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Old 20-06-2006, 15:52   #62
8310
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Originariamente inviato da 8310
[cut]
Ah, a proposito, altro piccolo quesito: risolvere l'equazione differenziale

Codice:
      2          2
     x - 3xy + 2y
y'= --------------    (1)
        2
       x + 2xy
Tralascio la parte teorica (dove sono definite le funzioni etc etc) che comunque sul compito ho riportato con cura e mi concentro sui "conti"
E' un'equazione differenziale omogenea e quindi posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili operando la sostituzione y/x = t da cui y = xt' (e quindi y'= x + xt')

Dopo un pò di passaggini (ed è qui che mi sbaglio spesso) giungo a:


Codice:
       1 - 4t      1
y'= ----------- * ---  (2)
       1 + 2t      x
Se 1 - 4t = 0 <=> t=1/4 allora la funzione t1(x)=1/4 è soluzione dell'equazione differenziale (anche qui tralasciamo il discorso teorico, comunque la soluzione è unica per la lipschitzianità della funzione a secondo membro). A questa soluzione corrisponde, per la (1) la funzione y(x)=(1/4)x
Se 1 - 4t diverso da 0 allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono definite implicitamente dall'equazione:
Codice:
  _                   _
 |    1 + 2t         |  1
 |  ----------- dt = | --- dt
_|    1 - 4t        _|  t
Risolvendo ottengo:

Codice:
            -t     3
Per la (2): --- - --- log |1-4t| = log |t| + c
             2     8  

Per la (1):  basta sostituire y/x=t
(si potrebbe fare qualche altro passaggio) con c variabile reale.
Ci siamo?

Avevo fatto un errore nell'integrazione....ora dovrebbe essere giusto...help me (soprattutto per il problema del dominio): giovedì ho l'esame orale
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And God said: "
∇•D=ρ ; ∇•B=0 ; ∇xE=-∂B/∂t ; ∇xH=J+∂D/∂t". And there was light.
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