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Grazie mille, mi chiedo come ho fatto a sbagliare il secondo >_< a vederlo così era una stupidata :D
Ps: Mi sa che iscrivendomi a matematica ho firmato per sempre la mia presenza su questo thread, :D |
devo svolgere il seguente esercizio di teoria dei sistemi che in realtà diventa un esercizio di analisi matematica:
Sia f: |R ----> |R una funzione continua se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1]. cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0. visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto? se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non abbia zeri in J. essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0). calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annullarsi in un punto x0 di J. |
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E' una conseguenza del teorema di Rouchè-Capelli. Lo trovi sicuramente con Google, con tanto di esempi. E' uno dei teoremi più importanti che si fanno nei corsi di algebra lineare. ;) Nel "tuo" caso puoi apprezzare intuitivamente la cosa osservando che con la sola equazione che hai puoi scrivere x in funzione di y (o viceversa) ma poi ti "manca" la seconda equazione dove sostituiresti a x la sua espressione in funzione di y, ottenendo una equazione nella sola y da risolvere per trovare appunto il valore di y, trovato il quale dalla prima equazione risaliresti a x. Invece così hai un solo vincolo, che è il valore della somma di x e y, e ti resta pertanto un grado di libertà, ergo hai oo^1 soluzioni ("indeterminato" è un termine vago, agli ing non piace e suppongo nemmeno ai matematici:D). |
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Esiste un risultato secondo il quale se f: [a,b] ---> |R e f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un c per cui f(c)=0. Immagino derivi dal teorema dei valori intermedi (o almeno, io me lo ricordo con questo nome). Il teorema al quale mi riferisco è quello che dice che se f: |R ---> |R è continua, allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra sup(f) e inf(f). Mi rendo conto che sono ricordi un po' vaghi, speriamo che passi Ziosilvio a mettere i puntini sulle i...:stordita: |
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Ragazzi, facilissimo, ma risolvetemi questa funzione!!
Lo so, praticamente è una cazzata, ma non riesco a "studiare" questa funzione...non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??
Y= (3x-1)/(x+2) Grazie!!! :muro: |
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La dimostrazione più elegante che conosco, sta nell'osservare che nel caso f(-1)>0, si può scegliere: Quote:
Non vorrei sbagliare, ma questo non è garantito. Controesempi non me ne vengono in mente, e la mia copia di Counterexamples in Analysis sta a qualche migliaio di chilometri di distanza, per cui semmai ne riparliamo tra una settimana. Andiamo avanti... Quote:
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devo fare ancora moooolta pratica per risolvere questi esercizi :mc: :D |
il fatto è che i casi particolari che ho in mente influenzano troppo le considerazioni generali che faccio.
ho scritto l'ultima frase pensando che la f deve avere una discontinuità almeno di prima specie per non intersecare l'asse delle ascisse...perciò essendo continua,deve per forza avere zeri. però scrivo sempre qualche inesattezza alla fine :fagiano: :mc: |
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Per cui, se f(x)>f(x0) in un intorno sinistro di x0, allora lim {x-->0-} f(x) >= f(x0). |
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Ma lo stesso risultato nn lo posso ricavare vedendo che le derivate parziali esistono e sono tutte definite ? |
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quindi sin(pi*k)!=0 e cos (pi/2*k)!=0 ???? e sinh (k*Pi*i)=0 cosh(k*Pi/2*i)=0 ??? la j ke hai messo equivale alla i?? mandi |
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La risposta è che il limite è 0; e il motivo per cui questo accade, è che, come avevo mostrato, il numeratore N(x) è una funzione analitica che ha una radice doppia nell'origine, quindi N(x)/x ha un prolungamento analitico su IR che vale zero nell'origine. Invece, mi pare che tu questa domanda me la stia facendo sulla funzione: che effettivamente è definita in un dominio che ha per frontiera un'ellisse (di semiassi sqrt(2) e 1). Ora, tale funzione è sicuramente differenziabile all'interno di tale dominio; ha invece poco senso chiedersi se sia differenziabile in un punto della frontiera (per esempio, (0,1)), perché non esiste un intorno di un simile punto in cui la funzione sia definita, quindi il limite richiesto nella definizione di differenziabilità non può esistere. |
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lascia quella io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2) facendo il calcolo per la differenziabilità. mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito. una forma di indecisione. Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito. Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero. Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2. |
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Molto male. A quest'ora, e con un esame sicuramente in vista, dovresti essere in grado di farlo. Quote:
Dominio: per quali valori di a e b ha senso definire a/b? Positività: meno per meno fa più, meno per più fa meno. Limiti: per x-->+-oo esiste una regola generale, che puoi trovare sul libro di testo; quali altri punti possono dare problemi? Derivate: anche qui trovi la regola generale sul testo. Flessi: sono i punti in cui la funzione è definita e il verso di convessità cambia; la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associare il verso di convessità al segno della derivata seconda. Crescenza e decrescenza: la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associarle al segno della derivata prima. Asintoti: si tratta di studiare qualche limiti. Qui ne bastano quattro. |
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allora forse ho capito come si potrebbe dimostrare. come hai detto prima posso scrivere 0 invece che f(x0). quindi esiste un punto x0 tale che f(x)<0 se x>x0 e f(x)>0 se x<x0 in un intorno di x0. perciò calcolando il limite per x--->x0 si ha che il limite sinistro l- è >=0 e il limite destro l+ è <=0 quindi essendo la funzione continua deve necessariamente essere l+=l-=0 così va un po meglio?! :fagiano: |
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Sì, scusa, la j è l'unità immaginaria, a ingegneria la indichiamo così perché i è la corrente. :D Le relazioni che hai scritto sono giuste per i seni ma non per i coseni: la distanza tra uno zero e il successivo è sempre Pi anche in quei casi. Devi scrivere: cos(Pi/2 + kPi) = 0 cosh[i(Pi/2 + kPi)] = 0 altrimenti, come hai scritto tu, ottieni che sono zeri del cos anche Pi, 2Pi, -Pi, -2Pi eccetera, e del cosh anche i*Pi, i*2Pi eccetera, cosa che non è vera. Ecco come vanno le cose:  |
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per x=-2 la y nn è definita, se fai limite destro e limite sinistro vedrai che y tende a infinito, una volta col segno più una col segno meno. Vuol dire che c'è un asintoto verticale. y=0 per x=1/3 ed abbiamo trovato uno zero. Per x-> a infinito y->3 quindi c'è anche un asintoto orizzontale. Per x=0 y=-1/2 Facendo y' noterai che il numeratore è un numero quindi è costante ovvero la derivata è sempre crescente (nn è mai zero) ragion per cui nn ti puoi aspettare nei punti interni della funzione dei minimi, dei massimi o dei flessi. Nei punti in cui è definita la f è strettamente crescente. |
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Solo che io sono pigro, e di starmi a studiare le derivate prime non mi andava; così, ho fatto in un altro modo. E' fuori di dubbio che, se il limite della funzione nell'origine esiste, è 0, perché la funzione si annulla sugli assi. Passa in coordinate polari: fai presto a vedere che, per valori di theta diversi da k Pi/2, il limite per rho che tende a 0 esiste e vale 0. Fin qui, OK. Poi: a te, per la differenziabilità nell'origine, bastano le derivate parziali prime nell'origine, le quali però non possono che essere nulle. Allora tu hai che: se e solo se o, passando in coordinate polari, e quest'ultimo limite non deve dipendere da theta. Ora, dallo sviluppo in serie di Taylor del seno si ha che t-sin(t) va a zero come t^3: ma allora, t^2-sin(t^2) va a zero come t^6. Quindi, l'ultimo limite è 0 quale che sia theta. |
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Io lungi dall'usare lo sviluppo in serie di Taylor (che mi sta pure sui maroni) mi sono calcolato le derivate nel punto (0,0), che ovviamente sono uguali a zero. Poi ho fatto le generiche derivate parziali e ho visto che essendo il denominatore nullo solo per (0,0) esse esistono e sono continue per tutti i valori <> (0,0). Quindi la f è differenziabile. Grazie ciao. |
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L'hai fatto 'sto controllo? |
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Se queste due cose coincidono, e se questo succede per tutte le derivate parziali, allora puoi concludere che la funzione è differenziabile. Altrimenti, no. |
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A te, invece, serve la convergenza da qualunque direzione, che è una condizione molto più severa. |
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Io faccio quello che posso, ma tu porta pazienza! |
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Adesso mi basta ? P.S. veramente io avrei scritto per chiedere un aiuto ed invece mi sono ritrovato a far tutto da solo. :cry: |
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Invece di risolvere il problema si è solo complicato. :muro: Come caspita si dovrebbe risolvere allora ? :confused: |
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Dopotutto, a te interessa solo che esistano due costanti, a e b, per le quali Tu, poi sai che, se a e b esistono, allora f ammette derivate parziali nell'origine e: C'è poi il teorema che dice che, se f ammette derivate parziali in un intorno dell'origine e se tali derivate parziali sono continue nell'origine, allora il limite di prima esiste e vale effettivamente zero. Non c'è, invece, nessun risultato che ti dica che, se la funzione ammette derivate parziali in tutte le direzioni, allora è differenziabile; e l'errore nel tuo procedimento sta proprio qui. E dopotutto, se ci pensi, (x,y) non è obbligato a tendere a (0,0) rimanendo su una retta, che è la cosa che supponi quando fai il limite delle derivate parziali: potrebbe seguire una sinusoide, una parabola, o quant'altro. |
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ma quello nn dava zero come risultato indipendentemente da theta ? Quote:
che nn si può dire se è differenziabile o meno perchè il problema ha una "complicatezza" di suo ? |
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- verifichi che f è infinitesima nell'origine; - osservi che f ha derivati parziali nell'origine, e che tali derivate sono nulle; - deduci che la differenziabilità di f nell'origine si riconduce all'essere nullo un certo limite; - passi in coordinate polari; - usi lo sviluppo di Taylor di una opportuna funzione di rho per dimostrare che il limite per rho-->0 è zero. Quote:
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