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è del tipo Int f'(x) * f(x) dx Quindi è di tipo potenza e il risultato è ln^2(x)/2 + c ;) |
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Ti unisco il thread alla discussione sui problemi di matematica. ;) |
vi butto un problema che tempo fa era girato in piazzetta e mi aveva molto incuriosita
ci son 4 coccinelle agli angoli di un quadrato la coccinella all'angolo 1 si dirige verso la coccinella 2 la coccinella all'angolo 2 si dirige verso la coccinella 3 la coccinella all'angolo 3 si dirige verso la coccinella 4 la coccinella all'angolo 4 si dirige verso la coccinella 1 le coccinelle si incontreranno nel centro del quadrato... ma che distanza hanno percorso ??? (in funzione di lato quadrato e velocità coccinelle) grazie, ciao |
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_______________ |1....................2| |.......................| |.......................| |.......................| |.......................| |.......................| |4....................3| _______________ Al via la 1 si dirige verso la 2 Al via la 2 si dirige verso la 3 Al via la 3 si dirige verso la 4 Al via la 4 si dirige verso la 1 In pratica ogni coccinella seguirà un movimento a simil-spirale e le coccinelle si incontreranno in centro. Il problema sta nel capire quanta strada percorrono e che traiettoria seguono? |
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dovrebbe venire (ad occhio) 1/2ln^2(x) |
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Non capisco come faccia a venire 1/2ln^2x!! Me lo spiegheresti? |
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Supponi di avere due funzioni continue, f e g, e di dover integrare g(f(x))*f'(x). Puoi porre y=f(x): ma allora dy=f'(x) dx, e l'integrale di g(f(x))*f'(x) dx deve essere uguale all'integrale di g(y) dy. Ora, supponi che g sia la funzione identità: allora l'espressione di cui sopra è semplicemente f(x)*f'(x), e l'integrale di f(x)*f'(x) dx è semplicemente uguale all'integrale di y dy. Nel tuo caso, f(x) = log x: sostituisci, e l'integrale ti viene 1/2 x^2 + costanti: sostituisci all'indietro, e ti viene 1/2 log(x)^2 + costanti ;) |
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L'abbiamo fatto l'anno scorso in un'esercitazione di cinematica... non trovo gli appunti e non mi ricordo come si fa, magari cerco di procurarmeli o chiedo ad Alexzeta, che dovrebbe averli (in più è anche un malefico fisico :D ) |
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X tutti: nessuno ha un idea sul semplice problema della regolarità del dominio?Oggi ho fatto il compito di Analisi II e giovedì ho l'orale :help: Ah, a proposito, altro piccolo quesito: risolvere l'equazione differenziale Codice:
2 2 E' un'equazione differenziale omogenea e quindi posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili operando la sostituzione y/x = t da cui y = xt' (e quindi y'= x + xt') Dopo un pò di passaggini (ed è qui che mi sbaglio spesso) giungo a: Codice:
1 - 4t 1 Se 1 - 4t diverso da 0 allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono definite implicitamente dall'equazione: Codice:
_ _ Codice:
-t 3 Ci siamo? |
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le coccinelle inizialmente stanno sui 4 angoli del quadrato, ma sono poi libere di muoversi come vogliono. l'unica cosa che fanno è inseguire ognuna la rispettiva coccinella come ho indicato nel mio primo post |
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Anche io penso che le coccinelle percorrano una spirale l'eq è del tipo Exp[at](Cos(bt)+i Sin(bt)) il problema è trovare a e b in modo da soddisfare le condizioni all'inizio. Per integrare si trova il differenziale di linea, che non mi ricordo, ma bastava cansiderare la parte reale e la parte immaginaria come componenti di un vettore reale a 2 dimensioni |
Visto che vi state divertendo, mettiamo in rilievo! :D
