Serie di funzioni
 

Grazie, ora è chiaro ;)



Ho un altro problema per cui sto "impazzendo", le serie di funzioni, determinare se converge puntualmente, uniformemente .

Ho studiato la teoria ma qualcosa mi sfugge visto che sugli esercizi il libro mi sembra fare "cose a caso" per risolverli.

Vi spiego portando l'esempio di teoria

-Convergenza Puntuale:

Per verificare la convergenza puntuale bisogna prima valutare il suo insieme di convergenza discutendo i valori di x e poi valutare il limite della successione per n->inf (infinito) e non il valore a cui converge la successione

lim(n->inf) Fn(x) = F(x)

Es: la successione x^n converge se x appartiene a (-1,1) [come fa a dire questa cosa?] e converge puntualmente a 0 per ogni x compreso nell'intervallo perchè il limite della successione per n->inf è pari a 0 [boh, sarò fesso io ma facendo il limite della successione x^n per n->inf fa infinito, mica 0...]

-Convergenza uniforme

La successione converge uniformemente se

lim(n->inf) sup | Fn(x) - F(x) | = 0
con sup considerato nell'intervallo di convergenza

Es: Fn(x) = x^n e Fx= 0 quindi lim(n->inf) sup | x^n - 0 | = 1 (con sup considerato tra (-1, 1) e quindi non converge [ a me avevano spiegato che quando si fa il sup o si considera il valore massimo della funzione nell'intervallo scelto se la funzione non è continua, o puoi fare la derivata e trovare il massimo che poi non sarà altro che il sup se la funzione è continua , ma in questo caso cosa ha fatto?]


Grazie

1) convergenza puntuale: come dice il nome, è una forma di convergenza (la più semplice credo) che dipende solamente dal punto in considerazione e non, per esempio, dal comportamento in un intorno di questo punto. Per esempio, se consideri la serie geometrica (che porti come esempio) converge in (-1,1). Lo vedi per esempio applicando la condizione necessaria di convergenza: se una serie converge allora il limite per n->+oo del termine generale deve andare a zero. Quindi nel caso della serie geometrica, il termine n esimo della serie è x^n , il suo limite per n-> +00 può essere infinito se consideri x > 1 (cioè se studi la convergenza puntuale in un punto qualsiasi x maggiore di 1). In modo simile si fa per x <-1.
attenzione però al fatto che confondi la convergenza della successione con la convergenza della serie. Ok che la successione x^n converge a 0 in (-1,1), però la serie x^n non converge a zero in (-1,1). Quello che fai nella serie è il limite per n ->+oo della successione delle somme parziali di una data successione di funzioni, ossia prendi una successione di funzioni Fn , costruisci un'altra successione S definita come : Sn = Somme per i che va da 0 a n di Fn
Sn è una funzione (somme di funzioni ) costituita da una somma con un numero di addendi finito. Mandando n all'infinito si ottiene la serie, che può divergere o meno.

ps ma intendevi successioni di funzioni o serie di funzioni??

Grazie.

Ok, quindi in sostanza l'intervallo di convergenza devo trovarlo io, devo trovare quei valori per cui la funzione si azzera all'infinito, semplice in questo caso mica tanto quando considero funzioni più complesse, ma va be...

Qui intendevo successioni, ma pensavo che trovare la convergenza o meno fosse la stessa cosa:(

Come faccio allora nel caso di serie?

p.s. Per la convergenza uniforme non mi riesci a dare una mano

Grazie

Allora...nel caso di successioni di funzioni, per trovare l'intervallo di convergenza puntuale devi semplicemente fare il limite per n->+oo delle fn e vedere per quali x converge. Quindi nel caso di successioni di funzioni la funzione limite (cioè il limite per n->+oo delle fn) non si richiede che sia nullo nell'insieme di convergenza. Diverso il caso delle serie, in cui condizione necessaria affinché la serie converga in un punto è che il termine generale della serie vada a zero. Intuitivamente puoi immaginare la cosa così. Innanzitutto scegli un certo x0 in cui vuoi verificare la convergenza. Nel caso in cui consideri la convergenza di una successione di funzioni fn(x) verificare la convergenza in x0 è equivalente a considerare la convergenza della successione di numeri reali (se gli elementi della successione sono funzioni a valori in R) fn(x0): nulla vieta che il limite di una successione sia diverso da zero; nel caso di una serie significa controllare la convergenza della successione Sn(x0) = f0(x0)+f1(x0)+f2(x0) +... +fn(x0) . Quindi intuitivamente, se il termine fn(x0) non va a zero per n->+00 avrai una sommatoria in cui un numero infinito di termini sono non nulli, e che quindi diverge. Non è detto però che se fn(x0) va a zero allora la serie converga in x0, ma questa è un'altra storia...

Per la convergenza uniforme dell'esempio: |x^n| è una funzione pari; ha minimo in x = 0 e inoltre è crescente tra 0 e 1. Dunque per la crescenza e la parità il suo sup è il valore che assume sulla frontiera dell'intervallo (-1,1),cioè 1 : nota che non dipende da n . dunque il limite del sup è 1 e non converge unif.

Grazie.
Per la convergenza uniforme ho capito.

Sinceramente per il resto ho ancora qualche dubbio, devo provare a fare qualche esercizio con le nuove nozioni che mi hai dato XD

Purtroppo devo aver fatto qualcosa alle serie di brutto, si sono offese e adesso non si lasciano capire...XD

Ciao a tutti, avrei un problema con la tipologia di esercizio di integrazione complessa che ora illustrerò.
Essenzialmente non so come finire l'esercizio.
Supponiamo di avere il seguente integrale:



quello che faccio è considerare



sapendo che



dove



A questo punto ho il seguente dominio


ed applico il teorema dei residui al dominio in figura



ottenendo



adesso scrivo in maniera estesa l'integrale



pongo nel terzo integrale ottenenendo (solo per il terzo integrale)



ora scrivendo nuovamente x al posto di t ottengo



e quindi riscrivendo l'intera uguaglianza



Ora, per il lemma del cerchio grande e del cerchio piccolo, gli integrali 2 e 4 tendono a zero, facendo così rimanere



A questo punto, supponenendo che abbia svolto tutto correttamente, come si procede?
Grazie anticipatamente a chi avrà la pazienza di leggere e rispondere.

Code e probabilita'.

Un individuo ha un compito "tipo" da svolgere, ripetitivo, da svolgere piu' volte al giorno.
I singoli compiti sono tutti simili tra loro, hanno somiglianze ma anche differenze.

Sappiamo da recenti statistiche che egli terminera' un compito con la seguente distribuzione:
Il 15% delle volte lo termina entro 20 minuti
il 60% delle volte lo termina tra 20 e 40 minuti.
il 25% delle volte lo termina tra 40 e 60 minuti
Non e' mai andato sopra un'ora.

Domanda: Quale e' la distribuzione per 2 compiti? Ovvero, quanto e' l'attesa se invece che 1 deve svolgere 2 compiti consecutivi?
E fin qui mi sembra facile.
Costruisco la distribuzione moltiplicando per se stessa la distribuzione originale.
Ovvero sommo membro a membro sia i minuti che le percentuali e poi alla fine normalizzo.
(20,15) + (20,15) = (40,30)
(20,15) + (40,60) = (60,75)
(20,15) + (60,25) = (80,40)
(40,60) + (20,15) = (60,75)
...
(60,25) + (60,25) = (120,50)

poi raggruppo a pari minuti e ottengo
(40,30) => 40 minuti 5%
(60,150) => 60 minuti 25%
(80,200) => 80 minuti 33.3333%
(100,170) => 100 minuti 28.3333%
(120,50) => 120 minuti 8.3333%

Che mi sembra plausibile (o no?)

E queste due come le risolvo?
- Quale e' la distribuzione per 2 compiti e 2 persone che lavorano contemporaneamente?
(E' forse equivalente a considerare 1 persona e 1 solo compito? Ovvero la distribuzione originale?)

- Considerando che un compito e' atomico, ovvero che non si puo' spaccare in piu' parti ed assegnarlo a piu' persone, quale e' la distribuzione per 6 compiti e 4 persone che lavorano contemporaneamente?
E' forse equivalente a considerare 4 persone con 4 compiti (ovvero 1 persona con 1 compito se sopra e' giusto) + 2 persone con 2 compiti (ovvero 1 persona con 1 compito se sopra e' sempre giusto)?
Ovvero e' forse equivalente a 1 persona con 2 compiti ottenendo quindi il risultato del calcolo precedente? Mi sa di no.

