Stai confondendo le cose. La funzione f(x)=1/x e' definita su R tranne che in zero. Quindi il suo dominio di esistenza e' R-{0). Dimmi tu che centra la continuita' ? Una volta che hai determinato il dominio di esistenza puoi incominciare a chiederti quali siano le proprieta' di continuita'/discontinuita' etc... della funzione. In questo caso ad esempio 1/x e' continua su tutto il suo dominio di esistenza. Non e' invece continua su R perche' non e' definita in 0.

ciao,
ho capito cosa intendi ma mi basavo sulla definizione intuitiva che dice che una funzione è continua sse la si riesce a disegnare senza mai staccare la penna.

Stai dimenticando una cosa pero', che questa intuizione vale solo per funzioni continue definite su un intervallo. La parola chiave e' intervallo. Quando esci da questa condizione restrittiva la tua intuizione non funziona piu' come ti dimostrato l'altro giorno con una funzione continua ma che non si puo' disegnare tutta d'un tratto perche' definita su un insieme che non e' un intervallo. Spero sia chiaro. :)

ciao,
ammetto che a volte ho un metodo di studio dove le cose quasi me le invento di sana pianta.
Mi viene da chiedere allora se la continuità è studiabile solo per intervalli finiti esempio [a, b] e se invece è determinabile se una funzione è discontinua in R usando il campo di esistenza.

Nell'esempio f(x)=1/x se studio il limite sinistro/destro per x->5 la funzione è continua; idem se faccio il limite sinistro/destro per x->-100 ma se mi sposto in zero scopro ch enon lo è giusto?
Ma tale informazione non la vedevo già osservando il campo di esistenza solo per questo caso specifico?

Certo che no. Se f ha un dominio di esistenza D, la continuita' di f la studi su D. E niente ti assicura che D sia un intervallo.

Per studiare la continuita' di f in un punto x, e' necessario che x appartenga a dominio di esistenza di f. Nel caso di 1/x, chiedersi se la funzione sia continua o meno in x=0 non ha alcun senso perche' la funzione non e' definita in 0.

Ti faccio l'esempio di una funzione f che estende 1/x a tutto R ma che non e' continua in 0

Questa e' una funzione definita su tutto R, il limite sinistro di F in x=0 esiste (finito o infinito), il limite destro di F esiste in x=0 (finito o infiinto) ma ovviamente la funzione F non e' continua in x=0 perche' il limite destro e' diverso dal limite sinistro.

cerchiamo di fare un po' d'ordine....
1) campo di esistenza (=dominio): valori di x per cui ha senso chiedersi quale sia l'immagine di un x numero reale mediante f.
2) i limiti di funzione: la funzione sarà definita in un insieme che non sarà necessariamente l'insieme dei numeri reali, nulla vieta di considerare un insieme contenuto strettamente in R, potrà essere aperto, chiuso, nessuno dei due, limitato, connesso, non connesso etc etc....;ok, consideriamo ora un punto di accumulazione x0: nota bene che un punto di accumulazione del dominio NON e' detto che appartenga ad esso (esempio: funzione 1/x , dominio R-[0], 0 è di accumulazione, ma non appartiene al dominio). per questi punti ha senso chiedersi quale sia il limite di una qualunque successione xn che converge a x0, che sia xn diverso da x0 per ogni n. allora un noto teorema dice che lim n->+inf f(xn) = a iff lim x->x0 f(x) = a. nota che il valore del limite NON dipende dal valore assunto da f nel punto x0 (dove infatti potrebbe anche non essere definita).
3) continuità: se si considera un punto appertenente al dominio x0 ovviamente in esso f è definita . immaginiamo anche che x0 sia di accumulazione (altrimenti avrebbe anche poco senso parlare di limite). Per quello che abbiamo detto prima il valore di lim x-> x0 f(x) non dipende dal valore di f in x0. Allora diciamo che f è continua se e solo se lim x->x0 f(x)=f(x0) ;
in realtà per dire cosa sia la continuità e il limite avrei dovuto usare la definizione formale, da cui esce molto più naturalmente.

per la questione del campo di esistenza: f(x)=x^2 definita in (-2,0)U(0,1). seguendo la tua intuizione dovrei dire che f è discontinua in 0.ora ti giro la domanda... ha senso dire che è discontinua in 0?

