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Ziosilvio 03-03-2007 23:44

Quote:

Originariamente inviato da Paolo_Genova (Messaggio 16211204)
Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme

Devi capire dov'è che la successione cresce con n, e dov'è che decresce.
Ossia, devi studiare la disuguaglianza



Dato che per n>=1 tutte le quantità sono non negative, e il quadrato è una funzione crescente per x>=0, ti basta studiare



o anche



Svolgi i prodotti, e trovi



ossia



che è soddisfatta solo per n uguale a 1, 2, o 3.
Questo vuol dire che, detto a[n] il termine generico della tua successione, hai a[n]<a[n+1] se e solo se n<=3.
Allora necessariamente a[4] è il massimo della successione, mentre il suo estremo inferiore è il limite di a[n] per n-->oo, che vedi da te essere 0.
Dato che però a[1]=0, tale estremo inferiore è anche un minimo.
Quote:

Oltre a questo esercizio specifico, quale potrebbe essere un buon metodo per questo tipo di problema?
Un trucco classico è sostituire la successione con una funzione "sufficientemente regolare" (diciamo almeno derivabile) nella semiretta x>=1, e studiare il comportamento della funzione.

Ziosilvio 03-03-2007 23:50

Quote:

Originariamente inviato da The-Revenge (Messaggio 16211184)
esce cosi anche a voi?

Maxima mi dà: Va=520/17, Vb=280/17.

Lucrezio 04-03-2007 09:38

Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?

The-Revenge 04-03-2007 10:03

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16211497)
Maxima mi dà: Va=520/17, Vb=280/17.

hum...calcolando le correnti per quei valori di va e vb, non esce l'esercizio :confused: vabbè pazienza, l'importante è che mi sono esercitato a fare la legge al nodo :muro:

Ziosilvio 04-03-2007 21:24

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio (Messaggio 16212674)
Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?

Boh... la cosa è banalmente vera per N=2, ma non sono sicuro si possa usare l'induzione... deve esserci una spiegazione del tipo "perché queste sono rotazioni così e così", ma proprio non mi vengono in mente...

... oltretutto 'sta settimana sono in Estonia, e avrò pochissimo tempo da dedicare al forum...

Lucrezio 05-03-2007 00:33

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16219490)
Boh... la cosa è banalmente vera per N=2, ma non sono sicuro si possa usare l'induzione... deve esserci una spiegazione del tipo "perché queste sono rotazioni così e così", ma proprio non mi vengono in mente...

... oltretutto 'sta settimana sono in Estonia, e avrò pochissimo tempo da dedicare al forum...

:D
Beato te!
Ciao e grazie ;)

Ziosilvio 05-03-2007 22:25

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio (Messaggio 16212674)
Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?

Ancora no.
Mi è però venuto in mente che la tua è una matrice circolante, che è un caso particolare di matrice di Toeplitz, di cui conosco solo il nome :cry:
Seguendo Wikipedia, però, ho trovato una novantina di pagine di tutorial QUI.
Forse ti può essere utile...

EDIT: ... e mi sa che quello che ti serve c'è, e sta a pagina 32 del documento, 40 del PDF.
Praticamente, in una matrice circolante ogni riga è una permutazione ciclica del vettore (c[0],...,c[n-1]).
Facendo i conti, gli autovalori hanno la forma



dove rho è una radice n-esima dell'unità.

Ora, tu hai c[0]=alpha, c[1]=c[N-1]=beta.
Dato che rho è una radice N-esima dell'unità, ha la forma



cosicché



Allora



Ma



e



per cui, sommando, esce fuori proprio quello che serve a te.

Paolo_Genova 06-03-2007 12:48

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16211469)
CUT

Grazie, sei stato chiarissimo.

Lucrezio 06-03-2007 23:13

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16233677)
Ancora no.
Mi è però venuto in mente che la tua è una matrice circolante, che è un caso particolare di matrice di Toeplitz, di cui conosco solo il nome :cry:
Seguendo Wikipedia, però, ho trovato una novantina di pagine di tutorial QUI.
Forse ti può essere utile...

