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Ziosilvio 11-07-2006 10:26

Quote:

Originariamente inviato da Guts
nn riesco a capire l'oscillatore armonico con le eq differenziali.

ho mx''+kx=0 quindi mi trovo le soluzioni del polinomio caratteristico che sono
l1,2(chiamo così lambda)=+-i rad(k/m)

chiamo w=rad(k/m) (ma perchè??)

Perché quando derivi f(wx) ottieni w*f'(wx), e derivando un'altra volta ottieni w^2 * f''(wx).
Per cui, se f(x) risolve y''+y=0, allora f(wx) risolve y''+(w^2)y=0.
Quote:

ho quindi che z(x)=c1 cos(wt) + c2 sin (wt), fin qua ok.
ma poi come trovo che questo è uguale a Acos(wt+a)?
Usa le formule:
Codice:

sin x = cos(x-Pi/2)
cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)

e fai un po' di manipolazione.
Quote:

sulla spiegazione che ho negli appunti c'è poi:

Acos(wt+a)=A(coswt-sinwtsina)
c1=Acosa
c2=-Asina

c1^2+c2^2=A^2
A=rad(c1^2+c2^2)

cosa=c1/rad(c1^2+c2^2)
sina=c2/rad(c1^2+c2^2)

qualcuno mi spiega il procedimento pls.
Innanzitutto, se ci fai caso, c1 e c2 sono rispettivamente x(0) e x'(0).
La prima riga mi sembra un errore di copiatura della formula di addizione del coseno:
Codice:

A cos(wt+a) = A (cos wt cos a - sin wt sin a)
La quarta riga è un'applicazione della prima relazione fondamentale della Trigonometria piana. La quinta è una riscrittura con cui calcoli A: puoi supporre A>=0, perché puoi sistemare il segno lavorando sull'angolo a, che calcoli sfruttando le ultime due righe.
Quote:

2)come dimostro che l'integrale generale di un'equazione differenziale(y(x)) è dato dalla somma della soluzione dell'omogenea(z(x)) più una soluzione particolare(yp(x))?

sul quaderno ho scritto una cosa del genere:
dato che sia y(x) che yp(x) sono soluzioni dell'equazione diff lineare, allora y-yp sarà soluzione dell'omogenea (ma perchè? le soluzioni dell'equazione sono anche soluzioni dell'omogenea?) e quindi y-yp=z, quindi y=z+yp.
qualcuno me la spiega?
L'equazione differenziale ha la forma F(x,y,y',y'') = g(x), dove F soddisfa la relazione F(x,y1+y2,(y1+y2)',(y1+y2)'') = F(x,y1,y1',y1'') + F(x,y2,y2',y2'').
Allora, se y e yp sono entrambe soluzioni di F(x,y,y',y'')=g(x), y-yp soddisfa F(x,y-yp,(y-yp)',(y-yp)'') = F(x,y,y',y'')-F(x,yp,yp',yp'') = g(x)-g(x)=0; ossia, y-yp è soluzione dell'omogenea associata.

Guts 11-07-2006 11:31

grazie mille, il 2o ho capito, il primo ora me lo riguardo un po' meglio
ciao

ChristinaAemiliana 11-07-2006 12:07

Quote:

Originariamente inviato da cagnaluia
1.a.
Se ho una matrice A...

Unito al thread in rilievo. ;)

TALLA 11-07-2006 12:45

trucchetti nelle derivate
 
Salve a tutti ragazzi....a volte mi capita di imbattermi in alcune funzioni le quali(per il loro studio) mi tocca derivarle due volte...e spesso capita che diventi un lavoro lunghissimo e "incasinato" trovarne gli zeri! :muro:
Ad esempio una del genere
y= 1/2 x^2 + 4x + 2/(2x+1)
diventa lunghissimo il lavoro per determinare la concavità!

Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche trucco di semplificazione che mi ritorni utile per determinare a occhio ad esempio la concavità delle funzioni, o che riesca in qualche modo a vedere subito in che maniera è rivolta la concavità!

Grazie

pietro84 11-07-2006 12:54

altro piccolo dubbio sulle serie.

consideriamo una funzione f: z app ad A----->f(z) app B
con A e B aperti del piano complesso,
ed una serie di funzioni {Sn(z)} di termine generale fn(z).
distinguiamo ora due casi:
1){Sn(z)} converge uniformemente in A alla funzione f(z).
2){Sn(z)} converge puntualmente in A alla funzione f(z)

la definizione formale di convergenza uniforme è molto chiara e semplice, però non mi ha fatto capire molto bene la differenza che c'è tra convergenza puntuale e convergenza uniforme in pratica.
cioè qual è la differnza tra f(z) nel caso 1 e f(z) nel caso 2 ?

