La definizione e' precisa : x0 e' un minimo locale se esiste un intorno di x0 tale che per ogni x : f(x) >= f(x0). Quindi stando alla definizione non si puo' parlare di minimo o massimo (locale) per il punto x=1 se consideri l'intervallo (-3,1]. Se per esempio avessi considerato l'intervallo (-3,2] che e' sempre un intervallo limitato, allora in questo caso si puo' vedere se f ha un massimo o minimo in x=1.

Se l'argomento del logaritmo è maggiore di zero e quindi i denominatori sono diversi da zero la funzione è continua, utilizza il teorema dell'esistenza degli zeri per le funzioni continue. Sposta tutto a sinistra eguagliando a zero. Guarda se ti viene qualcosa con questo metodo in C++, non l'ho provato e quindi non so se funziona. Altrimenti l'algoritmo generale lo trovi su Google. In pratica trova due punti per cui f(a)f(b)<0, ovvero un estremo è negativo e uno positivo, quindi la funzione passa per l'asse delle x. Dimezzi l'intervallo e prendi in considerazione quello in cui si verifica nuovamente la condizione f(x1)(fx2)<0 e così via, ti avvicini sempre di più alla soluzione:
Ah, oppure scrivi la funzione qui e te la risolve wolfram :asd: alpha
Vuoi dire che l'intorno deve essere sferico? E la funzione deve esservi completamente definita?

Beh l'intorno non dev'essere necessariamente sferico (anche se per semplicita' negli spazi metrici si prendono sempre intorni sferici).
E poi la funzione dev'essere ovviamente definita non solo in x0 ma anche in un suo intorno, altrimenti la definizione non ha alcun senso ti pare ? :stordita:

ciao,
l'unico caso in cui mi pare di aver capito :stordita: dove un insieme A non ammette maggiorante o minorante è un insieme illimitato come ad esempio A=(-oo, +oo) o sbaglio?

Negli altri casi invece come:
A1=(3, 5)
A2=[3, 5)
A3=(3, 5]
A4=[3, 5]
sono tutti insiemi limitati superiormente ed inferiormente ma in A1 ad esempio, se non ho capito male un suo minorante è 3 in quanto non vi appartiene, idem per il suo maggiorante. Nel caso di A2 un suo minorante è 2 ma non 3 in quanto pur essendo il più piccolo elemento in A2 vi appartiene.

Spero di non aver detto castronate in quanto invece tu mi dicevi che può appartenere.

Ok. Non ho voglia di leggere quindi ti dico: :asd:
A1, 3 e 5 sono rispettivamente minorante e maggiorante. 3 è il maggiore dei minoranti quindi è anche estremo inferiore. 5 è il minore dei maggioranti ed è anche estremo superiore. L'insieme non ha ne massimo ne minimo, in quanto la frontiera, 3 e 5, non è compresa nell'insieme, quindi il massimo e minimo non possono coincidere con maggiorante e minorante.
A2, In questo caso il 3 come sopra è un minorante, ed anche il maggiore dei minoranti quindi estremo inferiore. Esso è anche il minimo dell'insieme quindi in questo caso minA=infA=un minorante di A. Per il punto cinque vale quanto detto sopra.
A3, Vale il contrario dell'insieme A2, in questo caso 3 non è un punto di minimo e 5 è un punto di massimo.
A4, Vale per 3 e 5 quanto detto di 3 nell'insieme A2.
Ricordati della definizione di minimo e massimo. Deve appartenere all'insieme ed essere maggiore o uguale (minore o uguale) a ogni punto dell'insieme. O meglio deve esistere un intorno U di x0 tale che f(x)(disuguaglianza)f(x0) per ogni x appartenete al dominio intersecato l'intorno (quando vale la stretta disuguaglianza il punto x0 deve essere escluso dall'intorno in quanto capiterà una volta che f(x)=f(x0) mentre la definizione dice f(x)< (>) f(x0)).