EDIT: ... e mi sa che quello che ti serve c'è, e sta a pagina 32 del documento, 40 del PDF.
Praticamente, in una matrice circolante ogni riga è una permutazione ciclica del vettore (c[0],...,c[n-1]).
Facendo i conti, gli autovalori hanno la forma



dove rho è una radice n-esima dell'unità.

Ora, tu hai c[0]=alpha, c[1]=c[N-1]=beta.
Dato che rho è una radice N-esima dell'unità, ha la forma



cosicché



Allora



Ma



e



per cui, sommando, esce fuori proprio quello che serve a te.

Spettacolo!
Grazie infinite!
:ubriachi:

pazuzu970 07-03-2007 00:15

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio (Messaggio 16248351)
Spettacolo!
Grazie infinite!
:ubriachi:

Evviva le matrici circolanti!

:Prrr:

REN88 07-03-2007 19:03

ciao, vi scrivo perchè sono di fronte ad un problema di massimo e minimo... Purtroppo non ricordo bene la geometria analitica e mi è difficile risolverlo (anche se mi sembra facile come esecuzione)...

il testo del problema è questo:

Nel piano xOy la retta r di equazione y=mx incontra la curva di equazione
y=-xquadro +4x oltre che nell'origine degli assi in un punto a mentre la retta simmetrica di r rispetto all'asse delle x incontra la curva oltre che in O in un punto A'. Fra tutti i triangoli OAA' si determini quello di area massima.

Risultato: area massima= (128radicedi3)/9 per m=(4*radicedi3)/3

Grazie in anticipo!

REN88 07-03-2007 19:09

Visto che sono qui ne approfitto per chiedervi un altro problema di massimo e minimo questa volta però riguardante la geometria solida

Testo problema:
Un triangolo rettangolo isoscele dato ruota intorno a una retta del suo piano passante per il vertice dell'angolo retto senza tagliare il triangolo: in quale posizione del triangolo si avrà il massimo volume del solido generato?



ci ho perso tempo ma non va...

Risultato: "L'ipotenusa dovrà essere parallela all'asse di rotazione"

Ziosilvio 07-03-2007 22:21

Quote:

Originariamente inviato da REN88 (Messaggio 16259103)
Nel piano xOy la retta r di equazione y=mx incontra la curva di equazione
y=-xquadro +4x oltre che nell'origine degli assi in un punto a mentre la retta simmetrica di r rispetto all'asse delle x incontra la curva oltre che in O in un punto A'. Fra tutti i triangoli OAA' si determini quello di area massima.

Anzitutto devi trovare le coordinate di A.
Questo lo puoi fare eguagliando le espressioni della y per la retta e per la curva.
Spoiler:
Ovviamente, A ha coordinate (4-m,m(4-m)).

Poi, devi calcolare il punto in cui la seconda retta incontra la curva.
Questo viene subito se ti ricordi che fare la simmetria rispetto all'asse delle x, significa cambiare segno alla y
Spoiler:
---e che quindi, la seconda retta ha equazione y=-mx
per cui, calcolando l'intersezione nello stesso modo, ti viene fuori
Spoiler:
A' = (4+m,-m(4+m)).

Ora, come tu sai, l'area del triangolo di vertici A, B, C è data dalla formula



Nel tuo caso, l'area del triangolo di vertici O, A, A' è quindi una funzione del solo parametro m...

Ziosilvio 07-03-2007 22:27

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970 (Messaggio 16249220)
Evviva le matrici circolanti!

:Prrr:

[Modalità canora ON]
Vaaa... distruggi il mare, va! ALABARDA NASALE!!!
Vaaa... distruggi i taleban! MATRICI CIRCOLANTI!!!
Vai, c'è sul radar la flotta di Vega!
Vai, altrimenti chiudiamo bottega!
Eee... la razza umana non morirà!
Mille allarmi tu hai, non fraintenderci mai,
perché il bene tu sei, sei con noi!!! GOLDRAKE!!!

[Modalità canora OFF]

questa e tante altre varianti su www.polygen.org/web/Ufo_Robot.650.0.html

REN88 07-03-2007 22:27

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16261968)
Anzitutto devi trovare le coordinate di A.
Questo lo puoi fare eguagliando le espressioni della y per la retta e per la curva.
Spoiler:
Ovviamente, A ha coordinate (4-m,m(4-m)).

Poi, devi calcolare il punto in cui la seconda retta incontra la curva.
Questo viene subito se ti ricordi che fare la simmetria rispetto all'asse delle x, significa cambiare segno alla y
Spoiler:
---e che quindi, la seconda retta ha equazione y=-mx
per cui, calcolando l'intersezione nello stesso modo, ti viene fuori
Spoiler:
A' = (4+m,-m(4+m)).

Ora, come tu sai, l'area del triangolo di vertici A, B, C è data dalla formula



Nel tuo caso, l'area del triangolo di vertici O, A, A' è quindi una funzione del solo parametro m...

grazie 1000 ora provo a farlo seguendo i tuoi consigli!

Ciao

Renato

------------

OK fatto..! alla fine era veramente facile...!! Mi devo ripassare x bene la geometria analitica...! Grazie ancora ciao!

pazuzu970 07-03-2007 22:28

Quote:

Originariamente inviato da REN88 (Messaggio 16259103)
ciao, vi scrivo perchè sono di fronte ad un problema di massimo e minimo... Purtroppo non ricordo bene la geometria analitica e mi è difficile risolverlo (anche se mi sembra facile come esecuzione)...

il testo del problema è questo:

Nel piano xOy la retta r di equazione y=mx incontra la curva di equazione
y=-xquadro +4x oltre che nell'origine degli assi in un punto a mentre la retta simmetrica di r rispetto all'asse delle x incontra la curva oltre che in O in un punto A'. Fra tutti i triangoli OAA' si determini quello di area massima.

Risultato: area massima= (128radicedi3)/9 per m=(4*radicedi3)/3

Grazie in anticipo!


Il risultato è corretto, il problema ammette le soluzioni:

m = (4rad3)/3 ovvero, simmetricamente, m = - (4rad3)/3

Puoi procedere in questo modo.

Innanzitutto trova le coordinate dei punti A e A' in funzione di m risolvendo i sistemi che hanno come equazione la retta y = mx con la parabola e y = -mx sempre con la parabola. Volendo puoi risolvere solo il primo di tali sistemi, dal momento che, per simmetria, le soluzioni dell'altro le otterrai cambiando m con -m...

Troverai: A(4-m, m(4-m)), A'(4+m, -m(4+m)).

A questo punto conosci i tre vertici del triangolo e devi scriverne l'area, che verrà in funzione di m.

Puoi usare, ad esempio, la nota regola in base alla quale l'area è data dalla metà del valore assoluto del determinante della matrice 3x3 avente come colonne, in ordine: le ascisse e le ordinate dei tre vertici e tutti uno.

Si trova:

Area(m) = |m(m^2-16)|

e tale funzione ammette massimo, appunto, per m eguale a (4rad3)/3 ovvero a -(4rad3)/3.

Aggiungo che per m = 0, 4 oppure -4 la suddetta funzione non ammette derivata, ma tali punti sono comunque di minimo (di non derivabilità). Per m = 0 si ha un triangolo che degenera in un segmento (area nulla), per m = 4 invece, oppure -4, una delle due rette uscenti dall'origine è la tangente alla parabola nell'origine, per cui l'origine viene a coincidere con uno degli altri due vertici e nuovamente il triangolo degenera in un segmento (area nulla).

L'esercizio di geometria solida lo lascio a ziosilvio.

:D

REN88 07-03-2007 22:41

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970 (Messaggio 16262090)
Il risultato è corretto, il problema ammette le soluzioni:

m = (4rad3)/3 ovvero, simmetricamente, m = - (4rad3)/3

Puoi procedere in questo modo.

Innanzitutto trova le coordinate dei punti A e A' in funzione di m risolvendo i sistemi che hanno come equazione la retta y = mx con la parabola e y = -mx sempre con la parabola. Volendo puoi risolvere solo il primo di tali sistemi, dal momento che, per simmetria, le soluzioni dell'altro le otterrai cambiando m con -m...

Troverai: A(4-m, m(4-m)), A'(4+m, -m(4+m)).

A questo punto conosci i tre vertici del triangolo e devi scriverne l'area, che verrà in funzione di m.

Puoi usare, ad esempio, la nota regola in base alla quale l'area è data dalla metà del valore assoluto del determinante della matrice 3x3 avente come colonne, in ordine: le ascisse e le ordinate dei tre vertici e tutti uno.

Si trova:

Area(m) = |m(m^2-16)|

e tale funzione ammette massimo, appunto, per m eguale a (4rad3)/3 ovvero a -(4rad3)/3.

Aggiungo che per m = 0, 4 oppure -4 la suddetta funzione non ammette derivata, ma tali punti sono comunque di minimo (di non derivabilità). Per m = 0 si ha un triangolo che degenera in un segmento (area nulla), per m = 4 invece, oppure -4, una delle due rette uscenti dall'origine è la tangente alla parabola nell'origine, per cui l'origine viene a coincidere con uno degli altri due vertici e nuovamente il triangolo degenera in un segmento (area nulla).

L'esercizio di geometria solida lo lascio a ziosilvio.

:D

Grazie 1000....!

BlackLothus 08-03-2007 14:50

1 Allegato(i)
Quote:

Originariamente inviato da REN88 (Messaggio 16259201)
Visto che sono qui ne approfitto per chiedervi un altro problema di massimo e minimo questa volta però riguardante la geometria solida

Testo problema:
Un triangolo rettangolo isoscele dato ruota intorno a una retta del suo piano passante per il vertice dell'angolo retto senza tagliare il triangolo: in quale posizione del triangolo si avrà il massimo volume del solido generato?



ci ho perso tempo ma non va...

Risultato: "L'ipotenusa dovrà essere parallela all'asse di rotazione"

Provo ad aiutarti, spero di non scrivere troppe cavolate.

Premetto che non avevo letto isoscele :muro: e che quindi ho sviluppato per triangolo rettangolo qualsiasi, comunque la soluzione si estende al caso particolare di triangolo rettangolo isoscele.

Dunque, detto gamma l’angolo tra un cateto e l’asse di rotazione, calcoli il volume del solido di rotazione in funzione di gamma.
Io ho usato le formulette dei solidi di rotazione, in particolare il volume l’ho ottenuto sottraendo il volume dei coni generati ruotando i cateti, al volume del tronco di cono generato ruotando l’ipotenusa.

Smanettando con seni e coseni alla fine ottieni un’espressione del volume del solido:
V=b*b*c*cos(gamma)+b*c*c*sen(gamma)
Dove b e c sono i cateti, e gamma è l’angolo formato da c con l’asse di rotazione.

Trovato il volume derivi una volta e annulli e trovi così un massimo/minimo/flesso, derivi un’altra volta e vedi che il tutto è negativo, quindi il punto che avevi trovato era un massimo.

L’angolo gamma che rende massimo il volume coincide con l’angolo formato dall’ipotenusa con il cateto b (NON quello che forma l’angolo gamma).
Nel caso particolare quindi gamma=45°, e quindi l’ipotenusa è parallelo all’asse di rotazione.

Nella figura, spero di averla inserita correttamente, il massimo si ha per gamma=alpha

REN88 08-03-2007 15:12

grazie per la risposta ora me lo studio x bene....!

Ciao!

Lucrezio 08-03-2007 22:25

Ho un polinomio definito per ricorsione da (il pedice indica il grado):

E mo che faccio? :cry:
(Ehm... può aiutare che quello di grado 1 è x e quello di grado due è x^2 -1 ?)


Tutti gli orari sono GMT +1. Ora sono le: 23:27.

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