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Originariamente inviato da gtr84
Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]
come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale...
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Speravo in questa domanda
Quando si deve calcolare l'integrale esteso a IR di una funzione del tipo "cosa in seno o coseno, diviso polinomio", conviene sostituire la parte trigonometrica con un esponenziale complesso, e valutare l'integrale originario come limite della parte reale (o immaginaria, a seconda dei casi) di un'opportuna famiglia di integrali della funzione olomorfa ottenuta.
Nel nostro caso, la funzione da integrare è u(x) = (1 - cos tx)/x^2.
Fai presto a vedere che l'integrale di u, è pari a |t| volte l'integrale di v(x) = (1 - cos x)/x^2.
Sia f(z) = (1 - exp(jz))/z^2: si vede subito che f è olomorfa in C privato dell'origine, dove ha un polo semplice con residuo -j = 1/j.
Per R>0 sia Gamma(R) il circuito costituito dai seguenti quattro pezzi:
- Gamma1(R): intervallo [1/R,R];
- Gamma2(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio R, contenuta nel semipiano superiore;
- Gamma3(R): intervallo [-R,-1/R];
- Gamma4(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1/R, contenuta nel semipiano inferiore.
Per ogni R, l'indice di avvolgimento di Gamma(R) rispetto all'origine è 1: per il Teorema dei Residui si ha allora:
Codice:
/
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| f(z) dz = 2 Pi j Res(f,0) Ind(Gamma(R),0) = 2 Pi
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/ Gamma(R)
Ma tale integrale è somma degli integrali sulle quattro componenti.
Ora, è chiaro che la somma dei contributi di Gamma1 e Gamma3, converge per R-->oo all'integrale su IRdi v(x): quindi occorre stimare gli altri due.
Consideriamo l'integrale di f(z) su Gamma2(R). Ponendo z = R exp(jt) troviamo:
Codice:
/ / Pi
| | 1 - exp(j R exp(jt))
| f(z) dz = j | -------------------- dt
| | R exp(jt)
/ Gamma2(R) / 0
Ora, |exp(jt)| = 1, quindi vale la stima:
Codice:
| / | / Pi
| | | 1 |
| | f(z) dz | <= - | |1 - exp(j R exp(jt))| dt
| | | R |
| / Gamma2(R) | / 0
Ma |exp(j R exp(jt))| = exp(-R sin t), quindi per R-->oo l'integrando converge quasi ovunque a 1; essendo inoltre continuo in R e t l'integrando e limitato l'intervallo di integrazione, la convergenza è sicuramente dominata. Allora il contributo di Gamma2(R) va a zero.
Consideriamo adesso l'integrale di f(z) su Gamma4(R). Ponendo z = exp(jt)/R troviamo:
Codice:
/ / 2 Pi
| | exp(j exp(jt)/R) - 1
| f(z) dz = | -------------------- dt
| | (j exp(jt)/R)
/ Gamma2(R) / Pi
perché j = -1/j. Stavolta il valore dell'integrando converge q.o. al valore della derivata di g(z)=exp(z) nel punto z0=0, cioè a 1; ancora una volta la convergenza è dominata, per cui il contributo di Gamma4(R) converge a Pi.
Allora l'uguaglianza data dal Teorema dei Residui ha al primo membro una quantità che converge all'integrale di v(x) su IR, più Pi; e dall'altra parte 2 Pi. Quindi...
