Trovare il punto più lontano da una serie di punti all'interno di un cerchio
 

Ciao a tutti, ho un problema che nasce per motivi informatici ma che è prettamente matematico.

Mi trovo in questa condizione:
lavoro con uno spazio 3d, ma penso per ora possa approssimare ad uno bidimensionale per capire il concetto.
Ho un'area circolare ed, all'interno di questa, dei punti di cui ho le coordinate, dovrei trovare un nuovo punto, non presente all'interno del cerchio, il più distante possibile dagli altri punti ma non non esca da esso.

E' possibile in un modo non troppo complesso risolvere questa cosa?
Iuto! :mc:

Dimostrazione di un limite notevole
 

Ho un limite notevole di cui voglio imparare la dimostrazione, ma non capisco un passaggio che evidenzierò.

Riporto tutto:

lim x->0 [((1+x)^k)-1]/x

che fa k.

Mi viene detto di prendere tutto il numeratore e di porlo uguale a y (cambio di variabile, e fin quì tutto ok)
y = [((1+x)^k) -1] . Se calcolo il limite ottengo il nuovo valore di tendenza per la y che è ancora 0, per x->0.

da cui: (1+x)^k = y+1.

Mi fa passare ai logaritmi.
kLog(1+x) = Log(y+1) (A)

E adesso arriva il passaggio che non capisco.
Quando cambio la variabile dovrei poi calcolare dall'equazione che ho indicato con (A) il valore di x da sostituire nella funzione per averla tutta in y.

Mi ritrovo invece

lim per x->0 e y->0 (kLog(1+x)/x)*(y/(Log(1+y))) da cui poi svolge i calcoli, applicando il prodotto dei limiti per ottenere k.

Che ha combinato in quel passaggio?

Grazie.

Grazie.

Mah, sembrerebbe un passaggio molto terra terra...dovrebbe aver sostituito il numeratore con y e poi moltiplicato il tutto per kln(1+x)/ln(1+y) che vale 1 per l'equazione che hai chiamato (A), ossia per come hai definito y, e infine riordinato in modo da separare le variabili. Da lì in poi è semplice, separi il limite in un prodotto di limiti e ti trovi con due limiti notevoli identici che fanno 1, percui il risultato resta k. :boh:

E' un po' in ritardo, ma spero serva da spunto di riflessione:

Premessa: credo intuitivamente (non saprei dimostrarlo) che il punto P che abbia la massima distanza da un'insieme di punti dati all'interno di una circonferenza appartenga alla stessa circonferenza

devi trovare le coordinate del punto P tali che la somma delle distanze del punto P dagli altri punti dati (A, B, C, ...) sia massima E tali che il punto P appartenga alla circonferenza data.

in pratica si tratta di sommare tutte le distanze AP, BP, CP, ecc e trovare il massimo della funzione ottenuta (derivata prima uguale a 0, derivata seconda minore di 0). Il risultato trovato (del tipo x = f(y) o y = f(x)) lo metti a sistema coll'equazione della circonferenza e trovi il risultato.

Se invece non è vero che il punto P si trova necessariamente sulla circonferenza devi imporre che il punto stia al di sopra della (o si trovi sulla) semicirconferenza inferiore e al di sotto di quella superiore (come sopra) quando fai il sistema

Indipendenza lineare
 

Salve,
stavo studiando l'indipendenza lineare ma mi è sorto un dubbio:
http://www.mat.uniroma1.it/~garroni/pdf/Lezione5.pdf
per l'esempio 39 c'è la combinazione lineare
4x +y− 5z (ho cambiato le lettere per far capire meglio)
e il vettore risultante è (34
15)
ora se volessi fare il ragionamento inverso,e cioè trovare i coefficienti come posso fare?? perchè ho 3 incognite ma le equazioni sono solo 2:doh:

ENDOMORFISMI,AUTOVETTORI,AUTOVALORI
 

Anche io ho parecchi dubbi in algebra lineare:

In particolare,volevo che cos'è un autovettore,autovalore e autospazio una volta fissato un endomorfismo T: R^n--->R^n


Comunque,se ti posso essere d'aiuto...
Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali tra loro...ovvero l'uno si può scrivere come combinazione lineare dell'altro...

Gli autovalori li puoi trovare ponendo il determinante della matrice (A-x) uguale a zero. (A è la matrice di cui vuoi gli autovalori, e sottrari x agli elementi in diagonale). Poni il determinante che trovi uguale a zero, e i valori di x che soddisfano l'equazioni sono gli autovalori.
Gli autovettori li trovi facendo il ker della matrice A-x, ma con x l'autovalore relativo. (con più autovalori quindi avrai più autovettori)
L'autospazio è lo spazio generato dagli autovettori.

Fixed ;) (I è la matrice identità)

hai ragione, grazie della precisazione ;)

ciao a tutti,

sto studiando gli estremi vincolati ed in particolar modo l'analisi di sensitività definita come variazione del massimo della funzione al variare della variabili.
Ad esempio:
Supponendo di avere questo problema, sono interessato a sapere come varia f(x,y) al variare di x e di y. In un problema non vincolato, basterebbe guardare gli elementi sulla diagonale della matrice hessiana, ma come si trasforma il tutto per un problema vincolato? Devo guardare gli elementi sulla diagonale dell'hessiano orlato?

Grazie

AUTOVETTORI E AUTOVALORI
 

Credo di aver capito:

Quindi dato un endomorfismo T:V-->V corpo:K

Si definiscono autovettori i vettori tali che:

T(v)=av con a appartenente a K (AUTOVALORE)
con v appartenente a V (AUTOVETTORE)

Quindi in senso euclideo stretto: sono i vettori che in seguito ad una trasformazione lineare non vengono "ruotati"
quindi :
il vettori av e v sono linearmente dipendenti

Ovviamente il vettore nullo non può essere autovettore

Qualcuno sa cos'e' la formula di Plemey?

Credo sia un teorema di analisi complessa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sokhotski–Plemelj_theorem

perfetto. Plemelj allora...
Grazie
:)

nessuno sà aiutarmi?

Derivate e costanti di Lipschitz
 

Ciao a tutti,

ho un problema che non riesco a risolvere.

Sia f:R^n -> R^n una funzione continuamente differenziabile. Sia g_i la sua derivata parziale rispetto a un argomento, e.g. g_i(x_1,...,x_i,...x_n)=∂/∂x_i f(x_1,...,x_i,...x_n).
Posso scrivere

||g_i(x_1,...,x_i,...,x_n)-g_i(x_1,...,y_i,...,x_n)|| ≤ L_i ||f_i(x_1,...,x_i,...,x_n)-f_i(x_1,...,y_i,...,x_n)||

dove L_i è un appropriata costante di Lipschitz? Se si, L_i è la costante di Lipschitz della funzione g_i rispetto a x_i o della funzione f rispetto a x_i? Posso prendere L_i come il massimo valore della derivata (di f oppure di g) rispetto alle variabili x_1,..., x_n?

Grazie 1000! :)

No, in generale non puoi.
Come controesempio veloce, prendi n=1 e g(x) = x^3: allora g'(x) = 3x^2 è continua ma non lipschitziana in R.

Hum, hai ragione. Non c'e un modo per trovare un bound di ||g_i|| che dipenda da ||f|| in genere? Oppure, in che casi si puó trovare? Thanks again! :)

...altra domanda, sempre sul fatto di trovare un bound.
Se ho un eq. differenziale nella forma:

\dot x = f(x)

il seguente ragionamento é giusto?

d/dt \dot x = \partial f / \partial x \dot x = \partial f / \partial x f(x)

da cui, prendendo la norma in ambo i membri segue

||d/dt \dot x|| = ||\partial f / \partial x \dot x ||= ||\partial f / \partial x f(x)|| \le ||\partial f / \partial x f(x)|| ||f(x)|| \le L ||f(x)||

dove L é la costante di Lipschitz di f rispetto a x.
Quindi posso concludere che

||d/dt f(x)|| \le L ||f(x)|| ????

Grazie! :)

Direi di no, perché a primo membro hai una derivata seconda rispetto a t, e a secondo membro hai una derivata seconda in croce rispetto a t ed x.