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Originariamente inviato da nin
7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.
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Anzitutto osserva che la funzione
=\left\{\begin{array}{l}\sin{x},\;{x}\in\mathbb{Q},\\-\sin{x},\;{x}\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right.)
è continua in tutti e soli i punti della forma Xk = kPi.
Ha però il difetto di non essere L1(IR), perché |g(x)|=|sin x| per ogni x.
In compenso è limitata, quindi ti basta
moltiplicarla per una funzione continua positiva L1 per ottenere l'esempio che ti serve.
E questa può essere
=\left\{\begin{array}{l}1,\;|x|\leq 1,\\\frac{1}{x^2},\;|x|\gt 1\end{array}.\right.)
In finale, f(x)=g(x)h(x) è integrabile secondo Lebesgue su IR, ed è continua esattamente nei punti della forma Xk=kPi.