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dario fgx 21-01-2007 15:36

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Prova a leggere bene la dimostrazione della regola "diretta"



Poi, quando hai capìto l'idea che c'è sotto, ripetila per dimostrare la formula "inversa".

Curiosità: le funzioni con cui lavori, sono tutte a quadrato integrabile?

eh si è il metodo con cui studio di solito però con questo testo sto avendo numerose difficoltà al causa del fatto che, mentre alcuni testi lasciano all'intuizione diversi passaggi, fornendo poi nel risultato una spiegazione inplicita su come raggiungerlo, questo lascia tutto all'intuizione ed i risultati sono molto poco chiari e, per essere franco, io non ho una mente geniale.
Inoltre non è che si possa dire che io "lavori" con le funzioni, dato che avendo alle spalle solo un esame di analisi uno, adesso non saprei dirti nemmeno che è una funzione a quadrato integrabile! :D
Il mio testo di cristallografia, che mi sta dando tanti grattacapi, propone nelle appendici che mi sto prendendo la briga di studiare delle dimostrazioni matematiche che seppur condotte senza supposizioni o approssimazioni hanno un nonsocchè di "qualitativo" e questa della convoluzione ne è un lampante esempio.


Adesso ti dico come ha condotto la dimostrazione ( non rigorosa secondo me ma intuitiva) il libro.


Sul mio libro dimostra che:

F[f(r)*g(r)]=F[f(r)]xF[g(r)] --1--

Premetto che
S=Integrale;p=pi greco;La trasformata di Fourier di di una funzione f(r) è definita come:
F(r*)=Sf(r)exp[2pi(r* scalare r) dr
il secondo membro di --1-- è scritto cosi':
S''Sf(r)g(u-r)exp[2pi(u scalare r*)dr du
con r ed u che variano rispettivamente in S' ed S''
posto u=r+r' si ha
S''Sf(r)g(r')exp[2pi(r + r') scalare r*]drdr' = =F[f(r)*g(r)]
Poi separa gli integrali in base alle variabili, cio' che dipende da r' in S'' e cio' che dipende da r in S. ed ottiene cosi' il prodotto delle trasformate ora io vorrei lo stesso per
Fh*Fh =F[f(r)xf(r)]
dove Fh*Fh è la convoluzione delle due trasformate
ed chiama Fh=F[f(r)]

dario fgx 21-01-2007 17:45

Per il problema della convoluzione io spero sempre che ci sia qualcuno capace di capire quel che voglio dire ed aiutarmi.Tuttavia ho risolto il problema ad essa legato in un'altro modo ma eccomi ora a proporvi un'altra funzione:
p=pigreco
senNpx\senpx dove N è un valore arbitrario numero intero.
Ora siccome non ho alcune intenzione di farne lo studio il mio libro mi dice che mi basta sapere che se faccio il limite per x che tende ad un numero intero h questo è N o -N a seconda che di come scelgo N ed h (pari o dispari)
col limite mi ritrovo ma nn capisco la questione del pari e dispari a cosa può essere dovuta.N è inoltre massimo relativo e minimo relativo in -N
Mi dice che ci sono tra i massimi principali ci sono N-2 massimi secondari di larghezza 1\N mentre i massimi principali hanno larghezza 2\N.Ora mentre poco mi importa del pari e dispari vorrei capire la questione della larghezza dei massimi .
Per curiosità vi dico che questa funzione nel limite per N-->inf pùò rappresentare un reticolo cristallino essendo stata ricavata da un insieme di N funzioni delta spaziate di un passo fisso a.Quando N tende all'infinito i massimi principali si stringono di meno rispetto a quelli secondari e soprattutto si allungano.Questo si ripete periodicamente ed è con qualche successivo affinamento la base per un modello matematico di reticolo:l'idea è di dire che c'è qualcosa che si ripete periodicamente in uno spazio per il resto vuoto.
Aiutatemi con la uestione dell'ampiezza dei massimi.
Grazie
P.s.:so che in x=h valore intero si ha discontinuità eliminabile

