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Originariamente inviato da Ziosilvio
Per vedere se la serie di funzioni converge totalmente, devi far vedere che esiste una serie:
1. convergente,
2. i cui termini dipendono solo da n, e
3. maggiorano in modulo i termini corrispondenti per ogni x appartenente all'insieme su cui vuoi dimostrare la convergenza totale.
Se f_n(x) = sin(nx) / n^2, allora puoi prendere la serie il cui termine di indice zero è 0, e il cui termine di indice n > 0 è 1 / n^2.
In generale, non ti serve un massimo: ti basta un maggiorante.
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Ok, quindi in questo caso essendo il seno sempre minore di 1 per ogni x appartenente ad R, 1/n^2 è una serie maggiorante e convergente, quindi la serie dell'esempio converge anche totalmente?
E se non avevo il seno ma un altra funzione che convergeva su tutto R ma non è limitata nel codominio?
Con il seno è facile perché sempre minore di 1
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