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per parti hai provato? mettendo ad esempio 1/x * cos()/x
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L'ho fatto con il Mathematica
esce 2*Pi*t. Prima non convergeva perchè non avevo posto t come parametro |
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Io l'ho risolto col Teorema dei residui per t=1, e mi viene Pigreco. Sempre per t=1 e sempre con Mathematica, integro tra 0 e +oo e mi viene 1.57 e qualche cosa, che non a caso è Pigreco-mezzi o giù di lì. Dove sbaglio? Nota: l'ho rifatto con Maxima per t>0 arbitrario, e mi dà Pigreco*t. Quindi inizio a credere che ci sia un fattore 2 di troppo nella tua stima. Altra nota: rifacendolo per t<0 (sempre con Maxima) mi sono accorto che in realtà l'integrale vale Pigreco*|t|. Questo in realtà si capisce ricordando che il coseno è una funzione pari. |
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La funzione è quella però moltiplicata per 2 :D |
Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]
come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale... |
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Quando si deve calcolare l'integrale esteso a IR di una funzione del tipo "cosa in seno o coseno, diviso polinomio", conviene sostituire la parte trigonometrica con un esponenziale complesso, e valutare l'integrale originario come limite della parte reale (o immaginaria, a seconda dei casi) di un'opportuna famiglia di integrali della funzione olomorfa ottenuta. Nel nostro caso, la funzione da integrare è u(x) = (1 - cos tx)/x^2. Fai presto a vedere che l'integrale di u, è pari a |t| volte l'integrale di v(x) = (1 - cos x)/x^2. Sia f(z) = (1 - exp(jz))/z^2: si vede subito che f è olomorfa in C privato dell'origine, dove ha un polo semplice con residuo -j = 1/j. Per R>0 sia Gamma(R) il circuito costituito dai seguenti quattro pezzi: - Gamma1(R): intervallo [1/R,R]; - Gamma2(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio R, contenuta nel semipiano superiore; - Gamma3(R): intervallo [-R,-1/R]; - Gamma4(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1/R, contenuta nel semipiano inferiore. Per ogni R, l'indice di avvolgimento di Gamma(R) rispetto all'origine è 1: per il Teorema dei Residui si ha allora: Codice:
/ Ora, è chiaro che la somma dei contributi di Gamma1 e Gamma3, converge per R-->oo all'integrale su IRdi v(x): quindi occorre stimare gli altri due. Consideriamo l'integrale di f(z) su Gamma2(R). Ponendo z = R exp(jt) troviamo: Codice:
/ / Pi Codice:
| / | / Pi Consideriamo adesso l'integrale di f(z) su Gamma4(R). Ponendo z = exp(jt)/R troviamo: Codice:
/ / 2 Pi Allora l'uguaglianza data dal Teorema dei Residui ha al primo membro una quantità che converge all'integrale di v(x) su IR, più Pi; e dall'altra parte 2 Pi. Quindi... ;) |
Ti sei ammazzato di lavoro :D
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Problema sulle probabilità
1 -Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta???
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Dài, che non è difficile... ;) |
ZioSilvio perché niente LaTeX? Tutti quegli integralacci sembrerebbero meno mostruosi... :D
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La probabilità di sbagliarne tre di fila è 4/5*4/5*4/5=64/125 Quindi la probabilità di azzecarne almeno una andando a casaccio è 1-64/125=61/125 |
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Maledizione, certo che se Edivad ci implementasse LaTeX direttamente nel forum (come su quello delle olimpiadi di matematica)... |
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integrale
Come si risolve questo integrale?
int lnx/x |
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