crepi... speriamo bene, ancora 5gg poi tutto è finito :D

Ho alcune difficoltà sul calcolo degli autovettori su degli esercizi di equazioni differenziali.

Ad esempio ho una matrice A del tipo:

2 1 1
0 3 1
0 -1 1

Devo trovare gli autovalori, devo quindi togliere dalla matrice A una matrice identica moltiplicata per h (l'autovalore lambda), cioè A-hI=0.
Eseguendo i calcoli ho (2-h)^3=0, cioè un solo autovalore h=2, avente molteplicità algebrica m=3.
La matrice h-2I è:
0 1 1
0 1 1
0 -1 -1

Questa mette in evidenza come l'autovalore trovato abbia molteplicità geometrica r=2, perchè 3-rk(A-2I)=3-1=2.

Ora devo trovare gli autovettori e vengono i problemi: come detto la molteplicità geometrica è r=2, dovrei quindi avere due autovettori linearmente indipendenti: mi potreste spiegare passaggio per passaggio come si ottengono?

Inoltre dovrei avere altri autovettori del tipo P(x)e^(hix) (dove P(X) è un polinomio di grado m-r): quanti, di preciso? Per trovarli posso sfruttare i due autovettori linearmente indipendenti oppure potrei in alternativa trovare un autovettore v tale che questo verifichi la condizione v'(x)=P'(x)v(x) ?

invertibilità dell'ordine di derivazione/integrazione
 

Salve a tutti!!

Mi serviva sapere sotto quali condizioni è possibile scambiare tra loro l'operatore di derivata e quallo di integrale (in questo modo
(*) )

ho trovato qualcosa a proposito della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (che non avevo mai visto prima...), in base alla quale c'è un teorema che assicura questa possibilità, a patto che
1) f € L1 (che se ho ben capito è lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue...)
2) f derivabile rispetto a t quasi ovunque nel suo dominio
3) tale derivata è limitata quasi ovunque


Vorrei sapere se l'insieme di queste tre ipotesi sia l'unico set di condizioni possibili affinchè derivata e integrale si possano scambiare tra loro

(perchè nello stralcio di teoria dell'integrazione di Lebesgue che ho trovato, il teorema dice che: soddisfatte tali hp, allora è vero che si può scambiare l'ordine tra derivata e integrale, ma non che "affinchè risulti vera la relazione (*) è necessario e sufficiente che siano verificate le segg ipotesi...)

spero di essermi espresso in modo umanamente comprensibile... :D
grazie!!!

Se ricordo bene, le ipotesi che hai postato sono solo condizioni sufficienti... Ma aspetta che ti risponda anche qualche altro utente...

wow grazie! neanche il tempo di finire di modificare il post (connessione ballerina da far impazzire rulez :muro: ) [per la cronaca ho solo sostituito "f derivabile quasi ovunque rispetto a t" con "f derivabile rispetto a t quasi ovunque" :rolleyes: :D:D ]


ok aspetterò anche qualcun'altro :D mi sapeva conoscere quali hp il libro ha dovuto dare per scontato per fare il passaggio che tanto bellamente ha fatto :rolleyes:


intanto grazie... :mano:

Ripeto il mio problema, togliendo i vari dubbi che sono riuscito a risolvere e rendendolo più leggibile (scusate se non uso il LaTeX).

Devo svolgere alcuni esercizi su sistemi omogenei.
Scrivo la matrice relativa al sistema, trovo il polinomio caratteristico, calcolo gli autovalori (h), con la molteplicità algebrica (m) e geometrica (r) di ciascuno.
Ho dei dubbi quando r<m: so che ci sono r autovettori linearmente indipendenti (v) che danno ciascuno una soluzione del tipo f(x)=ve^(hx) (a meno che non si tratti di autovettori che vengono da radici complesse coniugate, ma qui so come funziona).


Ora il problema: non mi è chiaro quante sono le restanti soluzioni di tipo f(x)=(a+bx+cx^2+...)e^hx. Se non ho capito male queste dovrebbero essere m-r, ma è un numero che ho trovato interpretando alcuni esercizi, non ho nessuna certezza.

Inoltre è questo l'unico modo di ottenerle o posso sfruttare in alternativa gli autovettori generalizzati?

devo trovare il valore della derivata centesima in zero di:

cos(x^4)*exp(x^25)


ora immagino che il metodo migliore sia usare gli sviluppi di taylor, voi sapreste spiegarmi come?

salve a tutti,
qualcuno ha delle dispense che spiegano bene il metodo di variazione delle costanti arbitrarie per risolvere eq. differenziali del II ordine ?

grazie mille!

ps. ho già visto il thread miniguida sull'eq. diff... ma non ci ho capito molto. :confused:

Avete letto cosa ha scritto oggi Pietro Citati su Repubblica a proposito dei professori?

http://www.repubblica.it/2007/05/sez...-stipendi.html

Leggete, leggete...

