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wisher 14-12-2006 17:28

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Anzitutto, ricorda la definizione dell'esponenziale complesso: se z=x+iy, allora



In particolare, |e^z| = e^x.
Nel nostro caso, z=-sqrt(i).
Ora, un numero complesso non nullo ha n radici n-esime: suppongo l'esercizio intenda la determinazione principale della radice quadrata.
In tal caso, essendo i = cos Pi/2 + i sin Pi/2, risulta sqrt(i) = cos Pi/4 + i sin Pi/4. Quindi:

grazie

Ziosilvio 15-12-2006 09:20

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio

Sono a Roma per qualche giorno, e posso usare i libri della mia biblioteca domestica.

Sul "Manuale di matematica" di Spiegel (volume 10 della collana Schaum) ho trovato questa formula:



dove



è la funzione gamma di Eulero, e



è la funzione zeta di Riemann.

Quindi, per calcolare l'integrale, possiamo applicare la formula con n=4.
Ora, Gamma(4)=3!=6, mentre è noto che zeta(4)=Pi^4/90; per cui


fsdfdsddijsdfsdfo 15-12-2006 20:00

si puo costruire uno spazio chiuso a curvatura negativa?

nickdc 17-12-2006 15:17

Raga qualcuno mi saprebbe dire come calcolare molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?
Devo verificare se la seguente matrice è diagonalizzabile:
2 3 0
2 1 0
0 0 4

vado prima a trovarmi gli autovalori che sono:
t=4 t=4 e t=-1

il testo mi dice che la molteplicità algebrica per 4 è 2, mentre per -1 è 1. Sinceramente non ho capito il perchè!
Poi dice che la moltecplicità geometrica per 4 è 2, perchè?

Grazie a coloro che mi daranno una mano! :D

Ziosilvio 17-12-2006 17:21

Quote:

Originariamente inviato da nickdc
qualcuno mi saprebbe dire come calcolare molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?

La molteplicità algebrica di un autovalore di una matrice quadrata A, è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico det(tI-A).
La molteplicità geometrica è la dimensione del sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti.
La molteplicità geometrica non è mai maggiore della molteplicità algebrica, né minore di 1.
Se ogni autovalore della matrice ha molteplicità geometrica uguale alla molteplicità algebrica, allora la matrice è diagonalizzabile; e viceversa.
Quote:

Devo verificare se la seguente matrice è diagonalizzabile:
2 3 0
2 1 0
0 0 4

vado prima a trovarmi gli autovalori che sono:
t=4 t=4 e t=-1

il testo mi dice che la molteplicità algebrica per 4 è 2, mentre per -1 è 1.
Il polinomio caratteristico della matrice è ((t-2)*(t-1)-6)*(t-4)=(t^2-3t-4)*(t-4).
Di questi, il fattore di secondo grado ha somma delle radici pari a 3 e prodotto pari a -4: l'unica coppia di valori reali che soddisfa queste condizioni è quella formata da -1 e 4.
Quindi il polinomio caratteristico si riscrive (t+1)*(t-4)^2, la radice t=-1 ha molteplicità 1, e la radice t=4 ha molteplicità 2.
Quote:

Poi dice che la moltecplicità geometrica per 4 è 2, perchè?
Sia A la tua matrice.
Il vettore v=(0,0,1) soddisfa l'equazione Av=4v, quindi v è un autovettore corrispondente all'autovalore v=4.
Anche il vettore w=(3,2,0) soddisfa l'equazione Aw=4w, ed è un autovettore corrispondente all'autovalore v=4.
Dato che v e w sono linearmente indipendenti, il sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti all'autovalore t=4 ha almeno dimensione 2. Quindi...

nickdc 17-12-2006 17:51

Grazie Zio, ho ancora un altro dubbio...la molteplicità geometrica può corrispondere col rango della matrice?

Ziosilvio 17-12-2006 18:56

Quote:

Originariamente inviato da nickdc
la molteplicità geometrica può corrispondere col rango della matrice?

Sì, è possibile: è proprio quello che accade, per esempio, con la matrice identità.

flapane 18-12-2006 23:17

andando a calcolare l'integrale doppio di xe^y^2 con x^2<y<x^(2/3) e 0<x<1 mi sembra proprio non ci sia nessun modo di risolverlo, perchè si avrebbe integrale di e^y^2dy
Posso concludere che è un errore del testo o sto prendendo un abbaglio clamoroso?

Ziosilvio 19-12-2006 10:52

Quote:

Originariamente inviato da flapane
andando a calcolare l'integrale doppio di xe^y^2 con x^2<y<x^(2/3) e 0<x<1 mi sembra proprio non ci sia nessun modo di risolverlo, perchè si avrebbe integrale di e^y^2dy
Posso concludere che è un errore del testo o sto prendendo un abbaglio clamoroso?

Di che esame si tratta?

Se l'integrando fosse y*exp(y^2) invece di x*exp(y^2), si risolverebbe facilmente.
Ma qui, devi calcolare



e le primitive di exp(y^2) non si esprimono per mezzo di funzioni elementari, ma richiedono l'impiego di funzioni speciali, come la funzione degli errori immaginaria.

flapane 19-12-2006 12:46

grazie per la risposta.
In effetti è un esame di Analisi2, dove le funzioni immaginarie non vengono trattate.
Menomale, allora è stato commesso un errore e non da parte mia :)

CioKKoBaMBuZzo 19-12-2006 22:23

qualcuno mi può aiutare?

ho una funzione y=(x^2+2x-9)/(x^2-4)

questa funzione ha due punti speculari rispetto all'origine degli assi...proprio non riesco a trovarli :wtf:

utente222223434556 19-12-2006 23:07

Non riesco ad integrare questa funzione.
Probabilmente bisogna utilizzare il metodo di sostituzione, che non mi è molto chiaro (in particolare non sempre riesco a capire quale parte della funzione devo porre come parametro).

int e^2x/(e^2x - e^x - 2) dx

Qualcuno può aiutarmi?

Guts 20-12-2006 00:53

provo a darti uno spunto, anche perchè di più nn riesco, a quest'ora nn connetto più e inoltre sono mesi che nn faccio un integrale e nn sono freschissimo, prova così

scomponi il denominatore in (e^x - 2)(e^x + 1) e ottieni quindi

int( e^2x / [(e^x - 2)(e^x + 1)] ) dx

a questo punto dovresti dividere in due parti la frazione, ognuna con denominatore uno dei fattori del denominatore e quindi integrare i due integrali che ottieni

ciao

utente222223434556 20-12-2006 11:20

Quote:

Originariamente inviato da Guts
provo a darti uno spunto, anche perchè di più nn riesco, a quest'ora nn connetto più e inoltre sono mesi che nn faccio un integrale e nn sono freschissimo, prova così

scomponi il denominatore in (e^x - 2)(e^x + 1) e ottieni quindi

int( e^2x / [(e^x - 2)(e^x + 1)] ) dx

a questo punto dovresti dividere in due parti la frazione, ognuna con denominatore uno dei fattori del denominatore e quindi integrare i due integrali che ottieni

ciao

Purtroppo anche scomposti, non sono in grado di integrarli!
Proprio non ho idea di come possa fare!!!


Quote:

Originariamente inviato da Morkar Karamat
Ponendo e^x = t dovresti ottenere: ...

E' quello che avevo fatto. E dopo? Come lo integro?

Grazie a tutti e due :)

utente222223434556 20-12-2006 12:19

Mamma mia, non ho mai visto ste formule prima!!! (ed i prof non ne hanno mai parlato).

