una serie:
1. convergente,
2. i cui termini dipendono solo da n, e
3. maggiorano in modulo i termini corrispondenti per ogni x appartenente all'insieme su cui vuoi dimostrare la convergenza totale.
Se f_n(x) = sin(nx) / n^2, allora puoi prendere la serie il cui termine di indice zero è 0, e il cui termine di indice n > 0 è 1 / n^2.
In generale, non ti serve un massimo: ti basta un maggiorante.