Beh se installato nello stesso socket uno funziona ed uno no è probabile che sia una CPU malfunzionante.
Ordinariamente sulle macchine dual CPU per l' alimentazione ci sono una 24 pin per la scheda madre e due 8 pin per i processori.
Però le macchine di marca (HP / Lenovo / Dell etc.) facilmente possono avere uno schema proprietario diverso.
Mi permetto di postare perché ho un poco di esperienza specifica con piattaforme dual CPU ed anche, in particolare, socket 771 (
https://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=2932297 )
Purtroppo le cose da verificare sono tante e te le dico un poco a caso, così come mi vengono in mente.
Per esempio, hai sempre provato con un dissipatore collegato alla rispettiva alimentazione ? (fan 0 x CPU 0 e fan 1 x CPU 1)
Mentre mi farai sapere darò una occhiata nei prossimi giorni per vedere se ho ancora un E5405 che sarebbe in ogni caso perfettamente funzionante. In caso te lo regalo volentieri, almeno avresti la possibilità di fare prove più complete.