:eek: :eek: :eek:

Ora ti scrivo in pvt.

;)

soluzione trovata: la pulsazione si trova semplicemente facendo la tangente: mi ero incasinato con la calcolatrice che era settata per i grasi anzichè i radianti....:doh: :stordita:

Sono ancora io!
Stavolta la tipologia di esercizio è un pò diversa, si tratta di una dimostrazione.

Sia {Un} una base ortonormale di vettori in L2(a,b), dimostrare che un vettore v appartenente a questo spazio è equidistante dai vettori base cui è ortogonale.

Definiamo innanzi tutto il prodotto scalare (tralasciamo il peso) fra 2 vettori, g e f, in questo spazio:



e la distanza sempre fra f, g:



Sia un vettore generico della base cui v è ortogonale.

Ho pensato di procedere così, svolgendo il quadrato nell'integrale:


Ora:

perchè vettore unitario

perchè ortogonali

e in definitiva



...che non dipende dal vettore di base ortonormale preso in considerazione e quindi è costante.

Che ne dite, regge?
Era nel compito scritto d'esame che ho sostenuto pochi giorni fa, probabilmente mi verrà chiesto di spiegare e correggere gli errori all'orale e vorrei avere le idee chiare.

Grazie :)

Mi pare di sì.

E credo si possa generalizzare a uno spazio con prodotto scalare, reale o complesso; ora ci provo.
Sia V uno spazio con prodotto scalare <v,w>, e sia {v[j], j in I} una base di V.
Per j e k qualsiasi in I con j<>k hai
quindi d(v[j],v[k]) = sqrt(2) in ogni caso.

come calcolo il determinante di una matrice infinita?

La cosa non è per niente immediata se uno ha fatto solo la matematica del biennio.
Ho fatto un giro su Wikipedia, ed è saltata fuori una definizione che usa l'esponenziale di matrici.

La cosa funziona più o meno così.
Una matrice è fondamentalmente un operatore lineare continuo A su uno spazio di Banach separabile V. Chiamiamo L(V) lo spazio di tutti questi operatori.
Puoi definire l'esponenziale di A come



Nota che questa quantità è ben definita, perché se V è uno spazio di Banach, allora L(V) è a sua volta uno spazio di Banach.
A sua volta, l'esponenziale è un morfismo suriettivo del gruppo additivo L(V) nel gruppo moltiplicativo GL(V) degli elementi invertibili di L(V). Allora una determinazione del logaritmo di una matrice invertibile J, è una mappa log : GL(V) --> L(V) tale che exp log J = J per ogni J in GL(V).
Bada che, in generale, se J è una matrice, allora log J è una matrice a elementi complessi.

Ora, facendo due conti vedi che, se A è una matrice finita, allora



dove la traccia di A è la somma dei suoi autovalori. Ma allora puoi definire



anche se A è infinita.

Ci sono dei metodi più semplici se A è diagonalizzabile, e altri metodi che impiegano la forma canonica di Jordan.
Qualche link:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_logarithm

Equazione differenziale di PRIMO grado a coefficienti costanti (K=cost)

dot_x+K*x=g(x)

dove g(x) è una funziona positiva crescente di cui (sgrunt!) NON è nota l'equazione (so solo che è sempre positiva e cresce con la x).

come calcolo l'integrale particolare? o, meglio, conoscendo che g(x) è positiva crescente, che proprietà posso evincere sulla soluzione globale x(t) dell'eq. differenziale?

Se fosse stato
dot_x+K*x=0
avrei avuto
x(t)=cost*e^-Kt che decresce esponenzialmente a zero.

Avendo però anche g(x), la presenza del termine g(x) positivo crescente come modifica la soluzione x(t)?

Tu sai che l'equazione omogenea associata



ha soluzioni



Per trovare la soluzione particolare puoi usare il metodo di variazione della costante arbitraria: se infatti A non fosse costante, ma variasse anche lei a seconda di t, l'equazione diventerebbe



che però equivale a



che ha soluzione



A questo punto, x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare.

EDIT: quindi g è funzione di x, e non di t?

opps! g(t) anch'essa.

x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare
dove


sin qui tutto ok.

però sapendo che f(t) è sempre positiva e crescente allora la funzione

che andamento avrà?
dovrebbe essere crescente perchè g(t) cresce ed è sempre positivo e la stessa cosa e^ks.

come si modifica in generale la soluzione rispetto a quella omogenea [ ovvero differenza tra il caso con e senza la g(x)]?

a causa dell'"agiunta! della A(t) crescente ho un "accrescimento" dei valori di e^-kt.

poichè nel tempo e^-kt va a zero mentre A(t) cresce sempre di più che accade?

all'inizio x(t) dovrebbe non variare (A(t) basso e e^-kt alto). Poi x(t) aumenta rispetto al caso omogeneo (E^-kt diminuito ma A(t) aumentato. Oltre un certo valore e^-kt avrà valori tanto bassi (tende a zero) che i valori elevati (ssimi) di A(t) non riscnono ad aumentala "molto".

esatto?

quindi visto un andamento esponenziale che cala a zero dovrai avere una prima parte che decrescepiù lentamente e poi un a parte che descresce più velocemente? insomma cme una "gobba" al centro?

exp(Ks) è crescente in s se e solo se K>0.
Ora, se moltiplichi due funzioni monotone crescenti positive, ottieni una funzione monotona crescente positiva; ma se una delle due funzioni non ha uno di 'sti due requisiti, non è detto a priori cosa farà il prodotto.
Ogni soluzione dell'equazione è somma di una soluzione particolare e di una soluzione dell'omogenea associata.
Dipende da come cresce A(t).

K è positiva e la g(t) sempre positiva e crescente.

il problema è "come" cresce.

ho una telecamera che inquadra un oggetto (una sfera) distante quindi sullo schermo vedo un cerchietto.
se avvicino la camera all'oggetto con velox costante l'area del cerchietto aumenta (la sfera è sempre più vicina alla camera) MA man mano che mi avvicino cresce sempre di più. infatti se è molto lontana anche un grande avvicinamento ingrandisce poco l'area. se sono molto vicino anche un piccolo avvicinamento la ingrandisce molto.

la g(t) è la legge di accrescimento di quell'area.

secondo te la x(t) che forma avrà?

scusa. per una serie di motivi troppo lunghi a dirsi è:

la legge ha un andamento del tipo g(t)=cost/(t^3)

secondo te , quindi, la soluzione particolare e quella complessiva che andamento avranno?

equazione
 

perdonatemi, un quesito:
sqr( (-w^2+1)^2 + (2w)^2 ) = 2

risolvo ed ottengo: sqr ( w^4+1-2w^2+4w^2 ) = 2;

ora le strade sono due:

1a: elevo al quadrato ambo i membri ed ottengo:
w^4+2w^2-3=0; w1=1, w2=-1, w3/4 radici complesse e coniugate. ok!

2a: mi accorgo che sotto la radice ho il quadrato del binomio e lo semplifico con la radice... sqr( (w^2+1)^2) = w^2+1 = 2

w1=1, w2=-1.

Ora le due strategie sono equivalenti?
perchè se elevo al quadrato ambo i membri ottengo quelle due radici complesse e coniugate?

grazie

Grazie come sempre, anche per la generalizzazione.
:)

Boh... prova a tracciare qualche grafico con Gnuplot...
La particolare dovrebbe scendere fino a un tot, e poi mettersi a salire.
La complessiva... hai una cosa che tende a zero più una cosa che diverge...

Perché in campo complesso, la radice quadrata è una funzione polidroma (accento sulla "i"): un numero complesso non nullo ha due radici quadrate distinte.
Quindi, le soluzioni della tua equazione "radice quadrata di polinomio di secondo grado uguale costante" ha quattro soluzioni, e non due.

Il motivo per cui ogni numero complesso non nullo ha due radici quadrate, è questo.
Considera la rappresentazione polare



per cui, per ogni n>0,



Se z<>0, allora rho>0. Supponi z=w^2: detto



hai rho=r^2, cos theta = cos 2t, e sin theta = sin 2t.
Questo implica r=sqrt(rho) nel senso dei numeri reali, ma



per qualche k intero. Per periodicità, hai una radice



e una radice

Chi mi dimostra che gli autovalori di una matrice siffatta:
http://operaez.net/mimetex/\left ( \...rray} \right )
ovvero una matrice con tutti alpha sulla diagonale, beta sulla sopradiagonale e sulla sotto diagonale, beta nelle posizioni (1,N) e (N,1) e tutto il resto uguale a zero, per N pari, hanno forma

Offresi gratitudine eterna in cambio!

mi potete aiutare in questo please, ci ho messo un ora per far un sistema e mi esce sempre uguale, però il risultato dle libro non quadra....è elettrotecnica, ma il sistema è di matematica quinid posto qui...è un sistema a 2 incognite :

(Va-Vb)G4+Va*G2+Va*G3=8
(Va-Vb)G4+Vb*G1=2

G3=0.05
G1=0.1
G2=0.2
G4=0.025

A me è uscito Vb = 0.53/6.27
Mi sapreste dire se esce cosi anche a voi?:stordita:

Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme

Oltre a questo esercizio specifico, quale potrebbe essere un buon metodo per questo tipo di problema?