crepi... speriamo bene, ancora 5gg poi tutto è finito :D

Ho alcune difficoltà sul calcolo degli autovettori su degli esercizi di equazioni differenziali.

Ad esempio ho una matrice A del tipo:

2 1 1
0 3 1
0 -1 1

Devo trovare gli autovalori, devo quindi togliere dalla matrice A una matrice identica moltiplicata per h (l'autovalore lambda), cioè A-hI=0.
Eseguendo i calcoli ho (2-h)^3=0, cioè un solo autovalore h=2, avente molteplicità algebrica m=3.
La matrice h-2I è:
0 1 1
0 1 1
0 -1 -1

Questa mette in evidenza come l'autovalore trovato abbia molteplicità geometrica r=2, perchè 3-rk(A-2I)=3-1=2.

Ora devo trovare gli autovettori e vengono i problemi: come detto la molteplicità geometrica è r=2, dovrei quindi avere due autovettori linearmente indipendenti: mi potreste spiegare passaggio per passaggio come si ottengono?

Inoltre dovrei avere altri autovettori del tipo P(x)e^(hix) (dove P(X) è un polinomio di grado m-r): quanti, di preciso? Per trovarli posso sfruttare i due autovettori linearmente indipendenti oppure potrei in alternativa trovare un autovettore v tale che questo verifichi la condizione v'(x)=P'(x)v(x) ?

invertibilità dell'ordine di derivazione/integrazione
 

Salve a tutti!!

Mi serviva sapere sotto quali condizioni è possibile scambiare tra loro l'operatore di derivata e quallo di integrale (in questo modo
(*) )

ho trovato qualcosa a proposito della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (che non avevo mai visto prima...), in base alla quale c'è un teorema che assicura questa possibilità, a patto che
1) f € L1 (che se ho ben capito è lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue...)
2) f derivabile rispetto a t quasi ovunque nel suo dominio
3) tale derivata è limitata quasi ovunque


Vorrei sapere se l'insieme di queste tre ipotesi sia l'unico set di condizioni possibili affinchè derivata e integrale si possano scambiare tra loro

(perchè nello stralcio di teoria dell'integrazione di Lebesgue che ho trovato, il teorema dice che: soddisfatte tali hp, allora è vero che si può scambiare l'ordine tra derivata e integrale, ma non che "affinchè risulti vera la relazione (*) è necessario e sufficiente che siano verificate le segg ipotesi...)

spero di essermi espresso in modo umanamente comprensibile... :D
grazie!!!

Se ricordo bene, le ipotesi che hai postato sono solo condizioni sufficienti... Ma aspetta che ti risponda anche qualche altro utente...

wow grazie! neanche il tempo di finire di modificare il post (connessione ballerina da far impazzire rulez :muro: ) [per la cronaca ho solo sostituito "f derivabile quasi ovunque rispetto a t" con "f derivabile rispetto a t quasi ovunque" :rolleyes: :D:D ]


ok aspetterò anche qualcun'altro :D mi sapeva conoscere quali hp il libro ha dovuto dare per scontato per fare il passaggio che tanto bellamente ha fatto :rolleyes:


intanto grazie... :mano:

Ripeto il mio problema, togliendo i vari dubbi che sono riuscito a risolvere e rendendolo più leggibile (scusate se non uso il LaTeX).

Devo svolgere alcuni esercizi su sistemi omogenei.
Scrivo la matrice relativa al sistema, trovo il polinomio caratteristico, calcolo gli autovalori (h), con la molteplicità algebrica (m) e geometrica (r) di ciascuno.
Ho dei dubbi quando r<m: so che ci sono r autovettori linearmente indipendenti (v) che danno ciascuno una soluzione del tipo f(x)=ve^(hx) (a meno che non si tratti di autovettori che vengono da radici complesse coniugate, ma qui so come funziona).


Ora il problema: non mi è chiaro quante sono le restanti soluzioni di tipo f(x)=(a+bx+cx^2+...)e^hx. Se non ho capito male queste dovrebbero essere m-r, ma è un numero che ho trovato interpretando alcuni esercizi, non ho nessuna certezza.

