Con le opportune restrizioni sul dominio di G che non può essere più grande dell'immagine di F!
In questo caso, in particolare, y>=0!

Avevo fatto un errore nell'integrazione....ora dovrebbe essere giusto...help me (soprattutto per il problema del dominio): giovedì ho l'esame orale :help: :cry:

Allora, se io voglio trovare il volume del solido che si forma con la rotazione sull' asse delle x di una qualsiasi funzione (in un intervallo ovviamente) utilizzo la formula : pigreco per integrale della funzione al quadrato. (vado a memoria, forse ho dimenticato qualcosa...)

Ma se devo trovare il volume che si forma dalla rotazione dell'asse y??
Cosa devo fare? Va bene se simmetrizzo la funzione per la bisettrice y=x e poi applico la solita formula? Oppure sto dicendo una cavolata?

E ancora, se la rotazione avvenisse su una retta qualsiasi (Y=2 ad esempio)?

Grazie :D

nel caso in cui sia la rotazione intorno a y basta sostituire x con y. Quindi diventa:
(pi)int(y^2dx) tra y1 e y2 (importante notare che non è piu x1 x2)

nel caso in cui sia intorno ad una retta del tipo y=2 (banale) o una qualsiasi retta del tipo y=mx+q basta applicare un affinità isometrica (!!!) che trasformi la retta in uno dei due assi.

Giusto.
Infatti il solido di rotazione è formato da tanti cilindretti infinitesimi, aventi raggio di base f(x) e altezza dx.
Allora è : 2 Pi integrale di (x f(x)) dx.
Te ne accorgi così: il solido di rotazione è formato da tante corone cilindriche infinitesime, aventi raggi di base x e x+dx, e altezza f(x), quindi volume ((x+dx)^2-x^2)f(x), ossia f(x)*(2x dx + (dx)^2). Quando vai a integrare, la parte f(x) (dx)^2 è un infinitesimo di ordine troppo grande per contribuire, e l'integrale si riduce a quanto detto poc'anzi.
Allora le cose si fanno complicate, perché non è detto che il grafico di una funzione della variabile x, sia anche il grafico di una funzione in cui la variabile indipendente varia lungo una retta non orizzontale.

equazione differenziale
 

ho questo problema di cauchy:

y''+2y'+4=3sin(2x)
y(0)=0
y'(0)=1/4

la soluzione y(x) che cerco dovrebbe essere data da

soluzione dell'omogenea + soluzione particolare.
ho il polinomio dell'equazione che è k^2+2k=0, quindi k=0 e k=-2 e la soluzione dell'omgenea è

c1 e^0x + c2 e^-2x = c1 + c2 e^-2x

a questo punto per trovare la soluzione particolare che forma generale devo usare per poi poter trovare i coefficienti?
ho provato mettendo y(x)=a cos (2x) + b sin (2x) ma nn viene, cosa devo mettere?
grazie

Grazie!

Altra domanda: voglio verificare che data una funzione continua (limitata/chiusa e non) questa abbia almeno una e poi più precisamente una sola soluzione.

Io farei così:

se la funzione è limitata e chiusa allora applico il teorema degli zeri e vedo se esiste almeno una soluzione.
Per verificare che sia unica calcolo la derivata (prima o seconda???) e controllo se è monotona o no. Se lo è esiste un'unica soluzione.

se la funzione nn è limitata allora calcolo i limiti a + e - infinito della x e se vanno in sensi opposti esiste certamente uno zero.
Per verificare che sia l'unico calcolo la derivata (prima o seconda???).

Il mio dubbio come potete vedere è quale derivata calcolare x verificare l'unicità dello zero.
Io farei la derivata prima, ma ho letto un teorema sul libro che sostiene che bisogna derivare 2 volte! E' così? e perchè?

allora, la tua equazione differenziale lineare è:

y''+2y'+4=3sin(2x)

Ti do un'idea che dovrebbe funzionare ( :D ) Scrivila come:

y''+2y'=3sin(2x) - 4

Considera le due equazioni differenziali:

y''+2y'= 3sin(2x) (1)

y''+2y'= -4 (2)

Se la funzione g1(x) è soluzione della (1) e la funzione g2(x) è soluzione della (2) allora la funzione g1(x)+g2(x) è soluzione dell'equazione di partenza (y''+2y'+4=3sin(2x) ) (questo avviene perchè la derivata è un operatore lineare)

;)

y''+2y'+4= 3sin(2x) (1)

y''+2y'= -4 (2)

la 1 nn dovrebbe essere y''+2y'= 3sin(2x) secondo il tuo ragionamento?
cmq nn riesco a capire come trovare la soluzione particolare più che altro, come devo fare?