Guts 11-07-2006 13:04

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Salve a tutti ragazzi....a volte mi capita di imbattermi in alcune funzioni le quali(per il loro studio) mi tocca derivarle due volte...e spesso capita che diventi un lavoro lunghissimo e "incasinato" trovarne gli zeri! :muro:
Ad esempio una del genere
y= 1/2 x^2 + 4x + 2/(2x+1)
diventa lunghissimo il lavoro per determinare la concavità!

Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche trucco di semplificazione che mi ritorni utile per determinare a occhio ad esempio la concavità delle funzioni, o che riesca in qualche modo a vedere subito in che maniera è rivolta la concavità!

Grazie

io nn ho mai sentito di alcun trucco, giusto con le parabole se a è positivo han concavità verso l'alto. alla fine devi trovare cmq i punti in cui la derivata(prima o seconda che sia) si annulla, quindi devi calcolartele lo stesso. dopo che ne fai un bel po' vai via spedito

Ziosilvio 11-07-2006 13:54

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
la definizione formale di convergenza uniforme è molto chiara e semplice, però non mi ha fatto capire molto bene la differenza che c'è tra convergenza puntuale e convergenza uniforme in pratica.

La differenza non sta nel limite, ma nel modo in cui lo si raggiunge.
Nella convergenza puntuale, l'indice n_epsilon che serve ad avere |S{n}(z)-f(z)|<epsilon per n>n_epsilon, è a priori uno per ciascuno z; nella convergenza uniforme, ce n'è uno che va bene per tutti gli z.
E' chiaro allora che la convergenza uniforme è una condizione molto più "severa" di quella puntuale; ma allora, le proprietà che si hanno in caso di convergenza uniforme, devono essere migliori di quelle che si hanno in caso di convergenza puntuale.
E in effetti è così: per una successione di funzioni continue, la convergenza puntuale non implica la continuità del limite, mentre quella uniforme sì.
Se poi lavori sul piano complesso, allora hai il bellissimo teorema (dovuto a Weierstrass, mi pare) per cui, se le f{n} (o, che è lo stesso, le S{n}) sono olomorfe in A e se S{n}-->f uniformemente sui compatti di A, allora f è olomorfa in A e S'{n}-->f' uniformemente sui compatti di A.

Guts 11-07-2006 14:23

domanda stupida ma nn mi viene in mente

data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

pietro84 11-07-2006 14:27

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
E in effetti è così: per una successione di funzioni continue, la convergenza puntuale non implica la continuità del limite, mentre quella uniforme sì.
Se poi lavori sul piano complesso, allora hai il bellissimo teorema (dovuto a Weierstrass, mi pare) per cui, se le f{n} (o, che è lo stesso, le S{n}) sono olomorfe in A e se S{n}-->f uniformemente sui compatti di A, allora f è olomorfa in A e S'{n}-->f' uniformemente sui compatti di A.

è proprio questo che volevo sapere.
quindi in parole povere se un serie converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A la f(z) è continua comunque io prendo z.
se invece converge puntualmente e non uniformemente vuol dire che la f(z) presenta delle discontinuità?

ps: cosa sono i compatti di A?

Ziosilvio 11-07-2006 14:35

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
se un serie converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A la f(z) è continua comunque io prendo z.

Attento a non fare confusione: la convergenza uniforme è una proprietà di insieme, per cui non ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A", mentre ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) in un insieme A".
Quote:

se invece converge puntualmente e non uniformemente vuol dire che la f(z) presenta delle discontinuità?
Vuol dire che non puoi pretendere che non ci siano discontinuità.
Dopotutto, f{n}(z)=z/n converge puntualmente ma non uniformemente in C alla costante zero, che è continua in C.
Quote:

ps: cosa sono i compatti di A?
Un compatto di C è la stessa cosa di un compatto di IR^2: un insieme chiuso e limitato.
Dire che "f{n} converge a f uniformemente sui compatti di A" vuol dire che, se K è un compatto di C contenuto in A, allora f{n} converge uniformemente a f in K.
La convergenza uniforme sui compatti di A è un po' meno della convergenza uniforme in A, ma è sufficiente in parecchie applicazioni.