pazuzu970 21-01-2007 20:23

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx
Per il problema della convoluzione io spero sempre che ci sia qualcuno capace di capire quel che voglio dire ed aiutarmi.Tuttavia ho risolto il problema ad essa legato in un'altro modo ma eccomi ora a proporvi un'altra funzione:
p=pigreco
senNpx\senpx dove N è un valore arbitrario numero intero.
Ora siccome non ho alcune intenzione di farne lo studio il mio libro mi dice che mi basta sapere che se faccio il limite per x che tende ad un numero intero h questo è N o -N a seconda che di come scelgo N ed h (pari o dispari)
col limite mi ritrovo ma nn capisco la questione del pari e dispari a cosa può essere dovuta.N è inoltre massimo relativo e minimo relativo in -N
Mi dice che ci sono tra i massimi principali ci sono N-2 massimi secondari di larghezza 1\N mentre i massimi principali hanno larghezza 2\N.Ora mentre poco mi importa del pari e dispari vorrei capire la questione della larghezza dei massimi .
Per curiosità vi dico che questa funzione nel limite per N-->inf pùò rappresentare un reticolo cristallino essendo stata ricavata da un insieme di N funzioni delta spaziate di un passo fisso a.Quando N tende all'infinito i massimi principali si stringono di meno rispetto a quelli secondari e soprattutto si allungano.Questo si ripete periodicamente ed è con qualche successivo affinamento la base per un modello matematico di reticolo:l'idea è di dire che c'è qualcosa che si ripete periodicamente in uno spazio per il resto vuoto.
Aiutatemi con la uestione dell'ampiezza dei massimi.
Grazie
P.s.:so che in x=h valore intero si ha discontinuità eliminabile

Mah... e se per larghezza intendesse semplicemente il valore di tali massimi?

:confused:

dario fgx 21-01-2007 22:05

bhe il valore di questi massimi è proprio N, che dovrebbe essere il valore da dare alla funzione per x-->h intero.
E' importante considerare la larghezza perchè è importante far vedere che questa funzione possa essere una delta di Dirac per n-->inf.
Però è anche vero che io non ho mai sentito di un modo per determinare la larghezza del massimo.Quel che so per certo è che lui x larghezza intende il tratto dx staccato dlla curva sull'asse delle ascisse in prossimità del massimo.Inoltre poi integra la funzione tra -epsilon e + epsilon(precisando che è l'intorno di un max principale) e per N-->inf e dice che l'integrale vale 1 (come una delta).Io questo Signore non lo voglio contestare perchè è un pezzo grosso del CNR e per poco non prendeva il nobel (da quel che ho sentito) per una metodologia risolutiva per certe strutture da lui inventata!

dario fgx 21-01-2007 23:10

si vede invece che s'è sbagliato, forse una svista perchè nn è:
Fh*Fh =F[f(r)xf(r)] ma
Fh*Fh =[f(r)xf(r)]!
Pazzesco!

rdlkino 21-01-2007 23:19

Ciao a tutti, ho bisogno di un aiuto per questo problema..


Dati:
C centro di un fascio di rette proprio;
equazione della retta r, facente parte del fascio proprio;
angolo theta;

Costruire (trovare l'equazione) la retta s facente parte del fascio che
forma con la retta r un angolo pari a theta

Il metodo deve funzionare sempre, per ogni orientazione della retta di
partenza r(il problema grosso è proprio questo...).


Grazie

pazuzu970 21-01-2007 23:34

Quote:

Originariamente inviato da rdlkino
Ciao a tutti, ho bisogno di un aiuto per questo problema..


Dati:
C centro di un fascio di rette proprio;
equazione della retta r, facente parte del fascio proprio;
angolo theta;

Costruire (trovare l'equazione) la retta s facente parte del fascio che
forma con la retta r un angolo pari a theta

Il metodo deve funzionare sempre, per ogni orientazione della retta di
partenza r(il problema grosso è proprio questo...).


Grazie

Se m è il coeffiiente angolare della retta r del fascio, s deve avere coefficiente angolare m' tale che:

(m - m')/(1+mxm') = tg(theta)

Rimane da capire se il fascio di partenza ha per generatrici le parallele agli assi passanti per C (in questo caso si perde la rappresentazione della verticale per C, per la quale m non è definito, e quindi la relazione precedente non può essere utilizzata), o meno.

pazuzu970 21-01-2007 23:36

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx
bhe il valore di questi massimi è proprio N, che dovrebbe essere il valore da dare alla funzione per x-->h intero.
E' importante considerare la larghezza perchè è importante far vedere che questa funzione possa essere una delta di Dirac per n-->inf.
Però è anche vero che io non ho mai sentito di un modo per determinare la larghezza del massimo.Quel che so per certo è che lui x larghezza intende il tratto dx staccato dlla curva sull'asse delle ascisse in prossimità del massimo.Inoltre poi integra la funzione tra -epsilon e + epsilon(precisando che è l'intorno di un max principale) e per N-->inf e dice che l'integrale vale 1 (come una delta).Io questo Signore non lo voglio contestare perchè è un pezzo grosso del CNR e per poco non prendeva il nobel (da quel che ho sentito) per una metodologia risolutiva per certe strutture da lui inventata!


