Lo pagano! :sofico:

Ciò comunque non toglie che sia un genio lo stesso!

:ciapet:

Quindi ha funzionato?

Belle!

Magari più tardi scrivo come calcolare l'ordine di un polo... o l'ho già scritto in un altro post, boh...

Come si sta in Islanda in questi giorni?

:p

Benino, grazie: si mangia un sacco di pesce e un bel po' di carote.
Però sono un po' di giorni che c'è un nebbione che impedisce di vedere quel po' di sole che c'è... :(

I miei appunti sono più famosi :Prrr: :Prrr: :sofico:
Ovviamente scherzo, grazie del link...proprio in questo periodo mi sta tornado utile un pò di analisi complessa, mi fa bene una rinfrescatina.... :)

Bene!

Un giorno o l'altro ci si trova sull'isola!

;)

domanda stupida: minimo comune multiplo
 

non ho capito come mai il m.c.m si possa calcolare fra due numeri interi e razionali, ma non fra due irrazionali

allora
data la definizione di m.c.m. tra due numeri (più piccolo numero multiplo di entrambi), si ha che il m.c.m. si calcola come prodotto di tutti i fattori comuni e non, presi una sola volta col max esponente:



m.c.m.(3, 8)=3x8=24
dato che, in scomposizione in fattori primi, 3=3; 8=2^3

m.c.m.(9, 56)=56
dato che 9=3^2; 56=2^3x3^2



m.c.m.(4/5, 3/14)=1/70 x m.c.m.(56, 3)=56/70




teoricamente, non dovrebbe poi essere m.c.m.(36pi, e)=36 x pi x e :confused:

forse c'è qualcosa che mi sfugge nella definizione di minimo comune multiplo

edit:
il m.c.m. di due numeri è il più piccolo numero intero multiplo di entrambi
questo spiega perchè l'ultimo esempio è scorretto

comunque mi sfugge ancora una cosa: perchè diciamo che due grandezze sono incommensurabili se il loro m.c.m. non è definibile - e quindi 0- (ovvero, se sono prime fra loro), quando invece un multiplo comune si può sempre trovare (magari non intero, ma c'è)?
Ed inoltre: due numeri irrazionali sono allora sempre primi fra loro :confused:

Premettiamo anzitutto che il mcm è legato a doppio filo al massimo comun divisore dalla relazione a*b = mcm(a,b)*mcd(a,b).

Detto ciò, osserviamo che ha senso calcolare il mcd in un anello euclideo, ossia in
- un insieme R dotato di somma e prodotto "come negli interi", in cui
- è possibile definire una valutazione, ossia una funzione v : R\{0} --> {1,2,...} tale che
1) per ogni a e b non nulli risulta v(a), v(b) <= v(ab), e
2) per ogni a e b con b<>0 esistono q, r tali che a = q*b+r con v(r)<v(b).

Ora, un anello euclideo è sempre un dominio a fattorizzazione unica, ossia ogni elemento non nullo è prodotto di elementi primi ed elementi invertibili a meno dell'ordine e del numero di questi ultimi.
Invece, non solo i reali, ma anche alcune estensioni irrazionali dell'anello degli interi si guardano bene dall'avere fattorizzazione unica: se per esempio R è il più piccolo anello che contiene gli interi e sqrt(-5), la radice quadrata di -5, allora 6 = 2*3 = (1-sqrt(-5))*(1+sqrt(-5)) sono due fattorizzazioni distinte del numero 6 in elementi primi.

Di fatto, puoi ancora definire il minimo comune multiplo di due reali positivi a,b come il più piccolo c tale che c=a*x=b*y per qualche x e y maggiori o uguali a 1: ma vedi da te che si tratta semplicemente del loro massimo.

:D :D :D

Ciao...! potreste dare un occhiata a questo esercizio?


Dimostrare che la derivata rispetto ad x della funzione a(elevato x) dove a è un numero reale positivo diverso da 1 è a(elevatox)log(a).

Calcolare la derivata della funzione sen 2x rispetto alla variabile x ricorrendo alla definizione di derivata di funzione.



Ciao e grazie in anticipo!






p.s.
Scusate la facilità di questo esercizio :muro: ma sono alle prime armi con le derivate!!

raga non riesco a risolvere questo limite


ho provato con la fattorizzazione interna ma non ne cavo niente..
quello di fianco è il risultato calcolato con derive.

una domanda, premesso che non uso derive, che cos'è quel virgola 2 all'interno della parentesi? :confused:

1) Scriviamo il rapporto incrementale della funzione esponenziale elementare nel generico punto x relativo al generico incremento h (non nullo):

R(x,h) = [a^(x+h)-a^x]/h = a^x(a^h - 1)/h

passando al limite per h che tende a zero, ricordando che la quantità in parentesi tende a lga, si trova l'asserto.

2) Con procedimento analogo, ma utilizzando le formule di prostaferesi relative alla differenza di due seni, si trova:

R(x,h) = [sen2(x+h) - sen2x]/h = [2cos((2(x+h)+2x)/2)sen(2h)/2]/h = 2cos(2x+h)(senh)/h

e semplificando e passando al limite per h che tende a zero si trova 2cos2x, che è la derivata richiesta.

Osserva che entrambe le funzioni date sono ovunque derivabili nel loro dominio, cioè in R.

In maniera molto poco elegante: secondo i teoremi sui limiti dei logaritmi (dai un'occhiata sul tuo libro o su internet, io sono un pò arruginito) in questo caso il limite del logaritmo è il logaritmo del limite...quindi applichi de l'Hospital (o de L'Hopital che dir si voglia) e vien fuori il logaritmo in base 2 di 6 che è proprio il risultato che ti ha restituito derive ;) Almeno credo sia così :stordita:

è la base del logaritmo.

Colgo il suggerimento di 8310 sul significato del virgola 2.

:D

Razionalizzando si trova subito che il limite è log6 in base 2; mutandolo in base e si ottiene (lg2+lg3)/lg2, che equivale al risultato da te postato.

P.S.: evitate de l'Hospital, please!, se non quando sia davvero strettamente necessario.

Cavolo è vero...era la cosa più immediata e subito a pensare a De l'Hospital...evvabbè và :D

@8310

Carina la tua firma. E' di tua invenzione?

Hai mai letto il racconto di Asimov "L'utima domanda"? Se non lo hai letto, leggilo!

Anche il mio prof di analisi lo diceva..Come mai? Se sono rispettate tutte le ipotesi è un teorema che abbastanza "potente" mi pare :)

Grazie 1000 !!

sarebbe log in base 2.. lo vuole messe li derive.. :)

grazie a tutti razionalizzando dentro mi era appunto venuto log in base 2 di 6..
ma essendo che la mia calcolatrice non fà o non riesco log in base diversa da 10 non riuscivo a capire che i due risultati erano uguali..
ancora adesso non riesco a capire ln3/ln2 +1 = log in base di 6..come mai?

sfrutta le proprietà dei logaritmi
logX in base y = log(X)/log(Y)
quindi
log(3)/log(2)=log(3)in base 2
essendo 1 log(2) in base 2 e la somma di logaritmi con la stessa base un logaritmo con la stessa base e il prodotto tra gli argomenti ottieni il tuo risultato

scusa quindi ln3/ln2 +1 uguale a log(3) base 2 + 1
e da qui ad arrivare log(6) base 2 non riesco a capirlo? :cry:

1=log2(base2)
log2(base2)+log3(base2)=log(2*3)base2
(la somma di logaritmi con la stessa base equivale a un log con la stessa base e il prodotto degli argomenti)

continuo a non riuscire a capire... :mc: avrò la testa di coccio :p

il risultato che mi viene è Log 6(base2)

il risultato di derive ln3/ln2 + 1
ln3/ln2 posso scriverlo anche come Log 3(base2) mi rimane il +1 da mettere..
quindi non riesco a capire come possono essere uguali: Log 6(base2) con Log 3(base2) +1

guardati le proprietà dei logaritmi:
http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

:ciapet:

In quanto sto per scrivere indico log2(x) il logaritmo in base 2 di un generico numero positivo x.

Allora:



dove al primo segno di eguaglianza è stato applicato il cosiddetto teorema del cambiamento di base.

Spero di esserti stato di aiuto.

:ciapet:

Appunto! Per la sua "potenza", in molti casi utilizzarlo sarebbe un po' come "sparare ad una mosca con un cannone"!

Senza tenere conto, inoltre, che la sua applicazione è condizionata anche all'esistenza del limite del rapporto delle derivate delle funzioni che generano l'indeterminazione 0/0 ovvero oo/oo - limite che, come sai, non sempre esiste; che è molto tecnico e didatticamente poco formativo; che non possiede l'eleganza tipica di altri metodi; che non consente di avvicinare la mente alla bellezza dell'infinitamente grande e dell'infinitamente piccolo...

Insomma, dal punto di vista matematico, in generale è cosa un po' "vastasa" tirarlo in ballo!

:ciapet:

No la firma non è di mia invenzione...soprattutto le equazioni :sofico:
Comunque non ho mai letto quel racconto, senz'altro raccoglierò il suggerimento :)

Ti accorgerai che Asimov ha affrontato in modo un tantino diverso il tema della "luce".

;)

:asd:

saresti dio altrimenti :D

avrei due domande da fare :D

la prima riguarda un limite:

ho la funzione y=(x+1)e^(1-x), che può essere riscritta come: y=(x+1)e/e^x

limite per x che tende a meno infinito:

lim (x+1)e^(1-x)= -inf.


controllato il risultato anche con derive. per un mio errore (pensavo che quella sopra fosse una forma indeterminata) ho usato il teorema di de l'hopital:

lim (x+1)e/e^x = lim e/e^x = inf

controllato anche questo con derive...com'è possibile che cambi di segno applicando il teorema?



seconda domanda: come integro una circonferenza? devo calcolare l'area dei settori in cui la funzione y=(x^2-1)/2x divide la circonferenza x^2+y^2-2y-1=0

Risposta alla prima domanda:

in un intorno di -inf la funzione in questione ha segno negativo, ed essendo continua nel suo dominio, per il teorema della permanenza del segno anche il limite sarà negativo. Se hai ottenuto una contraddizione, evidentemente avrai commesso un errore nel calcolo delle derivate.

Per il calcolo del limite in sé, basta osservare che l'ordine di infinito dell'esponenziale è maggiore di quello di un polinomio di qualunque grado (nel tuo caso, poi, il polinomio di primo grado (x+1) che rimane a numeratore), per cui il risultato è infinito (con segno meno per quanto detto prima).


Risposta alla seconda domanda:

devi prima esplicitare la circonferenza. Per far questo, puoi scrivere:


da cui (soluzioni di una eq. di II grado in y):



le quali rappresentano le equazioni delle due semicirconferenze, inferiore e superiore, la cui unione dà la circonferenza di partenza.

Poi sono solo conti di integrazione - occhio che esistono metodi ad hoc per integrare radici che abbiano come radicando la differenza di due quadrati...

Mah... stiamo forse parlando di un "dio" asimmetrico? Di un dio che ha "dimenticato di mettere al mondo" il monopolo magnetico? :eek:

:confused:

Magari gli imperfetti siamo noi - anzi sicuro... :D

Troppe cose ancora ci sfuggono. Dietro un'apparente asimmetria nelle equazioni di Maxwell, potrebbe celarsi invece una non ancora compresa "divina simmetria"...

:ciapet:

ok la seconda risposta l'ho capita grazie :D

per la prima: nella prima parte hai detto che il limite avrà segno negativo, nella seconda hai detto che il limite dà come risultato + inf., quindi non capisco...questa è una contraddizione :mbe:

comunque sia, il calcolo delle derivate è giusto:

D[(x+1)e] = D[ex+e] = e
D[e^x]=e^x

Forse hai ragione....di certo quella di Maxwell è stata una sintesi poderosa che ha addirittura anticipato (teoricamente) fenomeni che sarebbero stati verificati (sperimentalmente) solo diversi anni dopo...quello che verrà ancora non lo sappiamo ma ricordiamoci che d'altra parte stiamo sempre parlando di modelli matematici...e la matematica è solo un mezzo (ed ecco le parolacce dei grandi matematici del forum :p )

E vabbé, i matematici non si chiedono mai se sarà "utile" o se sia "interessante".

L'importante è che sia "matematicamente bello".

:D

Silvio, tu che ne pensi?

:Prrr: