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JoJo87 19-09-2006 14:47

Grazie mille, mi chiedo come ho fatto a sbagliare il secondo >_< a vederlo così era una stupidata :D

Ps: Mi sa che iscrivendomi a matematica ho firmato per sempre la mia presenza su questo thread, :D

pietro84 19-09-2006 15:01

devo svolgere il seguente esercizio di teoria dei sistemi che in realtà diventa un esercizio di analisi matematica:

Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?


se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annullarsi in un punto x0 di J.

ChristinaAemiliana 19-09-2006 15:03

Quote:

Originariamente inviato da retorik
Prima di tutto grazie. :) Quindi se un sistema è formato da due equazioni uguali è indeterminato? :confused: Non lo rocordavo proprio... :( :muro:


E' una conseguenza del teorema di Rouchè-Capelli. Lo trovi sicuramente con Google, con tanto di esempi. E' uno dei teoremi più importanti che si fanno nei corsi di algebra lineare. ;)

Nel "tuo" caso puoi apprezzare intuitivamente la cosa osservando che con la sola equazione che hai puoi scrivere x in funzione di y (o viceversa) ma poi ti "manca" la seconda equazione dove sostituiresti a x la sua espressione in funzione di y, ottenendo una equazione nella sola y da risolvere per trovare appunto il valore di y, trovato il quale dalla prima equazione risaliresti a x. Invece così hai un solo vincolo, che è il valore della somma di x e y, e ti resta pertanto un grado di libertà, ergo hai oo^1 soluzioni ("indeterminato" è un termine vago, agli ing non piace e suppongo nemmeno ai matematici:D).

ChristinaAemiliana 19-09-2006 15:15

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
devo svolgere il seguente esercizio di teoria dei sistemi che in realtà diventa un esercizio di analisi matematica:

Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?

se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non si abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annularsi in un punto x0 di J.


Esiste un risultato secondo il quale se f: [a,b] ---> |R e f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un c per cui f(c)=0.

Immagino derivi dal teorema dei valori intermedi (o almeno, io me lo ricordo con questo nome). Il teorema al quale mi riferisco è quello che dice che se f: |R ---> |R è continua, allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra sup(f) e inf(f).

Mi rendo conto che sono ricordi un po' vaghi, speriamo che passi Ziosilvio a mettere i puntini sulle i...:stordita:

pietro84 19-09-2006 15:20

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Esiste un risultato secondo il quale se f: [a,b] ---> |R e f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un c per cui f(c)=0.

Immagino derivi dal teorema dei valori intermedi (o almeno, io me lo ricordo con questo nome). Il teorema al quale mi riferisco è quello che dice che se f: |R ---> |R è continua, allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra sup(f) e inf(f).

Mi rendo conto che sono ricordi un po' vaghi, speriamo che passi Ziosilvio a mettere i puntini sulle i...:stordita:

sì la prima proposizione è vera, l'esercizio che ho cercato di svolgere sotto consiste nel dimostrarla correttamente...

Verro 19-09-2006 17:00

Ragazzi, facilissimo, ma risolvetemi questa funzione!!
 
Lo so, praticamente è una cazzata, ma non riesco a "studiare" questa funzione...non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)

Grazie!!! :muro:

Ziosilvio 19-09-2006 17:45

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

OK: si tratta del Teorema di esistenza degli zeri (o Teorema di Bolzano), un risultato classico di Analisi 1, che segue dal Teorema di permanenza del segno e ha come conseguenza il Teorema dei valori intermedi.
La dimostrazione più elegante che conosco, sta nell'osservare che nel caso f(-1)>0, si può scegliere:

Quote:

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?


se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
Qui volevi dire 0 invece di f(x0), per caso?
Non vorrei sbagliare, ma questo non è garantito.
Controesempi non me ne vengono in mente, e la mia copia di Counterexamples in Analysis sta a qualche migliaio di chilometri di distanza, per cui semmai ne riparliamo tra una settimana.
Andiamo avanti...
Quote:

calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annullarsi in un punto x0 di J.
Non necessariamente: tutto quello che puoi dire, è che il limite destro non supera f(x0), e il limite sinistro non scende sotto f(x0). Quindi, se la funzione è continua, entrambi sono uguali a f(x0).

pietro84 19-09-2006 18:38

Quote:

essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
ok,su questo ci rifletterò un po allora, però secondo me il fatto che f(-1)>0 e f(1)<0 garantisce ciò che ho scritto sopra.


Quote:

Non necessariamente: tutto quello che puoi dire, è che il limite destro non supera f(x0), e il limite sinistro non scende sotto f(x0). Quindi, se la funzione è continua, entrambi sono uguali a f(x0).
qui mi sono incartato :doh:
devo fare ancora moooolta pratica per risolvere questi esercizi :mc: :D

pietro84 19-09-2006 18:41

il fatto è che i casi particolari che ho in mente influenzano troppo le considerazioni generali che faccio.
ho scritto l'ultima frase pensando che la f deve avere una discontinuità almeno di prima specie per non intersecare l'asse delle ascisse...perciò essendo continua,deve per forza avere zeri. però scrivo sempre qualche inesattezza alla fine :fagiano: :mc:

retorik 20-09-2006 08:04

Quote:

Originariamente inviato da retorik
Sistema di disequazione di primo grado:

√2 + x ≥ √2x – 1
2-(2+√3)x < √3 + x

Se ricordo bene, devo portare tutto a sinistra, scomporre e fare una tabella per ciascuna disequazione e infine la terza con le intersezioni.
Ma non riesco a scomporre la prima. :cry:

Grazie

Ci ho pensato, basta portare le x a sinistra e i numeri a destra. :muro:

Ziosilvio 20-09-2006 09:56

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
qui mi sono incartato

Il punto è che, se in un intorno di x0 (privato al più di x0) è verificata una certa disuguaglianza tra i valori f(x) e il valore L, ed esiste il limite di f(x) per x che tende a x0 in tale intorno, allora tale limite verifica la stessa disuguaglianza in senso lato, ma non necessariamente in senso stretto.
Per cui, se f(x)>f(x0) in un intorno sinistro di x0, allora lim {x-->0-} f(x) >= f(x0).

giannola 20-09-2006 10:07

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Io ho usato le serie di Taylor e ho ricontrollato con Maxima: viene zero.

quindi la f è differenziabile giusto ?
Ma lo stesso risultato nn lo posso ricavare vedendo che le derivate parziali esistono e sono tutte definite ?

superteodj 20-09-2006 10:22

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Rispondo alle prime due che son più veloci...;)

Gli zeri di sinz e cosz (con z complesso) sono reali e sono gli stessi delle corrispondenti funzioni di variabile reale.

Gli zeri di sinhz e coshz sono immaginari puri e sono rispettivamente k*Pi*j e (Pi/2 + k*Pi)j con k appartenente a Z.

La dimostrazione è abbastanza semplice, basta pensare alla definizione di sinz, cosz, sinhz e coshz in forma esponenziale e porre = 0.


quindi sin(pi*k)!=0 e cos (pi/2*k)!=0 ????

e sinh (k*Pi*i)=0 cosh(k*Pi/2*i)=0 ???

la j ke hai messo equivale alla i??

mandi

Ziosilvio 20-09-2006 10:23

Quote:

Originariamente inviato da giannola
Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Io ho usato le serie di Taylor e ho ricontrollato con Maxima: viene zero.

quindi la f è differenziabile giusto ?
Ma lo stesso risultato nn lo posso ricavare vedendo che le derivate parziali esistono e sono tutte definite ?

Aspetta un momento: quella risposta te l'avevo data quando mi avevi chiesto aiuto su:

La risposta è che il limite è 0; e il motivo per cui questo accade, è che, come avevo mostrato, il numeratore N(x) è una funzione analitica che ha una radice doppia nell'origine, quindi N(x)/x ha un prolungamento analitico su IR che vale zero nell'origine.

Invece, mi pare che tu questa domanda me la stia facendo sulla funzione:

che effettivamente è definita in un dominio che ha per frontiera un'ellisse (di semiassi sqrt(2) e 1).
Ora, tale funzione è sicuramente differenziabile all'interno di tale dominio; ha invece poco senso chiedersi se sia differenziabile in un punto della frontiera (per esempio, (0,1)), perché non esiste un intorno di un simile punto in cui la funzione sia definita, quindi il limite richiesto nella definizione di differenziabilità non può esistere.

giannola 20-09-2006 10:30

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Aspetta un momento: quella risposta te l'avevo data quando mi avevi chiesto aiuto su:

La risposta è che il limite è 0; e il motivo per cui questo accade, è che, come avevo mostrato, il numeratore N(x) è una funzione analitica che ha una radice doppia nell'origine, quindi N(x)/x ha un prolungamento analitico su IR che vale zero nell'origine.

Invece, mi pare che tu questa domanda me la stia facendo sulla funzione:

che effettivamente è definita in un dominio che ha per frontiera un'ellisse (di semiassi sqrt(2) e 1).
Ora, tale funzione è sicuramente differenziabile all'interno di tale dominio; ha invece poco senso chiedersi se sia differenziabile in un punto della frontiera (per esempio, (0,1)), perché non esiste un intorno di un simile punto in cui la funzione sia definita, quindi il limite richiesto nella definizione di differenziabilità non può esistere.


lascia quella io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.

Ziosilvio 20-09-2006 10:36

Quote:

Originariamente inviato da Verro
non riesco a "studiare" questa funzione

Male.
Molto male.
A quest'ora, e con un esame sicuramente in vista, dovresti essere in grado di farlo.
Quote:

non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)
Purtroppo sono dichiaratamente malvagio, per cui ti darò solo qualche imbeccata.

Dominio: per quali valori di a e b ha senso definire a/b?
Positività: meno per meno fa più, meno per più fa meno.
Limiti: per x-->+-oo esiste una regola generale, che puoi trovare sul libro di testo; quali altri punti possono dare problemi?
Derivate: anche qui trovi la regola generale sul testo.
Flessi: sono i punti in cui la funzione è definita e il verso di convessità cambia; la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associare il verso di convessità al segno della derivata seconda.
Crescenza e decrescenza: la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associarle al segno della derivata prima.
Asintoti: si tratta di studiare qualche limiti. Qui ne bastano quattro.

pietro84 20-09-2006 10:41

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Il punto è che, se in un intorno di x0 (privato al più di x0) è verificata una certa disuguaglianza tra i valori f(x) e il valore L, ed esiste il limite di f(x) per x che tende a x0 in tale intorno, allora tale limite verifica la stessa disuguaglianza in senso lato, ma non necessariamente in senso stretto.
Per cui, se f(x)>f(x0) in un intorno sinistro di x0, allora lim {x-->0-} f(x) >= f(x0).

ok.
allora forse ho capito come si potrebbe dimostrare.
come hai detto prima posso scrivere 0 invece che f(x0).
quindi esiste un punto x0 tale che f(x)<0 se x>x0 e f(x)>0 se x<x0 in un intorno di x0.
perciò calcolando il limite per x--->x0 si ha che il limite sinistro l- è >=0 e il limite destro l+ è <=0 quindi essendo la funzione continua deve necessariamente essere l+=l-=0
così va un po meglio?! :fagiano:

8310 20-09-2006 11:58

Quote:

Originariamente inviato da giannola
cut

[OT] Gaeta? [/OT]

ChristinaAemiliana 20-09-2006 12:07

Quote:

Originariamente inviato da superteodj
quindi sin(pi*k)!=0 e cos (pi/2*k)!=0 ????

e sinh (k*Pi*i)=0 cosh(k*Pi/2*i)=0 ???

la j ke hai messo equivale alla i??

mandi


Sì, scusa, la j è l'unità immaginaria, a ingegneria la indichiamo così perché i è la corrente. :D

Le relazioni che hai scritto sono giuste per i seni ma non per i coseni: la distanza tra uno zero e il successivo è sempre Pi anche in quei casi. Devi scrivere:

cos(Pi/2 + kPi) = 0

cosh[i(Pi/2 + kPi)] = 0

altrimenti, come hai scritto tu, ottieni che sono zeri del cos anche Pi, 2Pi, -Pi, -2Pi eccetera, e del cosh anche i*Pi, i*2Pi eccetera, cosa che non è vera.

Ecco come vanno le cose:


giannola 20-09-2006 12:09

Quote:

Originariamente inviato da 8310
[OT] Gaeta? [/OT]

:confused:


Tutti gli orari sono GMT +1. Ora sono le: 21:43.

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