pietro84 11-07-2006 14:51

Quote:

Attento a non fare confusione: la convergenza uniforme è una proprietà di insieme, per cui non ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A", mentre ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) in un insieme A".
giusto, hai ragione :D

quando è richiesta l'ipotesi di convergenza uniforme del limite, è per la garanzia che il limite f(z) sia una funzione continua?
ad esempio il teorema che hai citato tu mi sembra che l'ho studiato tempo fa come "teorema di derivazione termine a termine" , richiede la convergenza uniforme per il motivo che ho ipotizzato?

Ziosilvio 11-07-2006 16:05

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
quando è richiesta l'ipotesi di convergenza uniforme del limite, è per la garanzia che il limite f(z) sia una funzione continua?

Esatto.
E in effetti, se A è aperto, allora non è necessaria la convergenza uniforme in A, ma basta la convergenza uniforme sui compatti di A a garantire che il limite sia una funzione continua.
Quote:

ad esempio il teorema che hai citato tu mi sembra che l'ho studiato tempo fa come "teorema di derivazione termine a termine" , richiede la convergenza uniforme per il motivo che ho ipotizzato?
Sì, perché poi usi il Teorema di Morera per dimostrare che il limite è una funzione olomorfa oltre che continua, e il Teorema di Cauchy per dimostrare la convergenza della serie delle derivate.

ChristinaAemiliana 11-07-2006 16:12

Uhm, e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini? In questo momento non ricordo bene da dove arrivava quel risultato. :wtf:

pietro84 11-07-2006 16:25

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Uhm, e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini? In questo momento non ricordo bene da dove arrivava quel risultato. :wtf:

dopo aver dimostrato che f(z) è olomorfa nell'aperto A il gioco è fatto, perchè una funzione olomorfa ammette derivate di qualunque ordine in A.
almeno così mi ricordo.

Ziosilvio 11-07-2006 16:50

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
e tramite questa strada si dimostra anche l'esistenza delle derivate di tutti gli ordini?

Esattamente: se f è olomorfa in A, se z è in A e se la palla di centro z e raggio r è contenuta in A, detto C(r,z) il circuito t --> z + r exp(jt) per t in [0, 2 Pi], si ha per il Teorema di Cauchy:
Codice:

              /
          1  |      f(w)
f(z) = ------ |      ---- dw
      2 Pi j |      w-z
              /C(r,z)

che però è derivabile in z, per cui:
Codice:

              /
          1  |        f(w)
f'(z) = ------ |      ------- dw
        2 Pi j |      (w-z)^2
              /C(r,z)

Iterando n volte:
Codice:

                  /
            n!  |          f(w)
f^(n)(z) = ------ |      ----------- dw
          2 Pi j |      (w-z)^(n+1)
                  /C(r,z)


Guts 11-07-2006 17:13

Quote:

Originariamente inviato da Guts
domanda stupida ma nn mi viene in mente

data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

qualcuno mi da una mano?

Ziosilvio 11-07-2006 17:24

Quote:

Originariamente inviato da Guts
data una matrice A, un suo autovalore v e l'autovettore w corrispondente,
perchè vw=Aw?

Per definizione ;)

Più in dettaglio: gli autovalori di A sono tutti e soli i valori v tali che det(vI-A)=0, ossia tali che il sistema vI-A=0 ha una soluzione non banale w. Ma se (vI-A)w=0, allora vw-Aw=0, ossia Aw=vw.

pietro84 12-07-2006 12:48

ho altre due domande :D

allora si definisce insieme chiuso un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
si definisce dominio un insieme chiuso per cui ogni punto è punto di accumulazione di punti interni all'insieme; ma quanto accade questo? quando esiste un secondo insieme che ha elementi in comune col primo?

il concetto di dominio(particolare insieme chiuso),ha qualcosa a che vedere col concetto di insieme di definizione(detto anche dominio appunto) di una funzione?! a me sembrerebbe di no...

Ziosilvio 12-07-2006 14:44

Avevo fatto un errore quattro post sopra. Ora ho corretto.

Ziosilvio 12-07-2006 14:45

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
si definisce dominio un insieme chiuso per cui ogni punto è punto di accumulazione di punti interni all'insieme; ma quanto accade questo?

Quando l'insieme è la chiusura di un insieme aperto.

pietro84 12-07-2006 15:33

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Quando l'insieme è la chiusura di un insieme aperto.

nella fretta ho scritto male :fagiano: , volevo dire: quando accade che un insieme ha punti che sono di accumulazione di punti esterni? quando il punto appartiene a due insiemi diversi?

Ziosilvio 12-07-2006 20:33

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
quando accade che un insieme ha punti che sono di accumulazione di punti esterni?

Abbastanza spesso. Ricorda che un insieme e il suo complementare hanno la stessa frontiera.

pietro84 14-07-2006 14:22

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Abbastanza spesso. Ricorda che un insieme e il suo complementare hanno la stessa frontiera.

forse con un esempio riesco a capire meglio:
prendiamo nel piano complesso un cerchio C(0,R) , cioè un cerchio di centro l'origine e raggio R. direi che questo è un dominio(o sbaglio?)
sia A il suo complementare, che quindi è un aperto.
ora i punti sulla frontiera di C sono punti di accumulazione sia per punti interni a C, sia per punti esterni a C, infatti se prendiamo un intorno piccolo a piacere I di un punto z0 appartenente alla frontiera di C, esso conterrà sia punti di C che punti di A.
è esatto questo ragionamento? e se è così come fa ad essere un dominio il cerchio C?! :confused:

Ziosilvio 14-07-2006 15:53

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
prendiamo nel piano complesso un cerchio C(0,R) , cioè un cerchio di centro l'origine e raggio R. direi che questo è un dominio(o sbaglio?)

Immagino tu intenda: un cerchio chiuso di centro l'origine e raggio R.
Sì, è un dominio.
Quote:

sia A il suo complementare, che quindi è un aperto
Sì: è l'insieme dei numeri complessi con valore assoluto maggiore di R.
Quote:

ora i punti sulla frontiera di C sono punti di accumulazione sia per punti interni a C, sia per punti esterni a C, infatti se prendiamo un intorno piccolo a piacere I di un punto z0 appartenente alla frontiera di C, esso conterrà sia punti di C che punti di A.
è esatto questo ragionamento?
Sì.
Quote:

e se è così come fa ad essere un dominio il cerchio C?
Essendo la chiusura di un aperto.
Dopotutto, se come esempio tu avessi preso il complementare del cerchio aperto di centro 0 e raggio R, anche quello sarebbe stato un dominio.
Tieni a mente che non c'è nulla che impedisca a un punto di essere di accumulazione per due insiemi disgiunti.

gtr84 14-07-2006 16:05

Statistica Inferenziale: Test statistici e livelli di significatività
 
C'è qualche esperto di statistica?

Ho capito che in base al campione si sceglie il test statistico
appropriato.

Quando vado a calcolare il livello di significatività dei dati ossservati
non riesco ad interpretare il risultato.

Qualcuno mi aiuta? Io la statistica la odio!

TALLA 15-07-2006 21:26

Funzioni
 
Ciao ragazzi....i soliti stupidi dubbi!
Come tutti sapete in una funzione, il segno della sua derivata ne determina la crescenza o la decrescenza....guardando il libro ho però trovato una stranezza o che sono io il rincitrullito!

nella y=x^2-1/x^2-4

la derivata è y'= -6x/(x^2-4)^2

quindi studiando il segno dovrebbe decrescere da -infinito a 0 e crescere da 0 a + infinito!invece è tutto il contrario!!!e non riesco a capire il perchè :muro:

grazie

TALLA 15-07-2006 22:28

Ei.......LASCIATE PERDERE!!!!!!


CHE IDIOTAAA!!!!! :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh:

ChristinaAemiliana 15-07-2006 22:34

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Esattamente: (cut)

Oh, perfetto...era proprio il punto che non ricordavo precisamente! Tnx. ;)

ChristinaAemiliana 15-07-2006 22:39

Ho una domanda veloce anche io...mi è sorto un dubbio. :D

La famosa proprietà della derivata prima della delta di Dirac:

f(t)δ'(t) = f'(0)δ(t) - f(0)δ'(t)

è così o sbaglio il segno? Ho un vuoto di memoria...:stordita:

Ziosilvio 16-07-2006 08:49

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Tnx.

Prego.

Anzi: grazie a te, visto che dopo il tuo post ho corretto gli ultimi due errori che c'erano! :doh: :lamer: :cry:

Ziosilvio 16-07-2006 09:06

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
La famosa proprietà della derivata prima della delta di Dirac:

f(t)δ'(t) = f'(0)δ(t) - f(0)δ'(t)

è così o sbaglio il segno? Ho un vuoto di memoria...

Bisogna che ci mettiamo un po' d'accordo sulle notazioni.
Con delta(t) intendi la distribuzione su IR che associa alla funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto f il suo valore nel punto t?

Se è così, allora in quanto distribuzione delta(t) è derivabile e il valore di delta'(t) su f è il valore di f' in t, cambiato di segno.
(Si tratta semplicemente della formula di integrazione per parti, in cui l'integrale viene valutato su un intervallo chiuso e limitato che contiene propriamente i supporti di f ed f' e include t.)

ChristinaAemiliana 16-07-2006 12:08

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Bisogna che ci mettiamo un po' d'accordo sulle notazioni.
Con delta(t) intendi la distribuzione su IR che associa alla funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto f il suo valore nel punto t?

Sì, la definizione della delta è quella anche per me, con l'unica differenza che il valore associato a f è quello nel punto 0, o in generale quello nel punto dove la delta è centrata in caso di delta traslate. In sostanza, questa distribuzione:

Codice:

        /+oo
        |     
f(z) =  |      δ(t)f(t)dt = f(0)
        |     
        /-oo

Quote:

Se è così, allora in quanto distribuzione delta(t) è derivabile e il valore di delta'(t) su f è il valore di f' in t, cambiato di segno.
(Si tratta semplicemente della formula di integrazione per parti, in cui l'integrale viene valutato su un intervallo chiuso e limitato che contiene propriamente i supporti di f ed f' e include t.)
Allora se ho capito bene è così:

Codice:

        /+oo
        |     
        |      δ'(t)f(t)dt =
        |     
        /-oo


        /+oo
        |     
  =  - |      δ(t)f'(t)dt =
        |     
        /-oo

 
  = f'(0)

Questa se non ricordo male è proprio quella definizione di derivata distribuzionale che si tira fuori facendo per parti l'integrale tra -oo e +oo e considerando che il primo addendo derivante dall'integrazione per parti è nullo perché f(t) è diversa da zero solo in un intervallo limitato.

E fin qui ci siamo.

Il mio dubbio era se si potesse fare un ragionamento del genere. La delta gode di questa proprietà, che si dimostra banalmente prendendo gli integrali di ambo i menbri tra -oo e +oo:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

allora uno si può chiedere:

f(t)δ'(t) = ?

Per rispondere si può provare a prendere la derivata del prodotto:

[f(t)δ(t)]' = f'(t)δ(t) + f(t)δ'(t)

poi si considera che per la proprietà della delta scritta sopra:

[f(t)δ(t)]' = [f(0)δ(t)]' = f(0)[δ(t)]' = f(0)δ'(t)

perché f(0) e una costante. Poi sempre usando la stessa proprietà della delta, il primo addendo a secondo membro diventa:

f'(t)δ(t) = f'(0)δ(t)

Quindi sostituendo i risultati trovati:

f(0)δ'(t) = f'(0)δ(t) + f(t)δ'(t)

E infine isolando il secondo addendo a secondo membro risulta:

f(t)δ'(t) = f(0)δ'(t) - f'(0)δ(t)

che è la risposta alla domanda iniziale.

Ecco, io ricordavo una proprietà del genere della δ'(t), anche se avevo incertezze sul segno (che infatti è l'opposto di quanto avevo ipotizzato all'inizio!). Il discorso mi funziona, ma sono incerta sui passaggi fatti...in particolare mi chiedevo se fosse rigorosamente lecito applicare la formula della derivata di un prodotto quando c'è di mezzo una distribuzione. :boh:

Ziosilvio 16-07-2006 15:55

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Sì, la definizione della delta è quella anche per me, con l'unica differenza che il valore associato a f è quello nel punto 0, o in generale quello nel punto dove la delta è centrata in caso di delta traslate.

Ossia: fai finta che delta sia una funzione che soddisfa delta(0) = +oo, delta(x) = 0 per ogni x<>0, e integrale su IR di delta(t)dt = 1.
OK: quindi delta è la delta di Dirac "classica".
Quote:

Allora se ho capito bene è così:

Codice:

        /+oo
        |     
        |      δ'(t)f(t)dt =
        |     
        /-oo


        /+oo
        |     
  =  - |      δ(t)f'(t)dt =
        |     
        /-oo

 
  = f'(0)


Ossia: integrale su IR di delta'(t)f(t)dt = (delta(+oo)f(+oo)-delta(-oo)f(-oo)) - integrale su IR di delta(t)f'(t)dt = 0 (perché f è a supporto compatto) - f'(0) (per definizione di delta).
Nella tua formula manca un segno "meno" davanti a f'(0); per il resto va bene.
Quote:

Il mio dubbio era se si potesse fare un ragionamento del genere. La delta gode di questa proprietà, che si dimostra banalmente prendendo gli integrali di ambo i menbri tra -oo e +oo:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)
Qui ho qualche dubbio di natura semantica.
Dunque: a primo membro hai il prodotto di una funzione fondamentale (ossia: infinitamente differenziabile a supporto compatto) e una distribuzione, che è una distribuzione; invece al secondo hai il prodotto di un numero e di una distribuzione, che va inteso come un multiplo della distribuzione delta (le distribuzioni formano uno spazio vettoriale).
Allora l'uguaglianza si può interpretare solo come uguaglianza tra distribuzioni, e l'interpretazione è la seguente: per ogni funzione fondamentale f, la distribuzione f(t)delta(t) è uguale alla distribuzione f(0)delta(t). Il che a sua volta vuol dire: per ogni funzione fondamentale g(t), il valore della distribuzione f(t)delta(t) su g, è uguale a f(0) volte il valore della distribuzione delta su g. E direi che questo è proprio vero.
Quote:

allora uno si può chiedere:

f(t)δ'(t) = ?

Per rispondere si può provare a prendere la derivata del prodotto:

[f(t)δ(t)]' = f'(t)δ(t) + f(t)δ'(t)

poi si considera che per la proprietà della delta scritta sopra:

[f(t)δ(t)]' = [f(0)δ(t)]' = f(0)[δ(t)]' = f(0)δ'(t)

perché f(0) e una costante. Poi sempre usando la stessa proprietà della delta, il primo addendo a secondo membro diventa:

f'(t)δ(t) = f'(0)δ(t)

Quindi sostituendo i risultati trovati:

f(0)δ'(t) = f'(0)δ(t) + f(t)δ'(t)

E infine isolando il secondo addendo a secondo membro risulta:

f(t)δ'(t) = f(0)δ'(t) - f'(0)δ(t)

che è la risposta alla domanda iniziale.

Ecco, io ricordavo una proprietà del genere della δ'(t), anche se avevo incertezze sul segno (che infatti è l'opposto di quanto avevo ipotizzato all'inizio!). Il discorso mi funziona, ma sono incerta sui passaggi fatti...in particolare mi chiedevo se fosse rigorosamente lecito applicare la formula della derivata di un prodotto quando c'è di mezzo una distribuzione. :boh:
Secondo me, il modo più semplice per non avere questo tipo di dubbi, è trattare le distribuzioni per quello che sono, ossia funzionali lineari debolmente continui sullo spazio delle funzioni fondamentali; e non per quello che vorremmo che fossero, ossia "funzioni fasulle" ;)
Con questa filosofia: se T è una distribuzione e g è una funzione fondamentale, indica con <T,g> il valore di T su g.
Se f è una funzione infinitamente differenziabile (non occorre che sia anche una funzione fondamentale), allora puoi definire Tf (o fT) come la distribuzione che soddisfa <Tf,g>=<T,fg> per ogni funzione fondamentale g. (Esercizio: dimostrare che Tf è davvero una distribuzione.) Allora puoi applicare la regola di derivazione del prodotto, perché:
Codice:

<(Tf)',g> = - <Tf,g'>
          = - <T,fg'>
          = - <T,(fg)'-f'g>
          = - <T,(fg)'> + <T,f'g>
          = <T',fg> + <Tf',g>
          = <T'f,g> + <Tf',g>

per ogni funzione fondamentale g, e quindi (Tf)'=T'f+Tf' come distribuzione.
Fa' attenzione, però, perché (Kolmogorov&Fomin, edizione italiana, pag. 204) non si può definire il prodotto di due distribuzioni generiche in modo che sia continuo e contemporaneamente che il prodotto di due distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili sia la distribuzione indotta dal prodotto delle due funzioni.

Qwertid 16-07-2006 22:02

Ciao ragazzi! :D
Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente? Vi ringrazio :)


Ziosilvio 16-07-2006 23:18

Quote:

Originariamente inviato da Qwertid
Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente?

Solo per il modo orrendo in cui ci hai sottoposto il tuo problema, meriteresti di non avere risposta :nonsifa: :banned:

:D
La prossima volta, usa LaTeX, o testo puro in un tag "code".

Ad ogni modo: parti bene, ma alla terza riga sbagli a calcolare l'integrale di (y+5)dy tra -sqrt(4-x^2) e sqrt(4-x^2).
Infatti la primitiva è y^2/2+5y, ma il primo addendo calcolato tra i due estremi è (4-x^2)/2-(4-x^2)/2, ossia 0.
Te ne potevi accorgere osservando che y è una funzione dispari, e integrata su un intervallo simmetrico dà 0.
Per cui, rimane solo il pezzo 10*sqrt(4-x^2).

Lucrezio 17-07-2006 10:58

Quote:

Originariamente inviato da Qwertid
Ciao ragazzi! :D
Qualcuno di voi potrebbe dirmi se questo integrale l'ho svolto correttamente? Vi ringrazio :)


Un errorino c'è...

Qwertid 17-07-2006 12:08

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Solo per il modo orrendo in cui ci hai sottoposto il tuo problema, meriteresti di non avere risposta :nonsifa: :banned:

:D
La prossima volta, usa LaTeX, o testo puro in un tag "code".

Ad ogni modo: parti bene, ma alla terza riga sbagli a calcolare l'integrale di (y+5)dy tra -sqrt(4-x^2) e sqrt(4-x^2).
Infatti la primitiva è y^2/2+5y, ma il primo addendo calcolato tra i due estremi è (4-x^2)-(4-x^2), ossia 0.
Te ne potevi accorgere osservando che y è una funzione dispari, e integrata su un intervallo simmetrico dà 0.
Per cui, rimane solo il pezzo 10*sqrt(4-x^2).

Ti ringrazio per l'aiuto :D In effetti ho postato in maniera scandalosa ma domani c'è l'esame di analisi II e non ho tanto tempo per le finezze :p

Il mio dubbio più grande era se integrare direttamente con gli estremi dati e considerare come funzione y=1 oppure fare qualche magagna prima :D

Grazie ancora per l'aiuto! ;)

Bandit 17-07-2006 12:55

Codice:

Se ho ---x(t)----->[__LTI___]----y(t)--->


se ho un x(t)= cos(2πf0t) che entra in un sistema lineare tempo invariante con risposta impulsiva h(t), l'uscita è 1/2|H(f0)|[e^(j2πf0t+faseH(f0)+e^(-j2πf0t+faseH(f0))]
la spiego poichè non la so scrivere 1/2 per il modulo di H(f0) che moltiplica la formula di eulero del coseno: dove agli esponenziali normali si aggiunge l'esponenziale con la fase di H(f0).

ora come faccio a sapere che H(f0)=j2πf


Qwertid 17-07-2006 13:52

Scusate mi è venuto un altro dubbio :D

"Assegnata la funzione f(x,y)=alfa*log(1+xy) determinare le direzioni di massima e minima pendenza di f nel punto di coordinate (1,2). Per quali valori di alfa tali direzioni sono ortogonali al vettore (1,-2)?"

Facendo i conti e risolvendo la prima parte dell'esercizio trovo che le direzioni di massima e minima pendenza sono indipendenti dal valore di alfa.. Di conseguenza ogni valore di alfa sarà accettabile come direzione ortogonale al vettore.. La mia domanda è : qual è il significato nascosto che sta dietro questo fatto? Ovvero perchè accade una cosa del genere (dal punto di vista geometrico?)? Grazie! :D

Ziosilvio 18-07-2006 17:02

Quote:

Originariamente inviato da Qwertid
Facendo i conti e risolvendo la prima parte dell'esercizio trovo che le direzioni di massima e minima pendenza sono indipendenti dal valore di alfa.

Questo è naturale: applicando una moltiplicazione di fattore alpha>0, tu puoi cambiare l'entità dello spostamento, ma devi farlo dello stesso fattore in ogni punto, per cui le direzioni di massima variazione rimangono quelle.
Quote:

La mia domanda è : qual è il significato nascosto che sta dietro questo fatto?
Semplicemente quello che ho detto poco fa.


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