Non so perche' ma sto sognando esponenti non interi per moltiplicazioni di distribuzioni.

PS: NON E' UN COMPITO.
Mi servirebbe per lavoro, e sono un ingegnere e di teoria dei sistemi discreti non ricordo una ceppa, oltre ad avere preso 24.

Ti consiglio di operare fin da subito la sostituzione:



per ottenere



Il corrispondente integrale indefinito non è di difficile soluzione se si usano le tecniche risolutive degli integrali di funzioni razionali e si tiene presente che si può scrivere

.

Ad ogni modo, da questa espressione è facile ricavare i 4 poli semplici di



e fra questi non c'è lo zero per cui applicando il teorema dei residui lungo il contorno C del semicerchio di raggio R sopra l'asse delle ascisse si ottiene



che poi è il risultato cercato (per R che tende all'infinito l'integrale lungo la curva si annulla).

Vista l'ora e considerato che sono un po' arruginito in queste cose, spero di non aver sbagliato.

Grazie per la risposta KuroNeko, non ci avevo pensato in effetti.
Ora dovrei vedere se il professore accetta questo tipo di procedimento o no, negli appunti e sul libro, gli integrali complessi, sono risolti diversamente.
Grazie ancora.

Come di dimostra questa (banalita')?

Con la regola (a+b)*(a-b) = a*a - b*b.
Infatti, in ogni caso, . Se x<<0, allora il secondo membro è molto vicino a 1.

Si può partire dallo sviluppo in serie di Taylor:



ipotizzando .

Operando la sostituzione e notando che se allora si ricava



da cui approssimando al primo ordine si ottiene per

.

Butterfly catastrophe
 

Salve :)
Volevo sapere che caratteristiche ha la curva Butterfly catastrophe di equazione:

13824 * a ^ 5 * x ^ 2 + 4096 * a ^ 4 * y ^ 3 - 86400 * a ^ 3 * x ^ 2 * y - 24576 * a ^ 2 * y ^ 4 + 144000 * a * x ^ 2 * y ^ 2 + 84375 * x ^ 4 + 36864 * y ^ 5 = 0

per un dato a

Mi pare che ha un sacco di cuspidi e cappi....
perchè si chiama 'catastrophe'?
da che differisce dalle altre quintiche?

Help me, please

Butterfly catastrophe
 

Salve :)
Volevo sapere che caratteristiche ha la curva Butterfly catastrophe di equazione:

13824 * a ^ 5 * x ^ 2 + 4096 * a ^ 4 * y ^ 3 - 86400 * a ^ 3 * x ^ 2 * y - 24576 * a ^ 2 * y ^ 4 + 144000 * a * x ^ 2 * y ^ 2 + 84375 * x ^ 4 + 36864 * y ^ 5 = 0

per un dato a

Mi pare che ha un sacco di cuspidi e cappi....
perchè si chiama 'catastrophe'?
da che differisce dalle altre quintiche?

Help me, please
01-10-2011 15:14

[edit]

Calcolare la matrice inversa è una cosa banale e il procedimento senza troppi fronzoli lo trovi qui
http://www.ripmat.it/mate/a/aj/ajdf.html

Se vuoi un po' di teoria a corredo
http://calvino.polito.it/~adiscala/d...i/LeLing10.pdf

Il teorema di LaPlace forse lo usi per trovare il determinante, ma non è niente di che neanche questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Laplace

Salve, come si fa il limite di questa funzione



per x->0,

riconducendola a questo limite notevole?


per x->0?

Grazie a chi avrà voglia!

Ciao a tutti,

esiste un algoritmo/regola/procedimento per determinare la disgiunzione di 2 formule logiche?

Grazie

Ma aggiungere e togliere 1 sopra e sotto, e poi dividere per x sopra e sotto, è tanto complicato? :confused:

Detta così, è troppo vaga.
La disgiunzione semplice ovviamente si può sempre fare. Ma vuoi anche, ad esempio, la forma normale disgiuntiva?