Allora, il teorema degli zeri ok, se la funzione cambia segno agli estremi ed è continua ha sicuramente uno zero; per vedere che la soluzione sia unica fai la derivata prima: se la funzione è monotona sei a posto.
Altrimenti devi trovare tutti i max - min - flessi (facendo la derivata seconda ad esempio!) e verificare che la funzione cambi segno solo una volta...

Sì sì certo, scusami, nel fare copia è incolla ho dimenticato a togliere il 4 :D Ora edito ;)

C'è il thread apposito
Inoltre da qualche parte ci dovrebbe essere anche una guida alle equazioni differenziali... ad esempio:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1009809
In questo caso puoi limitarti, una volta trovato l'integrale generale dell'omogenea, a usare questo trucchetto:
Il tuo termine non omogeneo è del tipo A sin(wx)
Considera le radici del polinomio caratteristico:
-se w non è radice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A sin(wx)
-se w è radice semplice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A x sin(wx)
- se w è radice doppia del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo a x^2 sin(wx)
In tutti i casi ti limiti a sostituire a y la tua funzione e a trovare il giusto valore di A!

A ogni tipo di funzione a secondo membro corrisponde un certo tipo di soluzione. inoltre devi controllare le soluzioni dell'equazione caratteristica. Spiegarlo a parole mi viene difficile ti faccio un esempio.

Sia la fnzione a secondo membro una polinomio P(x) di grado n:

- Se lo non 0 è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x) con Q(x) polinomio di grado n.
- Se lo 0 è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x)*x^h con Q(x) polinomio di grado n.

In generale se la funzione a secondo membro è del tipo f(x)= P(x)e^(ax)sin(bx) (oppure f(x)= P(x)e^(ax)cos(bx) ) con P(x) polinomio di grado n:

- Se a+ib (numero complesso) non è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.
- Se a+ib è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=x^h(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.

Insomma la solita papardella per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti :stordita:

PS: in genere è un macello trovare ste soluzioni particolari perchè devi calcolare le derivate ennesime ( :eek: ), sostituirle nell'equazione differenziale, e imporre che i due membri coincidano per trovare i coefficienti che ti servono ...noioso!!

Carina la guida, mi era sfuggita, complimenti :) Ci sarebbe da spendere qualche parolina sugli altri tipi "principali" (a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli) e magari anche sull'unicità (teorema di Cauchy di esistenza e unicità etc)...Appena mi do analisi II (spero domani :stordita: ) magari scrivo due paroline (nei limiti dele mie esigue conoscienze in merito) che dici?

perfetto ora ho capito, grazie mille a tutti

io ce l'ho il 26 analisi B, speriamo in bene, il primo parziale 25 spero di nn abbassarlo! cosa studi?

Ingegneria elettrica :) Ho fatto lo scritto lunedì ed è andato abbastanza bene...ora viene il bello :stordita: In bocca al lupo per l'esame!Anche tu ingegneria?Cosa?

Una trattazione generale delle equazioni a variabili separabili e di quelle di Bernoulli mi sembra un'ottima idea...
Sull'esistenza e unicità...
Cazzo è pesissima quella dimostrazione! Secondo me è meglio lasciar stare... anche perché richiede conoscenze non elementari (al limite si potrebbe far vedere solo come si dimostra l'unicità, dando per scontata l'esistenza, che già non è poco...)

pensavo di aver capito, mi son messo a farlo e nn riesco :cry:
devo sceglierla io w o fare i vari casi?
mi dite i passaggi da fare per trovare la soluzione particolare pls
grazie

Nel tuo caso w è uguale a tre...
se vuoi ti faccio i passaggi!