A pagina 154 di Analisi Matematica 1 del Pagani Salsa fa un esempio di massimi e di minimi. Infatti i punti a e x1 della funzione f(a) sono punti di minimo pur essendolo in un intorno destro [a, a+r) e sinistro (a-r, a], dove la funzione è definita a destra e a sinistra degli intorni sferici (a-r, a+r) sulla frontiera dell'immagine(edit, del dominio).

ciao,
quindi avere (3,... parentesi tonda oppure [3,.... parentesi quadra, tale numero è sempre il maggiore dei minoranti ed esiste sempre sia che sia compreso o meno :stordita:

Ok, ma come vedi si tratta di casi "patologici" ed infatti si deve parlare di minimo locale debole e minimo locale forte.

Esattamente. Massimo e minimo devono appartenere all'insieme. Maggioranti e minoranti invece in generale sono esterni all'insieme, tranne quando massimo e minimo esistono, in tal caso corrispondono agli estremi. Ti dico questo in generale, non so se ci sono casi oltre la porta che non ho mai visto :asd:
Minimo locale forte o debole non sono casi patologici :asd: Seguono dalla definizione con disuguaglianza o stretta disuguaglianza, sono le due condizioni generali. Si tratta di minimo locale forte per gli estremi della funzione f(a) perché vale il segno di stretta disuguaglianza. E nota, se prendi la restrizione della funzione in [-1,1] applichi il teorema di Weierstrass esso impone l'esistenza del massimo e del minimo.

ciao,
teorema di unicità del limite.

una successione convergente non può avere due limiti distinti.
supponiamo per assurdo che a e b siano i limiti della successione {an} con a≠b.
Poniamo ε = |a-b|/2. Esistono v1 e v2 tali che |an–a| < ε per ogni n > v1 e |an – b| < ε per ogni n > v.

Siccome ho una mentalità da praticone mi sono detto: se pongo a=5 e b=10 posso calcolare ε = |a-b|/2 = |5-10|/2 = 5/2

Ora il teorema dice: esistono v1 e v2 tali che |an–a| < ε per ogni n > v1 e |an– b| < ε per ogni n > v e poi Sia v il max(v1, v2), allora per ogni n > v si ha per la disuguaglianza triangolare (|x1 + x2| ≤ |x1| + |x2|):
|a – b| = |(a – an) + (an– b)| ≤
≤ |a – an| + |an– b| =
= |an– a| + |an– b| < ε + ε = |a – b|
Abbiamo trovato che |a – b| < |a – b| il che è assurdo.

che vuol dire?

:rotfl: Io questo teorema non lo avevo capito, ora che ho notato la disuguaglianza triangolare è chiaro. Diciamo che per la definizione di limite delle successioni convergenti, deve valere |an-l|<ε, ovvero an<+-ε ovvero l-ε < an < l+ε da un certo valore di v(appartenente a N) in poi. Quindi per ogni n>v, dimmi se ci sei perché devi avere ben chiara la definizione. Ora, ho due limiti per an, quindi seguono due definizioni: |an-l1|<ε da un certo valore di v1(appartenente a N) in poi e |an-l2|<ε da un certo valore di v2(appartenente a N) in poi. Ora, immagina di disegnare le due successioni in un grafico. Sarai in grado di trovare un v da sostituire nelle definizioni precedenti tale che esse valgano entrambe. Questo può essere il max{v1, v2} ovvero il maggiore fra i due. I passaggi intermedi mi sembrano chiari. Il teorema arriva ad un assurdo partendo dalla presupposizione che esistano due limiti distinti tali che, come dice la proposizione, esistono v1 e v2 tali che |an–a| < ε per ogni n > v1 e |an– b| < ε per ogni n > v2. L'unico punto che mi si chiarisce sul momento è ε + ε = |a – b|, sono certo che lo capirai da solo (ah ecco, hai posto ε = |a-b|/2) :asd:
Io comunque ho studiato una diversa dimostrazione, non per assurdo.

purtroppo per la dimostrazione di questi teoremi serve a poco tentare di inserire valori numerici come hai fatto te, sono ragionamenti abbastanza astratti. Il succo della dimostrazione è che ipotizzando l'esistenza di 2 limiti di una successione distinti, definitivamente dovrà essere |a-an|+|an-b| < 2epsilon = |b-a| e deve valere la disuguaglianza |b-a|<|b-an|+|a-an| (proprietà generale degli spazi metrici/normati/a prodotto interno)
ma |b-a| non può essere minore di se stesso e si giunge a un assurdo

medito

Trasformata di Fourier, funzione porta
 

Salve a tutti, è il mio primo post su questo forum anche se in passato ho già avuto modo di usufruire di utili consigli trovati qui.
Innanzi tutto mi scuso per il doppio post (l'altro sta qui http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=2310633, se qualche admin volesse cancellarlo...), questo dovrebbe insegnarmi a leggere i regolamenti prima... :rolleyes:
Ad ogni modo: devo calcolare la trasformata di Fourier della funzione (porta di ampiezza 2 nella variabile 2t-1).
Istintivamente ho proceduto così raccogliendo il 2: per poi calcolare la trasformata di questa funzione applicando le proprietà di riscalamento prima e traslazione poi. Il risultato è stato Eppure è sbagliato!
Sul mio libro di testo infatti viene svolto in maniera differente, che mi ha lasciato alquanto perplesso. Praticamente il riscalamento è stato applicato subito, senza raccogliere il 2 nella funzione iniziale, per poi calcolare la trasformata della funzione risultante: Il risultato finale, che so essere corretto in seguito a una verifica di altra natura, diventa perciò Ora mi chiedo (anzi vi chiedo): è lecita tale operazione di riscalamento? Avrei giurato di dover prima raccogliere il 2 e pormi in una situazione del tipo Se riusciste a levarmi questo dubbio, ve ne sarei molto grato! :muro:

ciao,
una domanda sul concetto di limite di una successione, a volte sia ha sensazione di aver capito e magari non si è capito un tubo :stordita:

A parole mie: dire che L è un limite per la successione an significa dire che preso un ε piccolo a piacere la disuguaglianza |an - L| < ε è vera definitivamente per ogni ε e se è vera definitivamente allora L è il limite della successione an?

In altre parole: fissa un ε e se |an - L| < ε è vera definitivamente L è il limite della tua successione.

Non dire sempre vera, di vera definitivamente, ovvero da un certo v in poi. Infatti prima di giungerci la successione può anche oscillare vistosamente. Inoltre epsilon è piccolo. Anche |an-L|<ε => an-L<+-ε => -ε<an-L<ε =>L-ε<an<L+ε.

ciao,
grazie 1000 ho corretto.
Quindi tutti gli altri teoremi come ad esempio quello della permanenza del segno si basa sullo stesso principio e cioè da un certo n in poi risulta vero che i termini della successione sono positivi sempre testando la condizione |an - L| < ε ?

Positivi ma anche negativi. Dipende dal segno del limite. Quello poi è un teorema che dimostra rigorosamente un principio molto intuitivo, quindi niente di che...

ciao,
allora in questo caso non ho intuito matematico :fagiano:

Teorema della permanenza del segno, da wikipedia:

Se a è finito, basta prendere ε=a/2 nella definizione di limite: esiste quindi un N tale che an è nell'intervallo (a − a/2, a + a/2) per ogni n > N; poiché a − a/2 > 0, allora an > 0 per ogni n > N.


Se ti dico che non mi è chiaro puoi crederci.

una successione an converge a un limite finito a >0 allora definitivamente an è una serie a termini positivi
dimostrazione: poichè la serie converge, per ogni epsilon maggiore di zero esiste un indice N per cui per ogni n > N vale |an-a|< epsilon
scegliamo epsilon = a/2, allora esisterà perciò un N per cui per ogni n>N |an-a|< epsilon = a/2
ciò implica che -a/2+a < an < a/2 +a
il membro a destra è positivo, il membro a sinistra anche poichè è pari ad a/2 e a è positivo per ipotesi; dunque definitivamente è an positiva