Ho capito... Mi sembra una costruzione coerente, sta a vedere però a cosa portano esattamente i conti...

akasa 22-01-2007 01:06

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx
si vede invece che s'è sbagliato, forse una svista perchè nn è:
Fh*Fh =F[f(r)xf(r)] ma
Fh*Fh =[f(r)xf(r)]!
Pazzesco!

Dovrebbe essere il teorema del prodotto (estratto dal libro):

considerando x(t) e y(t) rispettivamente con trasformata di Fourier X(f) e Y(f) si vuole calcolare la trasformata del prodotto . Questa traformata è espressa da:

Sostituendo a x(t) la sua espressione come integrale di Fourier si ha:

con indicate le due variabili di integrazioni differenti tra cui nu inserita come variabile "muta" per non confonderla con f. Ammettendo che l'inversione dell'ordine di integrazione sia lecita, si ricava:

Si nota che l'integrale tra parentesi quadre corrisponde alla trasformata di Fourier di y(t) per il valore di frequenza pari a (f-nu); si riscrive quindi:


Che dovrebbe essere il risultato di cui hai parlato. Alla fine di tutta sta storia quello che si ricorda è che:


dove con indica la convoluzione (o integrale di convoluzione o prodotto di convoluzione).

Spero che sia quello che ti serviva. Se non hai capito chiedi pure, se non è quello che cercavi ... beh cultura personale che non guasta :D .

Ciao

dario fgx 22-01-2007 07:29

è perfetto!
la dimostrazione è piuttosto semplice non fosse che io non so perchè si possa scrivere una funzione x(t) con la sua espressione come integrale di fourier,Me lo spighereste?
Mi basta sapere il significato, la dimostrazione non mi interessa.

Pensa che ora riesco a motivare perchè un invariante di tripletto ha fase prossima zero!

rdlkino 22-01-2007 08:35

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970
Se m è il coeffiiente angolare della retta r del fascio, s deve avere coefficiente angolare m' tale che:

(m - m')/(1+mxm') = tg(theta)

Rimane da capire se il fascio di partenza ha per generatrici le parallele agli assi passanti per C (in questo caso si perde la rappresentazione della verticale per C, per la quale m non è definito, e quindi la relazione precedente non può essere utilizzata), o meno.


quindi nel caso m tenda a infinito come faccio?

m' data la formula citata potrà mai essere il coefficiente angolare della retta parallela all'asse y?

akasa 22-01-2007 09:47

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx
è perfetto!
la dimostrazione è piuttosto semplice non fosse che io non so perchè si possa scrivere una funzione x(t) con la sua espressione come integrale di fourier,Me lo spighereste?
Mi basta sapere il significato, la dimostrazione non mi interessa.

Pensa che ora riesco a motivare perchè un invariante di tripletto ha fase prossima zero!

non so cosa sia un tripletto ma per quanto riguarda Fourier, molto semplicisticamente, è così e basta :D ... cioè quella è la forma della traformata di Fourier di una funzione per cui passi da x(t)-> X(f), poi c'è anche il passaggio inverso (quindi alla fine si ha traformata e antitrasformata). Per le formule le trovi anche su wikipedia (link ) che al posto di frequenze fa in omega (2*pi*f) ma concettualmente è uguale.
In sostanza in quella dimostrazione serve per arrivare a effettuare il cambio di dominio (dal tempo alle frequenze) di z(t) e quindi arrivare a dimostrare il teorema, rimane vero comunque che dire x(t) o scrivere l'integrale di etc è uguale.
Ciao :)

pazuzu970 22-01-2007 13:53

Quote:

Originariamente inviato da rdlkino
quindi nel caso m tenda a infinito come faccio?

m' data la formula citata potrà mai essere il coefficiente angolare della retta parallela all'asse y?


Vediamo di essere più precisi.

I problemi nascono quando le due rette sono tra loro perpendicolari.

In questo caso, infatti, il denominatore della relazione che ho postato si annulla, e la relazione perde di significato (ti ricordo che quella relazione si ottiene proprio nell'ipotesi che le due rette non siano tra loro perpendicolari). Ciò accade se l'angolo theta è di pi/2.