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Supponi che, oltre alle coccinelle, ci sia un bruco che va dall'angolo 1 all'angolo 2 con la stessa velocità delle coccinelle. Che differenza c'è tra l'osservazione del moto della coccinella 1 fatta dalla coccinella 2, e l'osservazione del moto del bruco fatta dall'angolo 2? Nessuna. Infatti, in ciascuno dei due casi, ad ogni istante il vettore velocità ha modulo costante, direzione lungo la congiungente dei due punti, e verso in direzione del punto da cui si osserva. Quindi, la distanza percorsa dalla coccinella 1 --- e, per simmetria, dalle altre --- deve essere uguale a quella percorsa dal bruco, ossia al lato del quadrato. |
Domanda sulle funzioni inverse:
So che una funzione è invertibile se monotona. Quindi per verificare faccio la derivata prima e vedo se è sempre positiva o negativa. Al max limito il dominio e la faccio diventare invertibile. Quello che non so fare è trasformare una funzione nella sua inversa. Come si fa? Basta semplicemente sostituire le x alle y nella forma? E' possibile che sia così facile? Ed il grafico? E' simmetrico rispetto alla bisettrice vero? PS: i soliti dubbi pre seconda prova scientifico :p |
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Molto spesso però non si riesce a trovare un'espressione analitica per le funzioni inverse... prova, ad esempio, ad invertire xe^x! |
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Senza il requisito di continuità, la faccenda cambia: pensa ad esempio a f : [0,1] --> [0,1] tale che f(x)=x se x è razionale, f(x)=1-x altrimenti. Allora f è invertibile (ed è inversa di se stessa), ma non è monotona. E d'altronde, è discontinua in ogni punto tranne x=1/2. Quote:
Al massimo, puoi ricordare che, se f e g sono una l'inversa dell'altra, e se y=f(x), allora x=g(y). Ad esempio, se hai y=sqrt(x-1), allora hai anche y^2=x-1 e quindi y^2+1=x. Pertanto, l'inversa di f(x)=sqrt(x-1) è g(y)=y^2+1. Quote:
Te ne accorgi semplicemente pensando che, per passare da f alla sua inversa, devi scambiare i ruoli di x e y. |
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In questo caso, in particolare, y>=0! |
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Avevo fatto un errore nell'integrazione....ora dovrebbe essere giusto...help me (soprattutto per il problema del dominio): giovedì ho l'esame orale :help: :cry: |
Allora, se io voglio trovare il volume del solido che si forma con la rotazione sull' asse delle x di una qualsiasi funzione (in un intervallo ovviamente) utilizzo la formula : pigreco per integrale della funzione al quadrato. (vado a memoria, forse ho dimenticato qualcosa...)
Ma se devo trovare il volume che si forma dalla rotazione dell'asse y?? Cosa devo fare? Va bene se simmetrizzo la funzione per la bisettrice y=x e poi applico la solita formula? Oppure sto dicendo una cavolata? E ancora, se la rotazione avvenisse su una retta qualsiasi (Y=2 ad esempio)? Grazie :D |
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(pi)int(y^2dx) tra y1 e y2 (importante notare che non è piu x1 x2) nel caso in cui sia intorno ad una retta del tipo y=2 (banale) o una qualsiasi retta del tipo y=mx+q basta applicare un affinità isometrica (!!!) che trasformi la retta in uno dei due assi. |
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Infatti il solido di rotazione è formato da tanti cilindretti infinitesimi, aventi raggio di base f(x) e altezza dx. Quote:
Te ne accorgi così: il solido di rotazione è formato da tante corone cilindriche infinitesime, aventi raggi di base x e x+dx, e altezza f(x), quindi volume ((x+dx)^2-x^2)f(x), ossia f(x)*(2x dx + (dx)^2). Quando vai a integrare, la parte f(x) (dx)^2 è un infinitesimo di ordine troppo grande per contribuire, e l'integrale si riduce a quanto detto poc'anzi. Quote:
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equazione differenziale
ho questo problema di cauchy:
y''+2y'+4=3sin(2x) y(0)=0 y'(0)=1/4 la soluzione y(x) che cerco dovrebbe essere data da soluzione dell'omogenea + soluzione particolare. ho il polinomio dell'equazione che è k^2+2k=0, quindi k=0 e k=-2 e la soluzione dell'omgenea è c1 e^0x + c2 e^-2x = c1 + c2 e^-2x a questo punto per trovare la soluzione particolare che forma generale devo usare per poi poter trovare i coefficienti? ho provato mettendo y(x)=a cos (2x) + b sin (2x) ma nn viene, cosa devo mettere? grazie |
Grazie!