Inoltre è questo l'unico modo di ottenerle o posso sfruttare in alternativa gli autovettori generalizzati?

devo trovare il valore della derivata centesima in zero di:

cos(x^4)*exp(x^25)


ora immagino che il metodo migliore sia usare gli sviluppi di taylor, voi sapreste spiegarmi come?

salve a tutti,
qualcuno ha delle dispense che spiegano bene il metodo di variazione delle costanti arbitrarie per risolvere eq. differenziali del II ordine ?

grazie mille!

ps. ho già visto il thread miniguida sull'eq. diff... ma non ci ho capito molto. :confused:

Avete letto cosa ha scritto oggi Pietro Citati su Repubblica a proposito dei professori?

http://www.repubblica.it/2007/05/sez...-stipendi.html

Leggete, leggete...

Grande Citati!

:winner:

Ieri ho dato lo scritto di geometria. L'esercizio sulle coniche era questo:
La soluzione da me trovata è questa:

Per determinarla ho considerato il fascio di coniche tangenti in P alla retta data; la prima conica degenere è quella formata dalla retta r e dalla retta per O e R, la seconda dalle rette PR e PO. Imponendo la condizione che l'iperbole fosse equilatera ho trovato la soluzione. Qualcuno può cortesemente ricontrollare il risultato sopra? Grazie

Rappresentazione insieme piano.
 

Ciao a tutti!
Ho un dubbio piuttosto idiota....devo rappresentare un insieme piano per il calcolo di un integrale doppio, definito come segue: E= {(x,y) : -1 < y< x^2, x^2 < Π^2, y > 0 }

Ora, chiaramente non ho nessun problema per la prima e l'ultima condizione...per la seconda invece si tratta il pigreco nel piano x,y come il numero 3,14? In questo caso sarebbe dunque x< Π e x> -Π la parte di piano compresa tra due rette parallele all'asse y ??
Ps: tutti i < e > sono da intendersi come maggiore o uguale e minore o uguale.

Grazie per l'aiuto.

CIaO

trovato :yeah:

la risposta (e la sua dimostrazione) dovrebbe trovarsi alla pg 128 del seguente file

nel caso a qualcun altro fosse d'aiuto...

Pi greco è un numero. Non si possono confrontare numeri con punti nel piano; né il testo fa ciò, inserendo Pi greco solo in un confronto con una delle coordinate.
Sì: x^2 <= Pi^2 è lo stesso che dire |x| <= |Pi|, per cui x >= -Pi e anche x <= Pi.

Sono a Roma fino a metà mese, e posso usare i miei testi di quando ero studente.
Sul vecchio Picone-Fichera ho trovato qualcosa relativo all'integrale di Riemann, e che interpreto così: è sufficiente che la derivata parziale di f rispetto a t sia continua.
In questo caso, il risultato segue esprimendo la derivata come limite del rapporto incrementale e adoperando i teoremi del valor medio e di Heine-Cantor.

grazie silvio!!! come sempre sei un grande...

mi autori-quoto :D:D perchè ho sbagliato a linkare il file:
il file che ho trovato, con la risposta al mio quesito (che sostanzialmente ricalca quella di Ziosilvio, anche se il teorema non lo conosco :D, ma suppongo che sia la stessa cosa...) è questo:
FILE
(VD la pg 128, paragrafo 8.9)

Hai studiato sul Picone-Fichera? Eheh... gran bel testo.

Il mio grande prof. di matematica, sul finire degli anni cinquanta, seguì analisi a Roma con Gaetano Fichera.
Un giorno l'intoccabile accademico, pure lui di origini siciliane, lo apostrofò in malo modo perché prendeva appunti fumando e senza neppure avere un posacenere.
L'altro, che era nato e morirà ribelle, lo guardò, gli sorrise e avvolgendo il foglio con gli appunti a mo' di cono rispose: "Ecco fatto. Continui pure, adesso ho un posacenere!"

:D

Naturalmente, il prof. ribelle non si laureò più a Roma, ma di lui e della sua temerarietà si continuò a parlare per lungo tempo tra i corridoi dell'università capitolina...

:Prrr:

Sì scusami, mi sono espresso male ma intendevo quello :D
Grazie!

CIaO

forse vi è sfuggito perchè l'ultimo della pagina...qualcuno può aiutarmi? :( :fagiano:

E' un metodo prevalentemente tecnico, non dovresti avere difficoltà a capirlo. Prova a consultare qualche libro più datato, ad esempio lo Zwirner volume II della Cedam. L'impostazione è molto classica e priva di effetti speciali, ma didatticamente molto efficace.

;)

ciao a tutti,
mi serve di capire una cosa per l'esame di calcolo intergale....

l'integrale di una funzione discontinua in un insieme finito di punti in un intervallo, si può calcolare si o no?

non capisco perche prima il professore ci ha detto che la condizione necessaria e sufficiente perche una funzione sia integrabile è che sia uniforme continua nell'intervallo, poi ha detto che per Riemann basta che nell'intervallo sia limitata e può essere discontinua... ho capito bene??

ma poi la definizione di limite e uniforme continuità non sono quasi la stessa cosa? cioè il concetto non è sempre lostesso??

ho un po' di confusione in testa......

Se la funzione è limitata e discontinua, al più, in un'infinità di punti di misura nulla (pensa ad un'infinità numerabile), essa è certamente integrabile.

I concetti di uniforme continuità e limite mi sa che devi rivederli per benino...

quindi anche la funzione che vale:
-1 per x<0
1 per x>0

è integrabile? oppure no perche in 0 non ha limite ma solo limite destro e sinistro?

Integrabile!
A non essere integrabile secondo Riemann è - ad esempio - la funzione di dirichlet, che vale 1 se x è razionale e 0 altrimenti...
Queste difficoltà si superano solo introducendo un concetto ben definito di misura di un insieme... questo porta in modo quasi automatico all'integrale di Lebesgue!




Invece...
come faccio a dimostrare che una particolare trasformazione è un cambio di base?
Mi basta dimostrare che è unitaria?

Di fatto, se ricordo bene, una funzione definita su un intervallo [a,b] chiuso e limitato --- e, mi sembra di ricordare, ivi limitata --- è ivi integrabile secondo Riemann, se e solo se il suo insieme di punti di discontinuità ha misura nulla secondo Lebesgue.
Se parli di "cambio di base", dò per scontato che si tratti di un endomorfismo.
Se F : V --> W è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali, allora dim V = dim Ker F + dim Im F.
Per cui, un endomorfismo di uno spazio vettoriale è invertibile se e solo se ha nucleo banale, ossia se è iniettiva; il che avviene se e solo se la matrice di cambiamento di base ha rango massimo. D'altra parte, ogni matrice invertibile ha ango massimo e induce un automorfismo.
Le applicazioni unitarie sono ipso facto iniettive...

lasciando perdere Lebesgue che non abbiamo trattato a lezione, la primitiva di una funzione discontinua, nel punto in cui la funzione è discontinua, cosa fa? ha un asintoto? o è continua? o non si sa?

Se ce la fai, sì, ti basta :D
Ma non è necessario: per un cambiamento di base è sufficiente dimostrare che la matrice è invertibile.

Bum, addirittura uniformemente continua... :rolleyes:
E' una condizione sufficiente, ma non necessaria. Ti ha risposto correttamente Ziosilvio.

No, affatto.
In entrambi i casi hai a che fare con questi dannati epsilon > 0, però i concetti sono ben diversi. Qual è il punto che ti confonde?

Dipende dalla discontinuità. Se è di seconda specie (leggasi: un salto finito, tipo la funzione a gradini che hai definito qualche post prima), allora la funzione integrale è continua ma ha un punto angoloso. Se è di prima specie, a seconda dei casi puoi avere un asintoto o meno. Ad esempio, se integri 1/x tra 0 e 1 hai una quantità infinita, mentre l'integrale di log(x) nello stesso intervallo vale -1.

se una funzione è continua su un intervallo è anche uniformemente continua su quell'intervallo... no?
comunque ok, questo l'ho capito! :sofico:

il punto è che mi sembra che entrambe stanno dicendo che elementi vicini devono avere immagini vicine... o non è così?

Per l'uniforme continuità l'intervallo deve essere chiuso (teorema di Heine-Cantor).

Per quanto riguarda il concetto di limite e di uniforme continuità, torno a ripetere che devi tornare a studiarli. Inoltre, troverei più naturale che i tuoi dubbi riguardassero la continuità e l'uniforme continuità piuttosto che il concetto di limite - che sta a monte - e l'uniforme continuità stessa.

Ad ogni modo, nell'uniforme continuità, il raggio dell'intorno dipende solo dall'epsilon scelto e non già dal punto x in cui la funzione è continua...

