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Originariamente inviato da serbring
qualcuno sà come posso scomporre in fratti semplici la questa frazione utilizzando il metodo dei residui? ( Cioè quello descritto a pag 107 di questo file questo ) |
Ti ricordo innanzitutto il Teorema dei residui:
Codice:
Sia A un aperto del piano complesso
e sia S un sottoinsieme di A costituito unicamente da punti isolati.
1) Se gamma è un circuito contenuto in A\S,
allora esiste al più un numero finito di punti s appartenenti ad S
tali che l'indice di avvolgimento di gamma intorno ad s
sia diverso da zero.
2) Se inoltre f è una funzione olomorfa in A\S, vale la formula:
/
| ---
| f(z) dz = 2 Pi j > Res(f,s) Ind(gamma,s)
| ---
/ gamma s in S
dove Res(f,s) è il residuo di f in s,
e Ind(gamma,s) è l'indice di avvolgimento di gamma intorno ad s.
Adesso, considera la tua equazione:
Codice:
n
P(z) --- A{k}
---- = P0(z) + > ------
Q(z) --- z-z{k}
k=1
Funzioni uguali hanno residui uguali in punti uguali. Per ogni k, puoi considerare una circonferenza di centro z{k} e raggio talmente piccolo che nessun altro z{h} è contenuto al suo interno: l'integrale di 1/(z-z{k}) su tale circuito è notoriamente 2 Pi j, mentre l'integrale di 1/(z-z{h}) sullo stesso circuito è 0, perchè tale "polinomio inverso" è olomorfo in un aperto che contiene il circuito. Applicando il Teorema dei residui, trovi che A{k} è esattamente uguale a Res(f,z{k}): ed è questo il succo del metodo.
Per cui, tu hai:
Codice:
f(z) = (z-1)/(z^2+2z+2)(z^2+2z+5)
Il denominatore non si annulla per z=1, e ha quattro radici semplici z1, z2, z3 e z4 che puoi calcolare tranquillamente. Quelle radici sono i poli di f.
A proposito: dato che i poli sono semplici, puoi usare la formula:
Codice:
Res(f,z) = lim {w-->z} (w-z)f(w)