in pratica avendo esponente reale si pone:
3*arcocotan(x) -pi>=0
che per la decrescenza della cotangente si cambia segno di disequazione(giusto?) e si ha:
x<=cotangente(pi/3) da cui x<= - sqrt(3)/3 da cui la prima parte del dominio, la seconda non me la so spiegare

se prendi una x tra 0 e inf abbastanza grande dovresti vedere che la base della potenza diventa negativa... credo che il risultato riportato sia sbagliato e che il tuo sia corretto ....
by the way, se consideri la stessa funzione, invece che a valori reali, a valori complessi credo che il dominio dovrebbe coincidere con R

risolvendo con wolfram da ragione al libro non so proprio che pesci prendere. Troppo presto per analisi complesse :D

la arco cotangente di un numero molto grande (diciamo 10000) è un numero molto piccolo, << 1 . se ad esso sottrai pigreco, ottieni un numero negativo
Da quello dici, non puoi elevare un numero negativo a potenza irrazionale, per cui il campo di esistenza che riporta il tuo libro è sbagliato..
edit:
forse è meglio che mi ristudio, nei ritagli di tempo, le funzioni trigonometriche:
è vero, l'arcocotangente è una funzione monotona decrescente ma NON è continua in zero !! lo vedi facile se fai un grafico con wolfram alpha: grafica il membro di sx della disequazione che devi risolvere, e poi trova le che x la cui ordinata sta sopra la retta y = 0 (il solito metodo per risolvere graficamente disequazioni) ... insomma ti becchi soluzione 0 < x < 1/sqrt(3) (a meno di uguali) , che non è né quella che riporta il libro, né quello che hai trovato, ma è anche la soluzione che wolfram riporta ...
perché cot(pi/3) = -1/sqrt(3) ??? cot(pi/3) = 1/tan(pi/3) = 1/sqrt(3)

scusa ma la funzione non è questa?


mi sembra continua in zero, forse hai visto su wolfram dove secondo me prendono una restrizione del dominio diversa, forse da quello nasce il disguido?

Ribadisco... Un motivo in più per me di ripassare queste cose.. In effetti wiki definisce la funzione inversa della cot tra 0 e pi ( e non tra - pi/2 e pi/2 come fa wolfram, o su mathworld) e questo spiega la differenza.. Ma comunque, la soluzione del tuo libro non mi torna ..

ma sei sicuro che la elevazione a potenza sia pi-greco?

Sisi l'esponente é pi greco. Il mistero si infittisce :-)

La seconda parte del dominio
[0,+inf[
non è inclusa totalmente, basta semplicemente sostituire un qualunque numero di questo intervallo maggiore di 1/sqrt(3) (cioe circa 0,6) nella funzione per ottenere numeri negativi. ad esempio per x=1 otterresti
3*pi/4 - pi = -(1/4)pi che è negativo quindi non adatto ad essere elevato a potenza reale
per valori ancora piu' grandi il numero negativo cresce in valore assoluto.
Quindi i numeri accettabili sono quelli da
(-inf,1/sqrt(3)) oppure scritto come (-inf, sqrt(3)/3 )

mi sa che é l'unica spiegazione, grazie a tutti :-)

Ho il sospetto che il libro consideri il dominio della cotangente non come (0, pi), ma come (-pi/2,0) union (0, pi/2]: e che lo stesso faccia Wolfram Alpha.
Lo dico perché, ad un'occhiata veloce, GNU Octave sembra pensarla esattamente in questo modo :eek:

Ah: e poi, ovviamente, c'è la possibilità che questi software considerino qualche prolungamento analitico dell'arcocotangente, sviluppato in serie di potenze...

Nel venire qui per postare un nuovo dubbio, mi sono accorto di non aver neanche ringraziato per il suggerimento in quel limite che avevo postato ormai due mesi fa. Evidentemente tapatalk non aveva inviato il messaggio. Quindi grazie!
Adesso sto studiando le forme differenziali, campi e potenziali. Ho però un grosso dubbio. Io so che una forma differenziale è esatta se e solo se il campo è conservativo, di conseguenza esiste una funzione potenziale; e so anche che se una forma differenziale è esatta allora è chiusa. L'implicazione contraria vale solo per i domini semplicemente connessi, per i quali posso verificare se la forma differenziale è esatta, provandone la chiusura con le derivate incrociate. E fin qui ci sono.
Il problema si pone quando voglio verificare se una forma differenziale è esatta in un dominio che non è semplicemente connesso. Per esempio, prendiamo R^2 privato dell'origine: è giusto calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie sulla circonferenza chiusa centrata nell'origine, di raggio 1? Se vedo che non è nulla (come dovrebbe essere dato che è un percorso chiuso), allora è corretto concludere che la forma non è esatta?
Se considerassi invece come dominio R^2 con y!=0, come mi dovrei comportare?
Grazie già anticipatamente!

Se ho capito bene, "R^2 con y!=0" significa "il piano, privato dell'asse delle ascisse".
Questo dominio non solo non è semplicemente connesso: non è affatto connesso! Però, ciascuna delle sue componenti connesse (sottoinsiemi connessi massimali) è semplicemente connessa. Quindi, una forma differenziale che sia chiusa in una di queste componenti connesse, sarà anche esatta in quella componente connessa.

Perfetto, avevo anch'io fatto un ragionamento del genere, ma non ero sicuro che fosse giusto. Grazie!
Invece quando è che devo calcolarmi la funzione potenziale costruendo una curva (tipicamente ad L)? Mi riferisco al classico esempio della forma differenziale -y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy. Se come dominio prendo R^2 escluso l'origine vedo che non è esatta calcolando l'integrale curvilineo di seconda specie sulla circonferenza centrata nell'origine. Se considero R^2, x>0 a questo punto so che è esatta e mi calcolo la funzione potenziale usando l'integrale curvilineo di seconda specie su una curva a L. Non ho ben capito perché devo usare questo procedimento, e quindi quando devo usarlo...

Il punto è che le forme differenziali esatte in un dominio sono precisamente le forme chiuse il cui integrale lungo un qualsiasi cammino chiuso contenuto nel dominio è nullo.
Se il dominio è semplicemente connesso, allora sei sicuro che l'integrale di una forma chiusa lungo un cammino chiuso è nullo: questo perché l'integrale di una forma differenziale chiusa lungo un cammino chiuso è lo stesso che su qualsiasi altro cammino chiuso omotopicamente equivalente al primo, e in un dominio semplicemente connesso ogni cammino chiuso è omotopicamente equivalente ad un punto.
Se il dominio non è semplicemente connesso, questo trucco non funziona più.

E quindi devo calcolarmi la funzione potenziale come integrale curvilineo di seconda specie ogni volta che non ho un dominio semplicemente connesso? E dovrei poi controllare se il suo gradiente corrisponde al campo per capire se è conservativo (e quindi una forma esatta), giusto?

Ho un'altra domanda, forse stupida. Mi viene data una forma differenziale su un dominio semplicemente connesso di cui ho già verificato l'esattezza e ho trovato la funzione potenziale. Se mi viene chiesto di calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie lungo la curva ottenuta dall'intersezione di z=x^2+4y^2 e z=3x-2y da (0,0,0) a (1,1/2,2), posso sfruttare la funzione potenziale sostituendo gli estremi giusto? Ma se la forma non fosse stata esatta, e avessi dovuto calcolarlo da definizione, come avrei parametrizzato quella curva? Grazie ancora!

salve, qualcuno mi sa dire cos'è la risposta impulsiva di un segnale (in ambito "analisi dei dati e segnali")?

sono in difficoltà con la convergenza uniforme delle serie di funzioni... non ho ancora ben capito come affrontare gli esercizi.
Se mi ritrovo una serie di funzioni qualsiasi, dimostro l'eventuale convergenza assoluta nell'eventuale dominio di convergenza e fin qua ok, ma poi quando devo trovare se converge uniformemente non ho la minima idea da dove cominciare. E non ho capito la storia del maggiorante del |fn(x) - f(x)| :stordita:

Per dimostrare che una serie di funzioni f_n converge uniformemente ad una somma S in un certo insieme U, devi far vedere che, detta S_n la somma parziale dei termini fino all'n-esimo, comunque preso e > 0, puoi trovare k >= 0 dipendente da e ma non da x, tale che, se n > k, allora |S_n(x) - S(x)| < e per ogni x in U.

Tipico esempio con le serie di potenze:
La serie di funzioni f_n(x) = x^n converge uniformemente nell'intervallo (-1/2, 1/2) alla funzione S(x) = 1 / (1-x).
Questo perché la serie resto è:



e puoi maggiorare in modulo x^{n+1} con 1/2^{n+1} ed S(x) con 2.