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Ciao,
stò studiando per un corso di calcolo numerico ed ho qualche dubbietto su alcuni di questi passaggi...

Si parla di condizionamento di sistemi lineari...

Io ho un sistema Ax = b
dove A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore delle variabili x1, x2, xn e b è il vettore dei termini noti. Consideriamo che il sistema ammetta una ed una sola soluzione e che abbia coefficienti, termini noti e variabili REALI.

Ora considero lo stesso sistema perturbandone il vettore dei termini noti (cioè viene introdotto un errore delta b sul vettore dei termini noti) e considerando la matrice A priva di qualsiasi perturbazione.

Se il vettore b è stato perturbato ovviamente anche il vettore x delle soluzioni risulterà perturbato a sua volta perchè ovviamente l'errore si propaga alla soluzione del sistema, quindi avrò la seguente relazione:



che appunto significa quanto detto prima: pertubo il vettore dei termini noti b e conseguentemente avrò una perturbazione delta x sulla soluzione x

Quindi visto che Ax = b (sono uguali) posso sottrarli ad ambo i membri ed ottenere il SISTEMA DEGLI ERRORI INTRODOTTI



Allora adesso io vorrei avere delle informazioni riguardanti la perturbazione delta x generata sul vettore delle soluzioni x (in prativa voglio cercare una maggiorazione dell'errore massimo introdotto sulla soluzione del sistema)

Per fare questo moltiplico ambo i membri per A^(-1) così lascio a sinistra solo delta x, così:


A questo punto visto che delta x è un VETTORE e non uno scalare e visto che voglio una sua maggiorazione introduco una norma, e visto che le norme sono submoltiplicative ottengo una MAGGIORAZIONE DELL'ERRORE ASSOLUTO COMMESSO SUL VETTORE SOLUZIONI x, cioè:

*1

e fin quà tutto bene credo (magari datemi una conferma o una smentita qualora mi fossi perso qualcosa...ma non credo...)

Ora c'è un passaggio oscuro invece:

Con la maggiorazione dell'errore assoluto ci faccio poco e vorrei avere una maggiorazione dell'ERRORE RELATIVO (perchè potrebbero capitare casi in cui ho un errore assoluto molto piccolo ma un errore relativo molto grande...)

Mi dice che dal sistema iniziale Ax = b posso dire che:

Perchè? sempre per la storia che la norma è submoltiplicativa?

E poi da quà fà questo passaggio che non capisco:
*2

Come c'è arrivato a dire questa cosa ?!?!

Ora poi dice che moltpiplicando membro a membro le due disuguaglianze *1 e *2 ottengo la seguente disuguaglianza relativa al CONDIZIONAMENTO RELATIVO DEL PROBLEMA QUANDO IL SOLO VETTORE b DEI TERMINI NOTI è PERTURBATO:


Dove chiamo
K(A) è il NUMERO DI CONDIZIONAMENTO DELLA MATRICE A relativo alla soluzione di un sistema lineare che indica il massimo fattore di amplificazione dell'errore relativo sui dati.

Come intuizione (ma non sò se è giusta come idea)guardando la maggiorazione ottenuta mi viene da pensare così: intoruduco una perturbazione relativa (un certo errore relativo?) sul vettore dei termini noti b, al più quanto sarà perturbazione relativa della soluzione x? Come la perturbazione relativa su b moltiplicata per il massimo fattore di amplificazione relativo...

HELP ME :-(