Io ho buttato giù un abbozzo di soluzione alla veloce prima di cena e mi risultava un'equazione di secondo grado in tgx (con x sempre lo stesso angolo) e veniva esattamente lo stesso risultato (forse a meno di un segno ma probabilmente errore mio).

Quindi o c'è un errore nel testo (per come lo ha riportato il nostro amico) oppure il problema è proprio pensato male, perché anche io mi aspettavo un angolo noto...;)

Ho provato anch'io a svolgere l'esercizio, considerando come incognita l'angolo al centro theta, anziché quello alla circonferenza.
E ho ottenuto anch'io un'arcotangente strana. (Di fatto, a un certo punto ho dovuto porre t = tan(theta/2), quindi sin theta = 2t/(1+t^2) e cos theta = (1-t^2)/(1+t^2).)
E ho ottenuto lo stesso risultato, nel senso che t = 2 sqrt(2) - sqrt(3).

Stando così le cose, quoto.

ok grazie, oggi il prof lo ha fatto ed gli è venuto, si vede che ieri era addormentato come suo solito, ciò non cambia che lo prenderemo in giro un mese...:D

comunque gli svolgimenti da voi postati sono esatti, non esce un angolo noto ma circa 47°. :mc:

E se ci quota ziosilvio...

:D

Secondo me ha letto la soluzione nottetempo su hw-upgrade!

:ciapet:

cosa strana nelle sQuole italiane, eh?:ciapet:
Non scorderò mai la frase della prof, a cui non riusciva neanche un esercizio: vabè ragazzi questo lo finite a casa... e tutti a ridere

Il mio - che sento a tutt'oggi - era esattamente il contrario: grande classe, una specie di Byron di un altro pianeta che seduceva con l'acutezza dello sguardo e la forza delle parole.

Ricordo soprattutto due sue frasi. La prima, quando andavo alla lavagna per chiedere lumi su qualche esercizio che non riuscivo a risolvere, era sempre la stessa: "Non vedo dove sia la difficoltà. E' immediato!"

:(

La seconda, molto diversa dalla prima, me la disse invece abbracciandomi nel giorno della mia laurea: "Dell'argomento della tua tesi non ci ho capito un caxxo. Ma da come muovevi le mani alla lavagna una cosa l'ho capita: mi hai rubato il mestiere!"

:ciapet:

Salve, vorrei sapere il modo più veloce ed efficace per risolvere il seguente semplice limite :

bella questa:stordita:

Il più veloce che mi viene in mente: espandi in serie il seno fermandoti al primo termine, espandi il coseno fermandoti al secondo termine, calcola al denominatore il cubo dello sviluppo del coseno limitandoti ai primi due termini (dovresti ottenere: 1 - 3/2 x^2). A questo punto ottieni un rapporto fra potenze di due di x, che semplifichi. Il risultato dovrebbe essere 2/3.

Scomponi il denominatore dato che è una differenza di cubi. Poi riscrivi il numeratore come (1 - (cosx)^2) e anche questo scomponilo, ma come differenza di quadrati.

Così facendo ti accorgi che puoi sempificare il fattore (1 - cosx) che porta l'indeterminazione e trovi che il limite vale 2/3.

Giusto! Così però è come sparare ad una mosca con un ...cannone!

:Prrr:

Infatti ero sicuro che fosse possibile trovare un metodo che non coinvolgesse lo sviluppo in serie. Ma mentalmente costa meno usare un metodo che funziona quasi sempre... e cercare eventualmente dopo una soluzione più raffinata in nome dell'eleganza :D

;)

:sbonk:

Dovresti fare il ricercatore...hai capito davvero tutto. :rotfl:

Rieccomi fra voi..stavolta con domande sulla teoria della misura, integrale di Lebesgue, funzioni peso..e altre amenità che mi all'atto pratico sfuggono. :muro:

1)Se 2 funzioni sono ortogonali in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso, lo sono rispetto a qualsiasi peso.
Mh..falso. Ma solo perchè quando specifichiamo l'ortogonalità delle funzioni bisogna sempre riferla a qualche peso. Come nel caso dei polinomi di Hermite.
Però non saprei andare oltre...O forse, il peso determina solo la normalità e non l'ortogonalità..Uff.

2)Se una funzione w(x), definita per x reale, è un peso accetabile per definire un prodotto scalare in un intervallo finito [a,b] allora è un peso accettabile anche per un intervallo [c,d] contenuto in [a,b]
Non vedo controindicazioni..Forse dovrei studiare le proprietà di una funzione peso, ma non riesco a trovare informazioni a riguardo. Sicuramente la positività nell'intervallo in cui viene utilizzata..e in questo caso non dovrebbero esserci problemi.

3)La precedente affermazione vale per ogni intervallo [c,d] purchè finito.
Qualsiasi [c,d] finito contenuto in [a,b]? Non capisco..:confused:

4)Un insieme di funzioni che costituisce una base in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso w(x) costituisce una base rispetto allo stesso peso in qualunque intervallo.
Falso, se non altro perchè non è detto che il peso (e quindi il prodotto scalare) sia definito al di fuori di quell'intervallo.

5)La funzione exp[|x|] è un peso accettabile per qualunque intervallo reale, finito o infinito.
Ha senso che un peso diverga a infinito su di un intervallo infinito? Non è detto che il prodotto scalare sia definito..penso per esempio ai polinomi.

6)La funzione peso non può fare parte dell'insieme di funzioni da ortogonalizzare in un certo intervallo
Non vedo controindicazioni ma non so andare oltre. E quindi è molto probabile che mi sbagli.:(

7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.
Qui immagino abbia a che fare Lebesgue..L'insieme dei punti isolati è numerabile (stessa potenza degli interi?) e mentre l'integrale di Rienmann non esiste (è discontinua ovunque, non si tratta quindi di una quantità numerabile di discontinuità), quello di Lebesgue esiste uguale a zero.
E l'esempio?:rolleyes:


Come vedete provo ad abbozzare una risposta per non dare l'impressione di chiedere l'aiuto senza nemmeno provarci. Ma mi rendo conto di essere piuttosto impreciso.
:)

Purtroppo non mi ricordo quali debbano essere le proprietà di una funzione peso.
Io mi ricordo solo:
- non negatività, almeno quasi ovunque; e
- massa positiva, ossia l'integrale del peso esteso a tutto lo spazio deve essere positivo.
In particolare, non mi ricordo se un peso può essere identicamente nullo in un intervallo, o se può annullarsi solo in singoli punti.
Cosa dice il tuo testo?

Intanto grazie.
Il miei testi sono piuttosto "rapidi" nella definizione, per questo mi lasciano con molti dubbi.
Indicando con w(x) il peso leggo
- Tricomi: w(x) funzione misurabile fissa, che conviene supporre positiva, con l'eventuale eccezione di un insieme di misura nulla in cui può annullarsi.
- Kolmogorov: w(x) è una funzione sommabile, non negativa, fissata.

Allora sappiamo che w(x) deve essere positivo, può annullarsi in punti singoli (insieme di misura nulla) ed è sommabile (quindi non diverge ad infinito?).

Allora diciamo che un peso su un insieme X è una funzione
1) positiva quasi ovunque su X, e
2) a integrale (su X) finito.
Usiamo questa definizione nel sèguito.
Bada bene che la condizione 1 non implica che gli zeri siano tutti isolati: non è specificato che il peso sia una funzione analitica.
Falso: i polinomi di Legendre sono ortogonali in [-1,1] rispetto al peso w(x)=1, ma non rispetto al peso w(x)=1/sqrt(1-x^2).
Praticamente, si definisce



e questa forma bilineare deve essere un prodotto scalare, ossia soddisfare
- <f,f> >= 0 per ogni f, e
- <f,f> = 0 se e solo se f è identicamente nulla (o nulla q.o.).
E direi che ci siamo...
Ossia: quella di cui sopra non vale sempre, ma vale se il sottointervallo è finito.
Boh... a naso, sembrerebbe valere sempre...
Mal posto: non si capisce come dovrebbero comportarsi, al di fuori dell'intervallo, tanto le funzioni quanto il peso.
No, perché exp(|x|) ha integrale infinito su ogni intervallo illimitato.
Sarebbe stato vero se il peso fosse stato exp(-|x|).
Falso: il polinomio di Legendre di indice zero è proprio la costante 1.
Ci devo pensare.

P.S.: dove hai trovato 'sto quiz?

Ottimo! Gli esempi e i controesempi sono esattamente quello che mi mancava per dare un senso e completare le mie risposte.

Allora l'ultima è realmente insidiosa..:mad:
Conoscendo i contenuti del mio corso, sicuramente a che fare con qualche funzione patologica che abbiamo studiato. Per questo ho pensato alla funzione di Dirichlet, che è 0 negli irrazionali e nei razionali vale 1.
Questa funzione ha la peculiarità di essere discontinua ovunque, in quanto i razionali sono densi negli irrazionali e viceversa.
Se provo a modificarla così:

f(x) =
0 quando x è irrazionale
1 quando x è razionale
1 quando x=kPi

..ottengo una funzione che attorno a x=kPi mantiene da una parte o dall'altra lo stesso valore per non più di 2 punti. Quindi ho continuità. Si tratterebbe di un punto isolato di continuità? La funzione dovrebbe continuare a non essere integrabile secondo Riemnann, ma solo secondo Lebesgue. Ancora una volta con valore 0 (forse..)
Se puoi dimmi cosa ne pensi :)

Sono quesiti tratti da esami scritti passati del corso di Metodi Matematici I che è tenuto presso la facoltà di Fisica che frequento.

Grazie