Scusa, intendevi forse "seconda specie" dove hai scritto "prima" e viceversa?

:confused:

Uhmmmm... sì. :stordita:

esatto :D
In realtà sono in dimensione infinita (sono in uno spazio di Hilbert), comunque sicuramente si tratta di un endomorfismo.
Dunque una volta che la mia trasformazione è invertibile - e questo è banale, dato che è definita come esponenziale di un operatore, tipo exp(iT), con T autoaggiunta - sono a posto... se in più è unitaria sono a cavallo, non sbaglio?

funzioni a due variabili
 

Buongiorno,
spero che qualcuno sia in grado di aiutarmi perchè non sono ancora riuscito a capire come risolvere i seguenti problemi

1)

Trovare punti di massimo in



Calcolare



nel dominio

D={(x,y): http://operaez.net/mimetex/(x-1)^2+y^2<=1,y>=0 }

2)

Trovare punti di massimo e minimo in

http://operaez.net/mimetex/{(x,y) x^2+y^2-9>=0, x<=6, y<=6}



Scusate ma non riesco a far visualizzare tutte le formule!!

Allora le cose si complicano, perché in dimensione infinita non è più vero che ogni endomorfismo iniettivo è invertibile, nemmeno se è un'isometria.
Controesempio: spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile; operatore T definito da (Tx){0}=0, (Tx){i+1}=x{i} per ogni i; allora T è un'isometria, ma la successione 1,0,0,0,... non ha la forma Tx per nessun x.
Non sbagli: unitario vuol dire che l'aggiunto è uguale all'inverso.
Vedi anche Wikipedia.

I criteri per la ricerca dei punti di massimo di funzioni di più variabili, sono più o meno gli stessi del caso unidimensionale. Il requisito "derivata nulla" diventa però "derivate parziali nulle".
Nel tuo caso, però, l'insieme in cui cercare il massimo è una circonferenza, quindi puoi esprimere x e y in funzione di seno e coseno di una variabile opportuna.

Per il calcolo dell'integrale... beh, il dominio di integrazione è un semicerchio: integra prima rispetto a y esprimendo y in funzione di x, e poi integra rispetto a x.
Qui l'insieme di definizione è un dominio, quindi devi usare tutti i metodi che conosci e cercare in tutti i punti possibili. Quali siano quelli possibili, dovrebbe seguire dalle tue reminiscenze di Analisi I.
In LaTeX, per visualizzare una parentesi graffa, devi farla precedere da una barra rovesciata.
Per scrivere minore-o-uguale, minore, maggiore, e maggiore-o-uguale, usa \leq, \lt, \gt, e \geq.

Innanzitutto grazie mille per la risposta,
per quanto riguarda il primo punto della prima domanda la soluzione potrebbe essere questa: il gradiente vale (2x,2y) quindi la funzione ha punto di max o min in (0,0) che siccome non e' all'interno del dominio allora nel dominio stesso non vi sono punti di max! sto dicendo una cavolata?

A parte che il gradiente è (2x-1,2y): fa' attenzione, perché il criterio "gradiente nullo" vale per punti interni, e una circonferenza non ha punti interni (è fatta solo di punti di frontiera).
Prova a seguire il mio consiglio...

Scusami se abuso della tua gentilezza,


Cosa intendi? non credo di averlo mai visto fare !

Questo mi preoccupa veramente.
L'insieme su cui devi trovare i punti di minimo e massimo, è una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1: quindi puoi riscrivere x-1 come cos(t) e y come sin(t), per t che varia tra 0 e 2 Pi.
È una trasformazione assolutamente standard, che dovrebbero aver spiegato a lezione: possibile che non l'abbiano fatto?

Sono le coordinate cilindriche? comunque si le ho viste ma non ci hanno mai spiegato come usarle per calcolare punti di max e min! :muro:

Intende che si tratta di un problema con vincolo, quindi hai due possibilità: o utilizzi il metodo cosiddetto dei "moltiplicatori di Lagrange", oppure espliciti l'equazione della circonferenza e restringi lo studio dei massimi e minimi della tua funzione su di essa (diverrà, in pratica, la ricerca dei massimi e minimi di una funzione di una variabile...).

Dico bene Silvio?

;)

P.S.: Ops! mi sa che i dubbi dell'amico utente erano altri... :doh: