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misterx 22-10-2009 06:47

Jarni,
credo di aver capito dove continuavo a sbagliare e a non capire, quanta ruggine :muro:

ciccionamente90 22-10-2009 14:13

Esercizi su successioni e convergenza
 
salve ragazzi, il mio libro di analisi, mi chiede di verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(7n)/(3n-2) converge a 7/3. Io proprio non capisco cosa devo fare, ma so che il risultato è: "fissato epsilon>0 è sufficiente prendere n>2/3+14/9epsilon".

:muro: Mi potreste dare un aiutino?

Un altro esercizio chiede: "verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(sin(n))/n converge a 0"; in questo caso il risultato dichiarato è: "fissato epsilon>0, |((sin(n))/n)|<=1/n, quindi è sufficiente prendere n>1/epsilon".

:help: Grazie

Ziosilvio 22-10-2009 14:52

Quote:

Originariamente inviato da ciccionamente90 (Messaggio 29380063)
salve ragazzi, il mio libro di analisi, mi chiede di verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(7n)/(3n-2) converge a 7/3. Io proprio non capisco cosa devo fare, ma so che il risultato è: "fissato epsilon>0 è sufficiente prendere n>2/3+14/9epsilon".

:muro: Mi potreste dare un aiutino?

Un altro esercizio chiede: "verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(sin(n))/n converge a 0"; in questo caso il risultato dichiarato è: "fissato epsilon>0, |((sin(n))/n)|<=1/n, quindi è sufficiente prendere n>1/epsilon".

:help: Grazie

Innanzitutto, ricordiamo la definizione di convergenza per le successioni:
Una successione converge ad se e solo se, per ogni , esiste tale che ogniqualvolta .

Per il primo esercizio, riscrivi



Allora



Tale quantità è positiva per n>0, quindi puoi togliere il valore assoluto.
A questo punto devi solo risolvere rispetto a n la disuguaglianza



Il secondo esercizio è simile, anzi addirittura più facile se ricordi che la funzione seno è limitata.

Jarni 22-10-2009 14:53

Quote:

Originariamente inviato da ciccionamente90 (Messaggio 29380063)
salve ragazzi, il mio libro di analisi, mi chiede di verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(7n)/(3n-2) converge a 7/3. Io proprio non capisco cosa devo fare, ma so che il risultato è: "fissato epsilon>0 è sufficiente prendere n>2/3+14/9epsilon".

:muro: Mi potreste dare un aiutino?

Un altro esercizio chiede: "verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(sin(n))/n converge a 0"; in questo caso il risultato dichiarato è: "fissato epsilon>0, |((sin(n))/n)|<=1/n, quindi è sufficiente prendere n>1/epsilon".

:help: Grazie

Epsilon!?
Ma fai il limite per n che tende a infinito: a(n) tenderà a 7/3.:D

Ziosilvio 22-10-2009 14:55

Quote:

Originariamente inviato da Jarni (Messaggio 29380730)
Epsilon!?
Ma fai il limite per n che tende a infinito: a(n) tenderà a 7/3.:D

Il succo di quegli esercizi, dovrebbe essere proprio far capire come si fanno i limiti :)
Quando uno sa fare queste cose, può capire perché funziona la regola generale.

jacky guru 22-10-2009 15:37

Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera semplice perchè il grafico della funzione derivata NON può presentare discontinuità eliminabile? Per il teorema del "tappabuchi"? :confused: :confused:

Thanks ;)

Jarni 22-10-2009 15:53

Quote:

Originariamente inviato da jacky guru (Messaggio 29381509)
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera semplice perchè il grafico della funzione derivata NON può presentare discontinuità eliminabile? Per il teorema del "tappabuchi"? :confused: :confused:

Thanks ;)

Eh?:mbe:

Ziosilvio 22-10-2009 15:53

Quote:

Originariamente inviato da jacky guru (Messaggio 29381509)
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera semplice perchè il grafico della funzione derivata NON può presentare discontinuità eliminabile? Per il teorema del "tappabuchi"? :confused: :confused:

Thanks ;)

Se consideri le definizioni di continuità e derivabilità, ti accorgi di quanto segue:
  1. f è continua in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0.
  2. f è derivabile in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0 almeno dello stesso ordine di x-x0.
Vedi da te che la seconda condizione implica la prima.

P.S.: qual è l'enunciato cui date il nome di "teorema del tappabuchi"?

ciccionamente90 22-10-2009 17:21

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 29380717)
Innanzitutto, ricordiamo la definizione di convergenza per le successioni:
Una successione converge ad se e solo se, per ogni , esiste tale che ogniqualvolta .

Per il primo esercizio, riscrivi



Allora



Tale quantità è positiva per n>0, quindi puoi togliere il valore assoluto.
A questo punto devi solo risolvere rispetto a n la disuguaglianza



Il secondo esercizio è simile, anzi addirittura più facile se ricordi che la funzione seno è limitata.

grazie mille mila!!! Ora esce! :)

Quote:

Originariamente inviato da Jarni (Messaggio 29380730)
Epsilon!?
Ma fai il limite per n che tende a infinito: a(n) tenderà a 7/3.:D

Paradossalmente, fare il limite è più semplice, ma devo fingere di non conoscerli :D

jacky guru 22-10-2009 17:38

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 29381772)
Se consideri le definizioni di continuità e derivabilità, ti accorgi di quanto segue:
  1. f è continua in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0.
  2. f è derivabile in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0 almeno dello stesso ordine di x-x0.
Vedi da te che la seconda condizione implica la prima.

P.S.: qual è l'enunciato cui date il nome di "teorema del tappabuchi"?

Ciao,
ti ringrazio per avermi risposto! Non avendo ancora fatto infiniti e infinitesimi non ho però capito la tua spiegazione :(

Al corso di Analisi I mi hanno appena presentato il teorema dei tappabuchi come alternativa per verificare la derivabilità di una funzione in un punto x0, considerandone un intorno nel quale siamo certi che essa è derivabile. Anzichè verificare che esiste finito il limite del rapporto incrementale per x che tende al valore di x0, basta calcolare il limite, per x che tende al punto x0 che ho dapprima menzionata, della derivata prima (che esiste nell'intorno di x0). Se tale limite è finito, allora la derivata prima è il valore di tale limite. Tale teorema è inoltre dimostrabile (e quindi diretta conseguenza) con il teorema di De L'Hopital.

Ziosilvio 22-10-2009 18:17

Quote:

Originariamente inviato da jacky guru (Messaggio 29383477)
Ciao,
ti ringrazio per avermi risposto! Non avendo ancora fatto infiniti e infinitesimi non ho però capito la tua spiegazione :(

Al corso di Analisi I mi hanno appena presentato il teorema dei tappabuchi come alternativa per verificare la derivabilità di una funzione in un punto x0, considerandone un intorno nel quale siamo certi che essa è derivabile. Anzichè verificare che esiste finito il limite del rapporto incrementale per x che tende al valore di x0, basta calcolare il limite, per x che tende al punto x0 che ho dapprima menzionata, della derivata prima (che esiste nell'intorno di x0). Se tale limite è finito, allora la derivata prima è il valore di tale limite. Tale teorema è inoltre dimostrabile (e quindi diretta conseguenza) con il teorema di De L'Hopital.

Siete alle derivate e non avete ancora fatto infinitesimi e infiniti? :confused:

Per quello che serve a noi:
Una funzione si dice infinitesima in x0 se il suo limite per x che tende a x0 è 0.
Se f e g sono infinitesime in x0, si dice che f è infinitesimo di ordine almeno pari a g se f/g si mantiene limitata in un intorno di x0. Questo è vero in particolare se f/g ammette limite finito in x0.

Per quanto riguarda il teorema del tappabuchi, mi sembra che dica che la funzione derivata prima, se converge in un punto, converge al limite del rapporto incrementale.
La dimostrazione di questo fatto non richiede il teorema di de l'Hôpital (che in realtà è di Johann Bernoulli) il quale dal canto suo va adoperato solo come ultima risorsa, quando gli altri metodi (definizione, limiti notevoli, ordine di infinitesimo, ecc.) hanno fatto fiasco.

Armage 22-10-2009 21:07

Esperti di matematica, aiuto
 
Cercherò di essere breve. Più che di matematica sto parlando di teoria della probabilità e due sere fa ho avuto una discussione a proposito con dei miei amici e alla fine ci siamo divisi in due parti senza trovare un accordo. Premetto che nessuno di noi era particolarmente preparato sull'argomento quindi mi scuso in anticipo se la cosa dovesse risultare di una banalità imbarazzante.
Il problema sarebbe lungo da spiegare e quindi cercherò di fare un esempio diverso qui così che possa essere chiaro per tutti.

Diciamo che io ho un mazzo di 40 carte. Se pesco una carta, le probabilità che mi esca un asso sono 4/40 ovvero 1/10, giusto? La probabilità che, sempre pescando una carta, esca un asso di cuori sono 1/40. Credo che in probabilistica sia più corretto scrivere 0.025 però, visto che 1 significa evento certo e 0 è evento impossibile.

Ora, che probabilità ho di pescare questo asso di cuori se faccio tre pescate differenti, ogni volta rimescolando il mazzo? Quindi, nella totalità dei miei tre tentativi, indipendenti l'uno dall'altro, che probabilità ho di vedere ALMENO una volta un asso di cuori?

Ziosilvio 22-10-2009 22:03

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1221191
EDIT: va be', va... per questa volta unisco.

diablo...aka...boss 22-10-2009 22:08

La prima parte di un esercizio di analisi numerica recita così:
Si vuole calcolare la radice positiva di una funzione f(x)= x^3 -2x-5 Si riconduca il problema al calcolo del punto fisso di una funzione x=g(x) .

il fatto è che non ho proprio capito cosa mi stia chiedendo di fare :(
devo farlo con matlab, ma passa in secondo piano, visto che non ho idea di cosa io debba fare...qualcuno può darmi qualche dritta ?

Ziosilvio 22-10-2009 22:08

Quote:

Originariamente inviato da Armage (Messaggio 29386692)
Cercherò di essere breve. Più che di matematica sto parlando di teoria della probabilità e due sere fa ho avuto una discussione a proposito con dei miei amici e alla fine ci siamo divisi in due parti senza trovare un accordo. Premetto che nessuno di noi era particolarmente preparato sull'argomento quindi mi scuso in anticipo se la cosa dovesse risultare di una banalità imbarazzante.
Il problema sarebbe lungo da spiegare e quindi cercherò di fare un esempio diverso qui così che possa essere chiaro per tutti.

Diciamo che io ho un mazzo di 40 carte. Se pesco una carta, le probabilità che mi esca un asso sono 4/40 ovvero 1/10, giusto? La probabilità che, sempre pescando una carta, esca un asso di cuori sono 1/40. Credo che in probabilistica sia più corretto scrivere 0.025 però, visto che 1 significa evento certo e 0 è evento impossibile.

Ora, che probabilità ho di pescare questo asso di cuori se faccio tre pescate differenti, ogni volta rimescolando il mazzo? Quindi, nella totalità dei miei tre tentativi, indipendenti l'uno dall'altro, che probabilità ho di vedere ALMENO una volta un asso di cuori?

Come spiegavo qualche post poc'anzi, dati N eventi indipendenti di probabilità p, la probabilità che se ne verifichi almeno uno, è 1 meno la probabilità che non se ne verifichi nessuno, ossia 1-(1-p)^N.
Per p=1/40 ed N=4 tale probabilità è di circa il 9,63%.

Armage 22-10-2009 22:30

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 29387544)
Come spiegavo qualche post poc'anzi, dati N eventi indipendenti di probabilità p, la probabilità che se ne verifichi almeno uno, è 1 meno la probabilità che non se ne verifichi nessuno, ossia 1-(1-p)^N.
Per p=1/40 ed N=4 tale probabilità è di circa il 9,63%.

Mi scuso intanto ma non avevo visto il thread dei problemi matematici.
N=4 sarebbe il numero delle pescate? io ne avevo ipotizzate 3. In tal caso sarebbe quindi circa 7,4. giusto?

guylmaster 22-10-2009 22:46

Allora il metodo di fermat per trovare i numeri primi dice (almeno secondo i miei appunti)

Se a appartenente a Z >1 e a dispari
A non è primo se e solo se a = x1^2-y1^2

con x1 e y1 opportuni interi positivi
ed 1<x1+y1<a e 1<x1-y1<a

Quindi sia a>1 e a dispari
Cerchiamo, se a intero, gli interi x1,y1 t.c a=x1^2-y1^2

Da qui si ricava
x1^2 - a = y^2
quindi
x1^2-a >= 0 e x1^2 >= a

Da cui x1 >= radice di a

Sia k il minimo intero positivo t.c k >= radice di a

Abbiamo il seguente algoritmo:

1 passo: k^2-a, se otteniamo un quadrato perfetto ci fermiamo altrimenti passiamo al passo successivo

2 passo: (k+1)^2 -a, se otteniamo un quadrato perfetto ci feriamo altrimento continuiamo a sommare 1..

(ora viene il pezzo che non mi è chiaro)
Quindi dice che "l'algoritmo a termine perchè al piu:

x1 = (a+1)/2

perchè:

x1^2-a = ((a+1)/2)^2 -a

sviluppa le operazioni nel secondo membro dell'uguaglianza (sviluppa il quadrato è sottrae a)
ed infine otteniamo il seguente quadrato:

((a-1)/2)^2

Se l'algoritmo termina con questo passo allora A è primo.

Ora, come si spiega questa ipotesi di uscita dall'algoritmo?
Noi da un passo all'altro diciamo che ci fermiamo solo se otteniamo un quadrato perfetto. Quindi quella formula deve spiegare in qualche modo che per forza di cose fino alla fine otteremo un quadrato perfetto?

Ziosilvio 22-10-2009 23:51

Quote:

Originariamente inviato da Armage (Messaggio 29387820)
N=4 sarebbe il numero delle pescate? io ne avevo ipotizzate 3. In tal caso sarebbe quindi circa 7,4. giusto?

Sì, con tre pesate l'interprete Python mi dà un circa 7,31%.

Armage 23-10-2009 00:24

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 29388782)
Sì, con tre pesate l'interprete Python mi dà un circa 7,31%.

Intanto ti ringrazio molto. Un'ultima cosa, mi puoi dire una fonte dove posso trovare questa formula e/o dove se ne parli più approfonditamente? grazie

jacky guru 23-10-2009 06:11

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 29384068)
Siete alle derivate e non avete ancora fatto infinitesimi e infiniti? :confused:

Per quello che serve a noi:
Una funzione si dice infinitesima in x0 se il suo limite per x che tende a x0 è 0.
Se f e g sono infinitesime in x0, si dice che f è infinitesimo di ordine almeno pari a g se f/g si mantiene limitata in un intorno di x0. Questo è vero in particolare se f/g ammette limite finito in x0.

Per quanto riguarda il teorema del tappabuchi, mi sembra che dica che la funzione derivata prima, se converge in un punto, converge al limite del rapporto incrementale.
La dimostrazione di questo fatto non richiede il teorema di de l'Hôpital (che in realtà è di Johann Bernoulli) il quale dal canto suo va adoperato solo come ultima risorsa, quando gli altri metodi (definizione, limiti notevoli, ordine di infinitesimo, ecc.) hanno fatto fiasco.

Mmh ho quasi capito. Grazie :D


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