Altra domanda: voglio verificare che data una funzione continua (limitata/chiusa e non) questa abbia almeno una e poi più precisamente una sola soluzione. Io farei così: se la funzione è limitata e chiusa allora applico il teorema degli zeri e vedo se esiste almeno una soluzione. Per verificare che sia unica calcolo la derivata (prima o seconda???) e controllo se è monotona o no. Se lo è esiste un'unica soluzione. se la funzione nn è limitata allora calcolo i limiti a + e - infinito della x e se vanno in sensi opposti esiste certamente uno zero. Per verificare che sia l'unico calcolo la derivata (prima o seconda???). Il mio dubbio come potete vedere è quale derivata calcolare x verificare l'unicità dello zero. Io farei la derivata prima, ma ho letto un teorema sul libro che sostiene che bisogna derivare 2 volte! E' così? e perchè? |
allora, la tua equazione differenziale lineare è:
y''+2y'+4=3sin(2x) Ti do un'idea che dovrebbe funzionare ( :D ) Scrivila come: y''+2y'=3sin(2x) - 4 Considera le due equazioni differenziali: y''+2y'= 3sin(2x) (1) y''+2y'= -4 (2) Se la funzione g1(x) è soluzione della (1) e la funzione g2(x) è soluzione della (2) allora la funzione g1(x)+g2(x) è soluzione dell'equazione di partenza (y''+2y'+4=3sin(2x) ) (questo avviene perchè la derivata è un operatore lineare) ;) |
y''+2y'+4= 3sin(2x) (1)
y''+2y'= -4 (2) la 1 nn dovrebbe essere y''+2y'= 3sin(2x) secondo il tuo ragionamento? cmq nn riesco a capire come trovare la soluzione particolare più che altro, come devo fare? |
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Altrimenti devi trovare tutti i max - min - flessi (facendo la derivata seconda ad esempio!) e verificare che la funzione cambi segno solo una volta... |
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C'è il thread apposito
Inoltre da qualche parte ci dovrebbe essere anche una guida alle equazioni differenziali... ad esempio: http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1009809 In questo caso puoi limitarti, una volta trovato l'integrale generale dell'omogenea, a usare questo trucchetto: Il tuo termine non omogeneo è del tipo A sin(wx) Considera le radici del polinomio caratteristico: -se w non è radice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A sin(wx) -se w è radice semplice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A x sin(wx) - se w è radice doppia del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo a x^2 sin(wx) In tutti i casi ti limiti a sostituire a y la tua funzione e a trovare il giusto valore di A! |
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Sia la fnzione a secondo membro una polinomio P(x) di grado n: - Se lo non 0 è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x) con Q(x) polinomio di grado n. - Se lo 0 è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x)*x^h con Q(x) polinomio di grado n. In generale se la funzione a secondo membro è del tipo f(x)= P(x)e^(ax)sin(bx) (oppure f(x)= P(x)e^(ax)cos(bx) ) con P(x) polinomio di grado n: - Se a+ib (numero complesso) non è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n. - Se a+ib è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=x^h(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n. Insomma la solita papardella per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti :stordita: PS: in genere è un macello trovare ste soluzioni particolari perchè devi calcolare le derivate ennesime ( :eek: ), sostituirle nell'equazione differenziale, e imporre che i due membri coincidano per trovare i coefficienti che ti servono ...noioso!! |
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perfetto ora ho capito, grazie mille a tutti
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Sull'esistenza e unicità... Cazzo è pesissima quella dimostrazione! Secondo me è meglio lasciar stare... anche perché richiede conoscenze non elementari (al limite si potrebbe far vedere solo come si dimostra l'unicità, dando per scontata l'esistenza, che già non è poco...) |
pensavo di aver capito, mi son messo a farlo e nn riesco :cry:
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mi dite i passaggi da fare per trovare la soluzione particolare pls grazie |
Nel tuo caso w è uguale a tre...
se vuoi ti faccio i passaggi! |
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