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dario fgx 19-02-2007 19:44

SM II Anno Istituzioni di Fisica Teorica
 
Si ripropone di risolvere l'eqz. delle onde :
▼^2(Ψ) – (1\v^2)(δ^2\δt^2)Ψ = Φ
Fa quindi un preludio matematico e cioè:
Vuole risolvere utilizzando il metodo di Green.
Dice che se abbiamo una sorgente localizzata in un p.to possiamo cercare delle soluzioni in questo modo:

▼^2G(r,r’) = δ(r-r’) [dovrebbe essere una delta di Dirac]
Pone:

G(r,r’) = G(r-r’)

u = r r’

▼^2G(u) = δ(u)

Mi chiedo che significato ha questa operazione?Cosa è questa funzione di Green?
Cio’ che fa dopo mi è più chiaro anche se è laborioso però non ho capito questa funzione di Green che introduce una delta a che prò?
Cioè esiste una funzione che permette di risolvere una equzione tipo quella delle onde?Cioè dovrei prenderlo come una specie di teorema dal quale partire per cercare delle soluzioni?
Poi procede in questo modo [lo scrivo nel caso possa aiutarvi a capire cosa sta facendo]:
S = integrale tra – e + infinito
δ(x) = 1\(2π)^(1\2)SexpiKx dx [Questo cos’è?Un modo per esprimere la delta?]

E definisce
G(u) = Sg(K)expiku d^(3)K [Questo termine dovrebbe essere la nostra onda sferica]

Poi ne calcola il ▼^2 e lo pone uguale alla delta e procede con infiniti passaggi alla ricerca di una soluzione.
Le domande sono quelle sopra.
Grazie

Ziosilvio 19-02-2007 22:22

Quote:

Originariamente inviato da nin (Messaggio 16040638)
ho pensato alla funzione di Dirichlet, che è 0 negli irrazionali e nei razionali vale 1.
Questa funzione ha la peculiarità di essere discontinua ovunque, in quanto i razionali sono densi negli irrazionali e viceversa.
Se provo a modificarla così:

f(x) =
0 quando x è irrazionale
1 quando x è razionale
1 quando x=kPi

ottieni un'altra funzione discontinua in ogni punto, perché comunque prendi un punto e un intorno, l'intorno contiene un punto irrazionale diverso da 2kPi (in cui f vale 0) e un punto razionale (in cui f vale 1).

nin 19-02-2007 22:37

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16045990)
ottieni un'altra funzione discontinua in ogni punto, perché comunque prendi un punto e un intorno, l'intorno contiene un punto irrazionale diverso da 2kPi (in cui f vale 0) e un punto razionale (in cui f vale 1).

Mh..allora non so dove sbattere la testa :muro:

Ziosilvio 20-02-2007 10:38

Quote:

Originariamente inviato da nin (Messaggio 16028681)
7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.

Anzitutto osserva che la funzione



è continua in tutti e soli i punti della forma Xk = kPi.
Ha però il difetto di non essere L1(IR), perché |g(x)|=|sin x| per ogni x.
In compenso è limitata, quindi ti basta moltiplicarla per una funzione continua positiva L1 per ottenere l'esempio che ti serve.
E questa può essere



In finale, f(x)=g(x)h(x) è integrabile secondo Lebesgue su IR, ed è continua esattamente nei punti della forma Xk=kPi.

dario fgx 20-02-2007 10:41

e a me?nessuno ce pensa?

Ziosilvio 20-02-2007 12:14

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 16043544)
Cosa è questa funzione di Green?

http://en.wikipedia.org/wiki/Green_function
Quote:

non ho capito questa funzione di Green che introduce una delta a che prò?
Da Wikipedia.
Considera il primo membro dell'equazione delle onde, come un'applicazione a Psi dell'operatore lineare



Allora la funzione di Green è una funzione G che non dipende dal tempo, e che è soluzione dell'equazione



nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come



Ora, la tua equazione delle onde si riscrive



Sia G una funzione di Green. Allora



Dato che L è un operatore lineare e non agisce sulla variabile di integrazione, questo si riscrive



E questo vuol dire esattamente che



è soluzione della tua equazione delle onde.

ChristinaAemiliana 20-02-2007 12:14

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 16049813)
e a me?nessuno ce pensa?

Eh, non hai chiesto una cosa facile...una trattazione esauriente della funzione di Green è praticamente impossibile da fare su un forum. :D

Per quanto riguarda quello che ti serve capire ora, puoi pensare a quello della funzione di Green come un metodo per risolvere le equazioni differenziali lineari non omogenee. ;)

Qui c'è qualcosa:

http://www.thch.unipg.it/~franc/ct/node214.html

EDIT: Ops, preceduta! :stordita:

nin 20-02-2007 13:12

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16049772)
Anzitutto osserva che la funzione



è continua in tutti e soli i punti della forma Xk = kPi.
Ha però il difetto di non essere L1(IR), perché |g(x)|=|sin x| per ogni x.
In compenso è limitata, quindi ti basta moltiplicarla per una funzione continua positiva L1 per ottenere l'esempio che ti serve.
E questa può essere



In finale, f(x)=g(x)h(x) è integrabile secondo Lebesgue su IR, ed è continua esattamente nei punti della forma Xk=kPi.

Notevole. :mano:
Grazie per esserti arrovellato a sufficienza, non penso che io ci sarei mai arrivato in un tempo compatibile con la vita umana.

:)

pazuzu970 20-02-2007 14:37

Quote:

Originariamente inviato da nin (Messaggio 16051729)
Notevole. :mano:
Grazie per esserti arrovellato a sufficienza, non penso che io ci sarei mai arrivato in un tempo compatibile con la vita umana.

:)


:rotfl: :rotfl: :rotfl:

Ziosilvio 20-02-2007 15:52

Quote:

Originariamente inviato da nin (Messaggio 16051729)
Grazie per esserti arrovellato a sufficienza

Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

dario fgx 20-02-2007 17:36

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16050652)
http://en.wikipedia.org/wiki/Green_function

Da Wikipedia.
Considera il primo membro dell'equazione delle onde, come un'applicazione a Psi dell'operatore lineare



Allora la funzione di Green è una funzione G che non dipende dal tempo, e che è soluzione dell'equazione



nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come



Ora, la tua equazione delle onde si riscrive



Sia G una funzione di Green. Allora



Dato che L è un operatore lineare e non agisce sulla variabile di integrazione, questo si riscrive



E questo vuol dire esattamente che



è soluzione della tua equazione delle onde.

Grazie, purtroppo però questa parte
nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

nn mi è chiara.
Questo in particolare che vuol dire? <(LG)(x,y),f(y)>=f(x)

Ziosilvio 20-02-2007 17:45

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 16056249)
Grazie, purtroppo però questa parte
nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

nn mi è chiara.
Questo in particolare che vuol dire? <(LG)(x,y),f(y)>=f(x)

Una distribuzione su un aperto, è un funzionale lineare debolmente continuo sullo spazio delle funzioni fondamentali definite sull'aperto in questione.
In particolare, ogni distribuzione associa a ciascuna funzione fondamentale un numero reale.

Ora, quando si vuole indicare il valore di un funzionale H sullo specifico oggetto f, si usa di solito la scrittura <H,f>.

La scrittura che ho usato prima, ossia <(LG)(x,y),f(y)>=f(x), era un modo per dire che f si considera come una funzione della variabile y.

wisher 20-02-2007 18:53

Mi sapreste dire quale è il numero delle partizioni di un insieme di n elementi?

sirus 20-02-2007 18:56

Io sono arrivato a dire:
1 + Sommatoria(k = 1,k = n)(n!/(n - k)!) :)

Ziosilvio 20-02-2007 19:47

Quote:

Originariamente inviato da wisher (Messaggio 16057478)
Mi sapreste dire quale è il numero delle partizioni di un insieme di n elementi?

Però... te la sei scelta facile, 'sta domandina...

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Partiti..._of_partitions

Il numero di possibili partizioni di un insieme di n elementi, si chiama n-esimo numero di Bell.
I numeri di Bell soddisfano la relazione di ricorrenza


pazuzu970 20-02-2007 20:21

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16054545)
Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

:)

Anche tu lego?

:Prrr:

nin 20-02-2007 20:49

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16054545)
Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

Ora capisco tutto. La mia generazione è arrivata troppo tardi per il lego classico e troppo presto per il lego mindstorm..ma assolutamente in tempo per il Super Nintendo 16bit.
Condannati :doh:

pazuzu970 21-02-2007 01:37

Piccolo teorema notturno di pazuzu: "Se la somma di tre numeri complessi è nulla, allora la somma dei loro cubi è pari al triplo del loro prodotto".

Funge, funge...

:ciapet:

P.S.: Silvio mi raccomando, non postare la dimostrazione. Piuttosto pensa ad una possibile generalizzazione del teoremino, da mutare in "Grande teorema diurno di Ziosilvio"!... :D

wisher 21-02-2007 09:09

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16058284)
Però... te la sei scelta facile, 'sta domandina...

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Partiti..._of_partitions

Il numero di possibili partizioni di un insieme di n elementi, si chiama n-esimo numero di Bell.
I numeri di Bell soddisfano la relazione di ricorrenza


Grazie, avevo trovato anche io questa risposta, però ricordavo un più semplice 2^n e non mi tornava....
Mi sai dire cosa rappresenta 2^n?

Ziosilvio 21-02-2007 09:46

Quote:

Originariamente inviato da wisher (Messaggio 16062787)
Grazie, avevo trovato anche io questa risposta, però ricordavo un più semplice 2^n e non mi tornava....
Mi sai dire cosa rappresenta 2^n?

2^n è il numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi.


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