Una cosa un po' di piu' semplice lettura...

http://online.physics.uiuc.edu/cours...560Notes-2.pdf

pagina 8, rettangolo in fondo, perche' sostituisce mu con Ef nella derivata di g?

Grazie

Ragazzi avrei un dubbio su un esercizio che dice

Determinare il dominio e rappresentarlo della funzione
http://latex.codecogs.com/gif.latex?arctg(y/x)

Verificare che sia continua


Allora io per il dominio,siccome l'arcotangente dovrebbe essere definita in tutto R,ho posto solo x diverso da 0
quindi nella rappresentazione del dominio escludo solo l'asse y


riguardo la continuità ho negato che lo fosse in quanto calcolandomi

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=\frac{\pi}{2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...-\frac{\pi}{2}

Poi mi sono calcolato il limite nel punto (0,0)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0,0}arctg(y/x)

Il quale,quando lo considero sulla retta y=mx, mi viene dipendente da m.

Vi chiedo scusa se non mi visualizza le immagini ma non ho capito perchè non lo fa...spero di esser stato il piu esaustivo possibile...purtroppo sono un po preso dall'ansia a causa degli esami imminenti...
Se ho mancato qualcosa o fatto un errore sono felice di rivederlo dato che non sono molto sicuro del ragionamento fatto...

perchè l'errore commesso nel valutare g' in corrispondenza dell'energia di fermi invece che per il valore del potenziale chimico per T > 0 è un errore dell'ordine di T^2, che viene trascurato nel calcolo. scritto non a parole ma a formule varrebbe :
g'(mu) = g'(ef + (mu - ef) ) = g'(ef) + g''(ef) m(u-ef) + O((mu-ef)^2)
questa formula è arrestata all'ordine 1 dello sviluppo in mu -ef; ma sappiamo (leggendo dalla pagina) che mu - ef è un O(T^2)
perciò tale termine aggiuntivo non deve essere considerato (dato che nello sviluppo vengono trascurati termini dello stesso ordine) , detto in altri termini l'O grande si mangia gli infinitesimi di ordine maggiore o uguale al suo

giusto così...in realtà per essere pignoli dovresti dire anche che nelle zone non incriminate la funzione è continua

Un paio di domande
 

Riguardo al primo, ho provato a sommare 2^x + 3^y + (2^x -3^y) = a+1

cosi' risulta 2^2x=a+1
e quindi ne deduco che la soluzione sia a>-1
però è sbagliato. più che altro, non è abbastanza preciso direi visto che la soluzione dovrebbe essere a>1..
Cosa c'è di sbagliato nel mio modo di procedere?
(ho trovato la correzione su un sito ma non capisco dove sbaglio io)


thanks..

ti ringrazio....sei stato gentilissimo....

Cerco di essere il più preciso e dettagliato possibile in quanto può diventare un possibile argomento su cui verrò interrogato per l'orale che dovrò sostenere...

quindi dopo aver fatto quei ragionamenti posso concludere che nel suo insieme di definizione la funzione è ovviamente continua...giusto? :D

non lo so, ma in ogni caso a non può essere negativo perché:
2^x + 3^y > 0
2^x + 3^y = a (come da ipotesi)
ne consegue che a > 0

io mi sto chiedendo invece perché a non possa valere, che so, 1/2

se a fosse uguale a un mezzo a quel punto il sistema sarebbe impossibile (si vede sottraendo le 2 equazioni del sistema, si ottiene un'equazione in cui il primo membro è una funzione esponenziale e a destra si trova -1/2)

2^x + 3^y = a 2^x = ( a+1)/2
2^x - 3^y = 1 è equiv a 3^y = (a-1)/2

e il sistema ammette soluzioni se e solo se entrambi i secondi membri sono strettamente positivi (se fossero uguali a zero dovrebbe essere x o y uguali a meno infinito )
perciò deve essere a > 1

hai ragione, mi sa che l'errore sta nel considerare solo una delle due ipotesi.

comunque, ieri ho iniziato a vedere le esponenziali e i logaritmi, e siccome il libro che sto usando non dà tutte le soluzioni agli esercizi... è giusto?

semplificare la seguente espressione:

ho risolto così:

ma tra le opzioni c'è a>1 o a>=1 quindi non basta questo ragionamento.
su un sito ho trovato questa soluzione:
-----------------------------------------------
Basta sostituire i due membri
2x + 3y = a; 2x - 3y = 1
Ricavo 2x dalla seconda disequazione e la sostituisco nella prima: 2x = 1 + 3y
Ora sostituisco nella prima equazione: (1 + 3y) + 3y = a
Raccogliendo 3y: 2*3y = a - 1
Siccome il primo membro è sempre positivo (basta vedere il grafico dell'esponenziale per accorgersene), allora anche il secono membro deve essere positvo: 2*3y > o => a - 1 > 0 ; a > 1
--------------------------------------------

se a = 1
sostituendo in 3^y = (a-1)/2

abbiamo 3^y = 0, impossibile.

poni 2^x=X e 3^y=Y, da cui:
X+Y=a
X-Y=1 allora,

X=(a+1)/2 e Y=(a-1)/2 quindi,
2^x=(a+1)/2 e 3^y=(a-1)/2 cioè
x=log(base2)(a+1)/2 e y=log(base3)(a-1)/2.
Essendo logx definito per x>0 dovrà assere:
a+1>0 & a-1>0 cioè a>1.