Puoi rivedere questo, però, come un caso a se stante, ed ammettere che in questo caso la retta s è la retta del fascio perpendicolare alla r - considerazione, peraltro, a cui si giunge per altra via...

rdlkino 22-01-2007 15:33

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970
Vediamo di essere più precisi.

I problemi nascono quando le due rette sono tra loro perpendicolari.

In questo caso, infatti, il denominatore della relazione che ho postato si annulla, e la relazione perde di significato (ti ricordo che quella relazione si ottiene proprio nell'ipotesi che le due rette non siano tra loro perpendicolari). Ciò accade se l'angolo theta è di pi/2.

Puoi rivedere questo, però, come un caso a se stante, ed ammettere che in questo caso la retta s è la retta del fascio perpendicolare alla r - considerazione, peraltro, a cui si giunge per altra via...


Perdona se rompo ancora, ma nel caso in cui m è indefinito e m' sta a 30 gradi dall'altra retta, con la relazione che mi hai suggerito non posso calcolare niente lo stesso...


Spero di aver risolto il mio problema in questa maniera (se mi date conferma sulla correttezza ve ne sarei grato):

1) dato l'm della prima retta r conosco l'angolo alfa che la retta forma con l'asse x ( atan2(-a/b,1) in un bel pò di linguaggi di progr... dove la retta è ax+by+c=0)

2) beta = theta+alfa;

3) gli a,b,c della nuova retta s sono a = sin(beta), b = cos(beta), c = -C.x*sin(beta) - C.y*cos(beta)

dove C è il centro del fascio di rette proprio...

Vi sembra corretta?

vi ringrazio per l'aiuto

nickdc 22-01-2007 16:15

Raga avete qualche link dove possa trovare il "Teorema di caratterizzazione delle basi"?

Ziosilvio 22-01-2007 17:04

Quote:

Originariamente inviato da nickdc
avete qualche link dove possa trovare il "Teorema di caratterizzazione delle basi"?

Dovrebbe essere uno di quelli qui sotto.

Uno: in uno spazio vettoriale V di dimensione N, le seguenti sono equivalenti:
a) S è una base di V;
b) S è costituito da esattamente N elementi linearmente indipendenti;
c) S è un sistema di generatori di V costituito da esattamente N elementi.

Due: in uno spazio vettoriale V di dimensione finita, le seguenti sono equivalenti:
a) S è una base di V;
b) gli elementi di S sono linearmente indipendenti, e per ogni v in V\{S}, gli elementi di S union {v} sono linearmente dipendenti;
c) gli elementi di S generano V, e per ogni w in S, gli elementi di S\{w} non generano V.

In alternativa, prova PlanetMath o MathWorld.

nickdc 22-01-2007 17:24

Grazie zio, mi servirebbe principalmente la dimostrazione, sai dove posso trovarla?

Ziosilvio 22-01-2007 18:06

Quote:

Originariamente inviato da nickdc
mi servirebbe principalmente la dimostrazione, sai dove posso trovarla?

Sul tuo libro di testo.

pazuzu970 22-01-2007 20:07

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Sul tuo libro di testo.

:D

pazuzu970 22-01-2007 20:15

Quote:

Originariamente inviato da rdlkino
Perdona se rompo ancora, ma nel caso in cui m è indefinito e m' sta a 30 gradi dall'altra retta, con la relazione che mi hai suggerito non posso calcolare niente lo stesso...


Spero di aver risolto il mio problema in questa maniera (se mi date conferma sulla correttezza ve ne sarei grato):

1) dato l'm della prima retta r conosco l'angolo alfa che la retta forma con l'asse x ( atan2(-a/b,1) in un bel pò di linguaggi di progr... dove la retta è ax+by+c=0)

2) beta = theta+alfa;

3) gli a,b,c della nuova retta s sono a = sin(beta), b = cos(beta), c = -C.x*sin(beta) - C.y*cos(beta)

dove C è il centro del fascio di rette proprio...

Vi sembra corretta?

vi ringrazio per l'aiuto


Mah... nel caso che proponi la retta s ha equazione:

y - y0 = tg(90 + theta)(x - x0)

essendo x0 ed y0 le coordinate del centro del fascio C.

Comunque se mi dai un po' di tempo vedo se riesco a formalizzare per bene il tutto... Mi guardo pure il tuo risultato, magari va bene anche quello.

Ciao.


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