Ti sei dimenticato l'altro caso e cioe' x appartiene al dominio di f ma e' un punto isolato.


f non e' definita in 0 quindi e' discontinua.
Tuttavia si puo' creare un prolungamento per continuita' di f, chiamamolo g per non fare confusione tale che :

g(x)=f(x) per x in (-2,0)U(0,1)
g(0) = 0

E g risulta essere continua in 0.

gliel'avevi già ricordato te nel tuo esempio :D comunque è vero per completezza di informazione aggiungo che se una funzione è definita in un punto isolato ovviamente essa è continua in quel punto, anche se non si può usare il teorema continua iff f(x0)= lim x->x0 f(x)

per essere pignoli non ha senso dire che una funzione è o meno continua in un punto che non appartiene al dominio. Per il resto non fa una grinza

ciao,
ma non è forse il campo di esistenza da te definito che già mi comunica che la funzione in 0 non esiste?
E quindi in questo caso specifico i limiti posso evitare di calcolarli?

Se avessi avuto, anche se privo di senso f(x)=x^2 definita in (-2,0]U[0,1) la funzione sarebbe continua in [-2,1] anche se sappiamo a priori che è una funzione continua su tutto R

esatto era a trabocchetto..non ha senso dire che la funzione è continua in 0 perchè 0 non appartiene all'insieme di definizione..i limiti destro e sinistro sono però uguali tra di loro e si può estendere f a una funzione continua in (-2,1).
forse il termine più corretto non è "esistere", ma "essere definita", ti ho portato come esempio una funzione definita in un intervallo, ma può essere estesa senza problemi di esistenza a tutto l'asse reale (perchè, per come è costruita, la funzione potenza nesima di x ad un qualunque numero reale associa un altro numero reale). Nulla vieta di considerare una funzione definita in un sott'insieme del campo di esistenza (o insieme massimale di definizione = il più grande insieme in cui f sia definita)...

edit

ciao,
come si risolve un limite di questi tipo?

limite n->+oo (3^n - n^3 * 2^n)

Ho provato ad usare il metodo che tiene ferma la base e fa muovere l'esponente cioè:

limite n->+oo (3^n - n^3*2^n) = lim n->+oo ( 3^n - e^(3log(n))*2^n )

ma poi?

grazie

Nell'espressione originale metti in fattore il termine dominante.

ciao,
intendi

limite n->+oo (3^n - n^3 * 2^n) =

limite n->+oo 3^n(1 - n^3 * (2^n/3^n) ) =

la parte in grassetto va a zero ma n^3 la riporta all'infinito e quindi sembra non funzionare nemmeno così :muro:

Sicuro di questo ? :stordita: Dai fai un piccolo sforzo non e' complicato.
Potresti usare qualche limite notevole. Oppure ricordarti qualche proprieta' tra le funzioni potenze e quelle esponenziali.

ciao,
anzi, n^3 * (2^n / 3^n) ---> 0

mi ero lasciato ingannare dal grafico

quindi il tutto tende a +oo

comunque, a quale proprietà delle potenze ti riferivi?

Risoluzione equazione
 

Salve, potreste darmi una mano a risolvere questa equazione?

Mi limito a dividere tutto per 2 così isolo la X ma poi?

Beh che una esponenziale e' sempre dominante su una potenza, e una potenza e' sempre dominante su qualsiasi potenza del logaritmo.

2^n/3^n tende a zero perche' 3^n domina 2^n, e 3^n domina n^3 da cui il fatto che il prodotto n^3*2^n/3^n tende a zero.

grazie goldorak

Stavo guardando una funzone per casi:

.......... 1+ cos(x) .......... quando x <= 0
........./
f(x) =
........ \
...........e^x ................. quando x > 0

si chiede in quali punti sia derivabile.

La prima cosa che mi è venuta in mente è scrivere 1 + cos(x) = e^x però uno si chiede per quali valori delle x è vera l'uguaglianza ?

Sbaglio o è uno di quei casi in cui si risolve o graficamente oppure sostituendo alcuni valori in quanto non esistono metodi risolutivi ?

Ho provato a sostituire le due funzioni con le relative serie di taylor fermandomi al 2° ordine ma ho notato che sembra un pò poco; ma forse è l'unica via percorribile?

ciao

La funzione è definita a tratti, e in ciascuno dei tratti coincide con una funzione derivabile.
Quindi, gli unici punti di non derivabilità possono essere i punti di congiunzione dei tratti: nel nostro caso, solo x=0.
Ma per essere derivabile in un punto, una funzione deve essere continua in quel punto...