Mi sembra strano che non ci sia un metodo più semplice :D

Comunque grazie

flapane 20-12-2006 13:09

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
Mamma mia, non ho mai visto ste formule prima!!! (ed i prof non ne hanno mai parlato).

integrali di quinto liceo? e certo, purtroppo la maggior parte dei prof non sa neanche bene cosa è un integrale :cry:

ilmambo 20-12-2006 21:29

spero di avere risposta veloce ad una domanda scema...

argomento: soluzione approssimata di un'equazione utilizzando il metodo di bisezione

con la mia prof abbiamo utilizzato la tabella che vedete sotto
allora:

-data l'equazione prendo un'intervallo dove un valore sia <0 e l'altro >0 (in questo caso 1 e 2)
inizio a riempire la tabella
fino ad f(bk) non c'è problema... Xk cos'è? o meglio, come lo calcolo?

nel passaggio successivo ricordo che devo sostituire Ak o Bk con Xk, ma non ricordo seguendo quale regola...

help :mc:


ilmambo 20-12-2006 21:55

ok, Xk è metà intervallo... calcolo f(Xk)... e Ak-Bk come "controllo"...

poi? :mc:

ilmambo 20-12-2006 22:04

forse ho trovato...

dopo aver completato la 1° riga :

SE Ak*Bk>0 sostiuisco Ak della 2° iterazione con Xk
SE Ak*Bk<0 sostituisco Bk della 2° iterazione con Xk

matematici ditemi che è così :cry:

fsdfdsddijsdfsdfo 21-12-2006 03:11

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
Mamma mia, non ho mai visto ste formule prima!!! (ed i prof non ne hanno mai parlato).

Mi sembra strano che non ci sia un metodo più semplice :D

Comunque grazie

infatti è giusto ti sembri strano.
Le matematiche non elementari raramente si basano sul sapere un numero enorme di formule. Molte volte bastano un paio di regole e un po di inventiva. Ad analisi ho imparato una cosa: l'analisi base (tipo questa) è fondamentalmente o lo studio di polinomi, o il rincondursi allo studio di polinomi :D:D
quindi è importante sempre ricordarsi le principali operazioni nei campi di polinomi (divisione, MCD, fattorizzazione, algoritmo divisioni successive...)

Comunque, tornando al tuo problema:
Effettuiamo una sostituzione prima:
t=e^x -- x=log(t) -- x'=1/t

quindi

int(f(e^x) dx=int(f(t)*(1/t) dt = int( t/(t^2-t-2) dt

mi accorgo che il polinomio sotto è riducibile, aggiungo poi sopra +1 -1

int( (t+1-1)/(t+1)(t-2) dt = int ( 1/(t-2) - 1/(t+1)(t-2) = 0

già è molto piu carino, ma il secondo membro ancora non lo integrare.
Provo quindi a riscrivere la frazione di secondo grado come somma di due frazioni di primo grado

A/(t+1) + B/(t-2) = (At-2A +Bt+B)/(t^2-t-2) = [ (A+B)t + B-2A ]/(t^2-t-2)

mettendo a sistema A+B=0 (essendo di grado zero i termini di primo grado) B-2A=1 (essendo uno il termine noto) otteniamo A=-1/3 B=1/3

otteniamo che il polinomio frazionario di secondo grado di prima si può scrivere come somma di due polinomi frazionari di primo grado:

int( 1/(t-2) +1/[3(t+1)] - 1/[3(t-2)] dt )

L'integrale della somma è la somma degli integrali, e gli integrali dentro sono integrali banali che sappiamo risovere, e quindi diventa:

log(t-2) +(1/3)log(t+1) -(1/3)log(t-2)

che si può riscrivere come (sostituendo t)

(1/3)log[ (e^x -2)^2 * (e^x+1) ]


ora però io non sò se i miei calcoli sono giusti, magari ho sbagliato. Che faccio? vado a verificare qui http://integrals.wolfram.com/index.jsp e scopro che è corretto.

Facile no? :D:D


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