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Originariamente inviato da Guts
y''+2y'+4= 3sin(2x) (1)
y''+2y'= -4 (2)
la 1 nn dovrebbe essere y''+2y'= 3sin(2x) secondo il tuo ragionamento?
cmq nn riesco a capire come trovare la soluzione particolare più che altro, come devo fare?
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A ogni tipo di funzione a secondo membro corrisponde un certo tipo di soluzione. inoltre devi controllare le soluzioni dell'equazione caratteristica. Spiegarlo a parole mi viene difficile ti faccio un esempio.
Sia la fnzione a secondo membro una polinomio P(x) di grado n:
- Se lo non 0 è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x) con Q(x) polinomio di grado n.
- Se lo 0 è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x)*x^h con Q(x) polinomio di grado n.
In generale se la funzione a secondo membro è del tipo f(x)= P(x)e^(ax)sin(bx) (oppure f(x)= P(x)e^(ax)cos(bx) ) con P(x) polinomio di grado n:
- Se a+ib (numero complesso) non è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.
- Se a+ib è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=x^h(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.
Insomma la solita papardella per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
PS: in genere è un macello trovare ste soluzioni particolari perchè devi calcolare le derivate ennesime (
), sostituirle nell'equazione differenziale, e imporre che i due membri coincidano per trovare i coefficienti che ti servono ...noioso!!