Per il secondo basta applicare Bernoulli con p e q=1/2
P=(p+q)^6 e prendere il termine con p^4 cioè 15p^4q^2:
15(1/2)^4(1/2)^2=15/64

ciao, ma quando tu calcoli i due limiti in 0+ e 0- non lo stai facendo vicino allo 0 ma agli estremi del dominio perchè la y può assumere valori diversi da 0.
Considera solo la funzione y/x perchè tanto artg è continua in tutto R.
Quando poni y=mx attenzione al fatto che z=mx/x e, semplificando le x, z=m, sono diverse! Ossia sono uguali in tutto R tranne 0. la prima presenta una discontinuità artificiale in 0. Quindi y/x ha una discontinuità artificiale in 0, etc..
Spero di essere stato chiaro

Ciao grazie per la risposta...

Io quando faccio questi limiti lo faccio verificare cosa accade lungo l'asse y
poi successivamente vado a calcolare il limite in (0,0) per vedere anche li cosa accade

Siccome dai miei risultati mi trovo che ho
1.lungo l'asse due limiti con valori diversi per 0 da destra e da sinistra
2.In 0,0 addirittura il limite non è proprio definito

in base a ciò concludo che non è continua

è giusto?

riguardo a questo discorso non mi è chiaro molto il fatto della discontinuità artificiale in quanto al corso non abbiamo parlato di discontinuità ma ci è stata data solo una condizione sufficiente per determinare l'esistenza del limite ovvero che se dipende da m allora non esiste mentre se è 0 allora non si può concludere nulla...

Ti ringrazio ancora per la risposta

Si, certo tutto giusto.
Il fatto è che questo tipo di funzioni andrebbero studiate in forma parametrica.
Prova a visualizzarla; per es, se poni x=Rcos(t), y=Rsin(t) allora y/x=tg(t) e quindi z=arctg(tg(t))=t per t in ]-pi/2.pi/2[. (Nota che con R che assume anche valori negativi non ci sono più discontinuità) In pratica la superficie è formata da rette (generatrici) parellele al piano xy e incidenti all'asse z cioè è un conoide retto. Puoi fartene un'idea facendo ruotare una penna di un giro completo e contemporaneamente spostandola verso l'alto. Vicino a (0,0) trovi più valori perchè la funzione stessa ha più valori. Quindi, quando ti avvicini a (0,0) da una direzione che forma un angolo t con l'asse x il punto rappresentativo si avvicina all'asse z su una retta parallela ad altezza t ma arrivati in (0,0) c'è un "buco". la funzione è anche discontinua in (0,0) ma in modo diverso perchè non "salta". Si potrebbe ridefinire il valore di f in (0,0) con il valore del limite eliminando così la discontinuità.
ciao.

non capisco...in che senso è possibile ridefinire la funzione in (0,0) con continuità? magari sbaglio io, ma (come dice anche giustamente B-jo) in (0,0) non esiste poprio non tanto perchè sia una discontinuità eliminabile (credo che eliminabile e artificiale siano due sinonimi) ma perchè proprio non esiste il limite (il limite non è unico poichè dipende dal modo in cui mi avvicino al punto incriminato-> non esiste il limite).
p.s. perchè R dovrebbe assumere valori negativi? :stordita:

Giusto, è eliminabile. le def sono diverse: è eliminabile se f converge in x ma non è definita in x; è artificiale se f converge ed è definita in x ma il valore in x è diverso dal limite. Per r che assume valori negativi intendevo che la posizione x=rcos(t), y=rsin(t) era una parametrizzazione con r in ]-inf,inf[ e t in ]-pi/2,pi/2[ e non una trasformazione a coordinate cilindriche. Con questa parametrizzazione f diventa z=arctg((rsin(t)/rcos(t))=arctg(tg(t)) ossia z=t per r diverso da 0. Se taglio la f con piani z=a ottengo delle rette:
x=rcos(a), y=rsin(a), z=a che per r->0 sia da destra che da sinistra z->a ma in 0 la f non è definita. Potrei completare la f ponendo z=a anche per r=0. In (0,0) assumerebbe più valori come le funzioni non iniettive. Daltronde una superficie a cui appartiene una retta verticale assume valori diversi a seconda di come raggiungo i punti sulla retta.

Aggiunta:
Dire che il limite in un punto non è unico non significa che non esiste ma, appunto, che ne esistono più di uno e questo non significa che f non esiste in quel punto ma che non converge. Però se f presenta dei tratti verticali in x1 in un sistema di coordinate apparentemente sembra non convergere in x1 (anche se in questo caso non è per def una funzione). Una funzione non ammette limite quando oscilla indefinitamente nell'intorno di un punto tipo y=sin(1/x) per x->0

non esiste solo quel caso ... ci sono tantissimi esempi di funzioni (soprattutto in 2 variabili o più) in cui per studiare l'esistenza del limite si studia il limite della funzione lungo rette passanti per il punto in esame e avvicinandosi. Se il limite esiste su ogni retta ed è lo stesso per ogni possibile retta del fascio con "centro" il punto in questione è cosa buona (ma non implica l'esistenza del limite), se invece il limite dipende dal coefficiente angolare della retta allora si può dire (non perchè lo dico io, ma perchè è un teorema di analisi) che il limite non esiste in quel punto http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema...%A0_del_limite
attendo replica :D

Il limite se esiste è necessariamente unico (negli spazi metrici).
Quindi i due devono coincidere, altrimenti non ha limite...