Ottimo! Gli esempi e i controesempi sono esattamente quello che mi mancava per dare un senso e completare le mie risposte.
Allora l'ultima è realmente insidiosa..
Conoscendo i contenuti del mio corso, sicuramente a che fare con qualche funzione patologica che abbiamo studiato. Per questo ho pensato alla
funzione di Dirichlet, che è 0 negli irrazionali e nei razionali vale 1.
Questa funzione ha la peculiarità di essere discontinua ovunque, in quanto i razionali sono densi negli irrazionali e viceversa.
Se provo a modificarla così:
f(x) =
0 quando x è irrazionale
1 quando x è razionale
1 quando x=kPi
..ottengo una funzione che attorno a x=kPi mantiene da una parte o dall'altra lo stesso valore per non più di 2 punti. Quindi ho continuità. Si tratterebbe di un punto isolato di continuità? La funzione dovrebbe continuare a non essere integrabile secondo Riemnann, ma solo secondo Lebesgue. Ancora una volta con valore 0 (forse..)
Se puoi dimmi cosa ne pensi
Sono quesiti tratti da esami scritti passati del corso di Metodi Matematici I che è tenuto presso la facoltà di Fisica che frequento.
Grazie