Grande Citati!

:winner:

Ieri ho dato lo scritto di geometria. L'esercizio sulle coniche era questo:
La soluzione da me trovata è questa:

Per determinarla ho considerato il fascio di coniche tangenti in P alla retta data; la prima conica degenere è quella formata dalla retta r e dalla retta per O e R, la seconda dalle rette PR e PO. Imponendo la condizione che l'iperbole fosse equilatera ho trovato la soluzione. Qualcuno può cortesemente ricontrollare il risultato sopra? Grazie

Rappresentazione insieme piano.
 

Ciao a tutti!
Ho un dubbio piuttosto idiota....devo rappresentare un insieme piano per il calcolo di un integrale doppio, definito come segue: E= {(x,y) : -1 < y< x^2, x^2 < Π^2, y > 0 }

Ora, chiaramente non ho nessun problema per la prima e l'ultima condizione...per la seconda invece si tratta il pigreco nel piano x,y come il numero 3,14? In questo caso sarebbe dunque x< Π e x> -Π la parte di piano compresa tra due rette parallele all'asse y ??
Ps: tutti i < e > sono da intendersi come maggiore o uguale e minore o uguale.

Grazie per l'aiuto.

CIaO

trovato :yeah:

la risposta (e la sua dimostrazione) dovrebbe trovarsi alla pg 128 del seguente file

nel caso a qualcun altro fosse d'aiuto...

Pi greco è un numero. Non si possono confrontare numeri con punti nel piano; né il testo fa ciò, inserendo Pi greco solo in un confronto con una delle coordinate.
Sì: x^2 <= Pi^2 è lo stesso che dire |x| <= |Pi|, per cui x >= -Pi e anche x <= Pi.

Sono a Roma fino a metà mese, e posso usare i miei testi di quando ero studente.
Sul vecchio Picone-Fichera ho trovato qualcosa relativo all'integrale di Riemann, e che interpreto così: è sufficiente che la derivata parziale di f rispetto a t sia continua.
In questo caso, il risultato segue esprimendo la derivata come limite del rapporto incrementale e adoperando i teoremi del valor medio e di Heine-Cantor.

grazie silvio!!! come sempre sei un grande...

mi autori-quoto :D:D perchè ho sbagliato a linkare il file:
il file che ho trovato, con la risposta al mio quesito (che sostanzialmente ricalca quella di Ziosilvio, anche se il teorema non lo conosco :D, ma suppongo che sia la stessa cosa...) è questo:
FILE
(VD la pg 128, paragrafo 8.9)

Hai studiato sul Picone-Fichera? Eheh... gran bel testo.

Il mio grande prof. di matematica, sul finire degli anni cinquanta, seguì analisi a Roma con Gaetano Fichera.
Un giorno l'intoccabile accademico, pure lui di origini siciliane, lo apostrofò in malo modo perché prendeva appunti fumando e senza neppure avere un posacenere.
L'altro, che era nato e morirà ribelle, lo guardò, gli sorrise e avvolgendo il foglio con gli appunti a mo' di cono rispose: "Ecco fatto. Continui pure, adesso ho un posacenere!"

:D

Naturalmente, il prof. ribelle non si laureò più a Roma, ma di lui e della sua temerarietà si continuò a parlare per lungo tempo tra i corridoi dell'università capitolina...

:Prrr:

Sì scusami, mi sono espresso male ma intendevo quello :D
Grazie!

CIaO

forse vi è sfuggito perchè l'ultimo della pagina...qualcuno può aiutarmi? :( :fagiano:

E' un metodo prevalentemente tecnico, non dovresti avere difficoltà a capirlo. Prova a consultare qualche libro più datato, ad esempio lo Zwirner volume II della Cedam. L'impostazione è molto classica e priva di effetti speciali, ma didatticamente molto efficace.

;)

ciao a tutti,
mi serve di capire una cosa per l'esame di calcolo intergale....

l'integrale di una funzione discontinua in un insieme finito di punti in un intervallo, si può calcolare si o no?

non capisco perche prima il professore ci ha detto che la condizione necessaria e sufficiente perche una funzione sia integrabile è che sia uniforme continua nell'intervallo, poi ha detto che per Riemann basta che nell'intervallo sia limitata e può essere discontinua... ho capito bene??

ma poi la definizione di limite e uniforme continuità non sono quasi la stessa cosa? cioè il concetto non è sempre lostesso??

ho un po' di confusione in testa......