Ah. E chi sarebbe?
Magari è passato anche lui a Opera 9...

:stordita:
:D

Ma sono io!

:asd: :asd: :asd: :asd: :asd: :asd:

quanto vale il residuo di della funzione f(t) in 4i?

f(t)=[t*e^(i*radq(3)*t)]/[t^2+16]

a me viene (1/2)e^(4*radq(3)) ma il risultato è sbagliato...:(

La funzione:



è definita per z=4i e olomorfa in un suo intorno.
Quindi, il residuo di f in 4i è 0.

scusami avevo sbagliato a scrivere la funzione...in 4i non'è definita...

OK, quindi il numeratore è una funzione olomorfa in tutto il piano complesso, mentre il denominatore si riscrive (z-4i)(z+4i).
Quindi il punto z=4i è un polo semplice, perché (z-4i)f(z) ammette limite in z=4i: per trovare il valore del residuo, basta calcolare il valore di tale limite, ossia, il valore di

in z=4i. Tale valore è ovviamente


Nota: più in generale, se z0 è un polo di ordine n, allora vale la formula:

come si vede subito considerando lo sviluppo in serie di Laurent di f in z0 :D

piccolo dubbio.

l'integrale generale di una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine è del tipo :

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t) (se z1 è diverso da z2)
nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia radici complesse e coniugate, z1 e z2 sono numeri complessi, per semplicità suppongo che la parte reale di z1 e z2 sia nulla.

utilizzando le formule di eulero si ottiene:

y(t)= (c1+c2) cos(z1t) + j(c1-c2) sen(z2t)= Acos(z1t)+jBsen(z2t)
con z1=z2

nei libri di analisi però la soluzione riportata è di questo tipo:

y(t)= A cos(z1t) + Bsen(z1t)

quando si cercano soluzioni puramente reali.

però io mi chiedo: in base a quale considerazione rigorosa l'unità immaginaria sparisce? intuitivamente il ragionamento fila, ma non riesco a giustificare con rigore questo passaggio :muro:

L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare di secondo ordine è uno spazio vettoriale di dimensione 2.
che tu prenda exp(iwt), exp(-iwt) come base va benissimo, ma se tu decidi che vuoi applicare lo studio che stai facendo ad un sistema fisico "reale", puoi decidere arbitrariamente, senza problemi, di prendere solo la parte reale delle tue soluzioni. Devi però trovare due funzioni che siano linearmente indipendenti e al contempo soluzione entrambe dell'equazione differenziale: il seno e il coseno godono di queste proprietà (sono ortogonali e risolvono l'equazione se il termine dissipativo è nullo; altrimenti ti viene un fattore esponenziale che però ha argomento in ogni caso reale, quindi interessa poco, ai fini di quello che vogliamo vedere!) quindi, restringendosi ad R, siamo a posto ;)

P.S.: in poche parole: vedila come un problema di geometria, non di analisi!
Un'altra risposta possibile è che seno e coseno sono combinazioni lineari (e quindi, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale, a loro volta soluzioni) di e^{iwx} ed e^{-iwx}... alla fine il succo è lo stesso :D

il fatto è che prendo non sono la parte reale, infatti il seno è la parte immaginaria della soluzione.
cmq questo ragionamento l'ho fatto anche io e intuitivamente è corretto, solo che al prof non sta bene detto in questi termini.
mi sembra,da come ho capito, che si effetua un cambiamento di base,con una procedura rigorosa

Uff... se proprio vuoi farti tutti quei contacci :cry:
Io analisi I l'ho già dato... e quindi ho rimosso tutto :D
Comunque anche a noi avevano fatto una cosa del genere...
In ogni caso secondo me il ragionamento sugli spazi vettoriali in cui si restringe il campo (R invece che C) su cui è costruito lo spazio stesso non ha niente di informale o pressapochista... chiaramente bisognerebbe scriverlo!

lo so il concetto è quello... solo che io cercavo almeno una impostazione formale del problema. è per teoria dei sistemi... sul libro effettua un cambiamento di base . cioè mediante una trasformazione di similitudine ottiene da una matrice diagonale con alcuni autovalori complessi una matrice diagonale a blocchi con elementi tutti reali(o almeno così ho capito :mc: ). però mostra solo il risultato ritendolo un calcolo ovvio... solo che per me tanto ovvio non è :muro:
vabbè domani ci dedico un po di tempo... :muro:

Se ho capito bene, tu parti da questa formula:

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t)

e mi dici che z1 e z2 sono complessi coniugati, non solo, ma sono immaginari puri, quindi per chiarezza ti rimane:

z1 = ja

z2 = -ja

con a reale.

Allora quella roba lassù diventa:

y(t) = c1*e(jat) + c2*e(-jat)

Il problema però è che se mi dici che y(t) è reale allora c1 e c2 non puoi metterle a casaccio ma devono essere anche loro due costanti complesse coniugate...questo perché un numero reale lo puoi sempre esprimere come somma di due complessi coniugati, quindi è come se facessi:

y(t) = y_c(t) + [y_c(t)]*

dove y_c è complesso e tale per cui sommato al suo coniugato dia proprio y...a quel punto guardando sopra scopri che funziona solo se è proprio c2=c1*

(ah per me l'asterisco è il coniugato...sorry se ho confuso con la moltiplicazione)

Infine, se vai a riprendere la formula coi seni e coseni che ti perplimeva, vedi che se c2 e c1 sono c.c. allora sia (c1+c2) che j(c1-c2) sono reali per forza.

Comunque non serve che z1 e z2 siano immaginari puri, basta che siano c.c. :D

lo so... infatti per non moltiplicare per l'esponenziale reale ho supposto Re[z1]=Re[z2]=0.
sì il discorso è questo :read: grazie... ora mi resta da capire con quale procedura si ricava la matrice T del cambiamento di base... ci perderò un po di tempo oggi :D

ho trovato per fortuna :fagiano:
sia A una matrice reale quadrata con almeno una coppia di autovalori complessi.
mediante una trasformazione di similarità si può ottenere una matrice diagonale a blocchi con tutti elementi reali. Tale matrice è detta forma di Jordan reale associata alla matrice A.
quindi Ar=(T^-1)*A*T . T si ricava con una procedura standard anche abbastanza semplice.

quindi se abbiamo un sistema di equazioni differenziali omogenee della forma:
x'(t)=Ax(t)
x(0)=x0


trasformare la matrice A in Ar vuol dire cambiare opportunamente la base dello spazio vettoriale a cui appartiene il vettore x(t). cioè rappresentare x(t) con un'altra base rispetto alla quale le soluzioni sono tutte reali.
Il prezzo da pagare è che invece di trasformare A in una matrice diagonale, si deve trasformarla in una matrice diagonale a blocchi.

Precorso di matematica. Già mi trovo nei guai.


Ogni polinomio R(x), cioè polinomio con coefficenti reali, si può scomporre in prodotto di polinomi dal grado al più 2.


Come scompongo:

x^4+1

x^4+2x^3-5x^2-14x+24

risposta per ziosilvio

Non capisco come mai metti a=d=1

io so che ad=1 ma potrebbe pure essere la coppia (2;1/2)


comunque il tuo risultato è giusto.


per il secondo sistema come faccio? risolvo un sistema di un milione di incognite?


non esiste una via piu veloce?
la prof aveva accennato al completamento dei quadrati... ma ti giuro che io non ci riesco...


mi sento stupido...

ho appena tirato fuori derive. La fattorizzazione della seconda è una cosa improponibile. Di sicuro c'è un errore nel testo.

soluzione del primo piu veloce:

x^4+1+2x^2-2x^2=0 sommo zero

(x^2+1)^2-2x^2=0 raccolgo

[(x^2+1)-xsqrt2][(x^2+1)+xsqrt2] differenza di quadrati.

Perché come la scomposizione di un numero intero in fattori primi è unica a meno dell'ordine e di elementi invertibili, così la scomposizione di un polinomio a coefficienti reali in prodotto di potenze di polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 è unica a meno dell'ordine e di elementi invertibili.
Ora, nei numeri interi gli unici elementi invertibili sono +1 e -1; nei polinomi, sono i polinomi costanti non nulli.
Per cui, fintanto che il prodotto di tali costanti non nulle è uguale al coefficiente direttore del polinomio di partenza, va tutto bene e la scomposizione si può fare.
Dato che qui il coefficiente direttore del polinomio da scomporre è 1, ti conviene supporre che anche i coefficienti direttori degli altri polinomi siano uguali a 1, in modo da ridurre il numero e la complessità dei conti da fare.
Perché un milione? Dovrebbero essere sempre quattro...

esatto. Sull'unicità non ci sono dubbi.

Però non posso dire alla prof: "guardi ho scelto 1,1 perchè mi piacevano"

anche perchè senza questo dato non risolvi il sistema.

Forse puoi dire che ad=1 a=d=1 guardando x^4+1

nessun'altra coppia darebbe 1 come termine noto.

Grazie mille zio, gentile come al solito.

Infatti tu la scelta a=d=1 non la fai perché ti piace, ma perché è consistente con le ipotesi e contemporaneamente ti rende i conti più semplici.
Nel senso che non lo risolvi univocamente, ossia non trovi una soluzione, ma un insieme di soluzioni dipendenti da un parametro (nella fattispecie, a).
Nessun'altra coppia di interi positivi.
Ma potresti prendere 2 e 1/2 (non interi), oppure -1 e -1 (interi, ma non positivi), ecc.

Sia f(z) una funzione olomorfa in un campo semplicemente connesso A , C un generico cammino chiuso di rappresentazione parametrica
z: [a,b]----> z([a,b]) contenuto in A.
per ogni cammino C=(z(t),z([a,b]) di estremi z(a) e z(b) l'integrale f(z)dz esteso alla curva C assume lo stesso valore, cioè l'integrale di una funzione olomorfa in un aperto semplicemente connesso A dipende solo dagli estremi del cammino di integrazione e non dal cammino stesso.
mi chiedo: come mai è richiesta la connessione semplice di A?
non basta la connessione per archi?! è un po che ci penso e non trovo una risposta... :boh: :what:

Perché è lo stesso che chiedere che ogni circuito in A si possa trasformare con continuità in qualsiasi altro circuito in A, rimanendo in A.
(Ricorda che l'olomorfia di una funzione di variabile complessa equivale alla chiusura di due opportune forme differenziali di due variabili reali.)

il teorema integrale di cauchy(anche quello di Morera) però non richiede alcun tipo di connessione vero?
ma se un insieme A è semplicemente connesso ma non è un convesso(per esempio è stellato) non posso cmq trasformare ogni circuito in qualunque altro restando in A..... o mi sbaglio?! :help:

forse ho capito....
in uno stellato esistono cammini non ammissibili. però esiste sempre una omotopia che trasforma un cammino ammissibile in un altro cammino ammissibile.
in un insieme non semplicemente connesso ciò non avviene per qualunque cammino ammissibile...

una cosa che non mi è chiara però è questa:
in un insieme aperto A, connesso per archi ma non semplicemente, l'integrale di una funzione olomorfa in A dipende anche dal particolare cammino che unisce i due estremi?

Diciamo, piuttosto, che comunque chiudi un cammino aperto, poi puoi sempre schiacciare il cammino chiuso fino a ridurlo a un punto solo: e dato che questo schiacciamento non cambia il valore dell'integrale di una funzione olomorfa, tale integrale deve per forza valere zero.
Questo però si può fare sempre, solo se l'aperto è semplicemente connesso.
Ovviamente sì.
Considera i punti 1 e j; vai da 1 a j mediante un arco di circonferenza di centro 0 e raggio 1.
Se ci vai in senso antiorario, l'integrale di f(z)=1/z su quel cammino ti viene Pi j / 2; se ci vai in senso orario, ti viene - 3 Pi j / 2.

è giusta questa definizioine di limite? (l'ho messa come immagine perchè ci sono alcuni caratteri che non posso scrivere nel forum)

edit: non deve essere rigorosa al massimo..però per lo meno corretta

edit2: tra l'altro il prof dice che gli estremi dell'intorno U, devono essere compresi tra le proiezioni sull'asse x delle intersezioni tra funzione e il prolungamento (ortogonale all'asse y) degli estremi dell'intorno V...ma sta cosa non mi sconfinfera molto...e poi non saprei come renderla in simboli

Sì.
Però si può mettere come testo, intervallato da figure in LaTeX ;)
A me sembra un modo complicato di dire che l'intorno U (tranne al più x0) deve essere contenuto nella controimmagine mediante f dell'intorno V, ossia nell'insieme di tutti i punti x su cui f è definita e per i quali f(x) appartiene a V.

bhè quelle non sono parole del prof, lui l'ha fatto vede solo graficamente dicendo qualcosa come "questo non deve essere più grande di quello"
però sinceramente non ho capito una bega di quello che hai scritto :stordita:

mi servirebbe anche una dritta su derive...voglio disegnare la funzione y=int(x), però non so come fare...anche definendo il dominio di y (interi) non saprei come scrivere la funzione

Il Teorema di Morera richiede connessione, ma non connessione semplice.
In effetti, leggendo la dimostrazione, si capisce che ci vorrebbe la connessione per archi; però, siccome ogni punto di C ha un sistema fondamentale di intorni localmente connessi per archi, ogni aperto connesso di C è anche connesso per archi.

Il Teorema integrale di Cauchy, invece, richiede connessione semplice.

Vuoi dire la funzione parte intera?
Quasi tutti i software matematici ne dànno almeno due versioni:
- floor(x) è il più grande intero che non supera x;
- ceil(x) è il più piccolo intero che non è superato da x.
Ad esempio, floor(1.7)=1, mentre ceil(1.7)=2; attenzione, perché floor(-1.7)=-2 e ceil(-1.7)=-1. Invece, floor(17)=ceil(17)=17.
Gli interi sono il codominio della parte intera.

ah ok grazie funziona :D

ma
non sono sicuro di aver capito bene..."i punti x su cui f è definita" vuol dire i punti x in cui la funzione ha un valore? quindi se la funzione ha valori per ogni x, l'intorno U può essere grande quanto voglio?
quello che dice il mio prof l'ho disegnato in allegato

No: "i punti x su cui f è definita, e per i quali f(x) è in V".
Quello che dice il tuo prof è corretto.

e la motivazione posso capirla o è complicata? :D

forse per il teorema integrale di cauchy c'è un equivoco.
nel libro di analisi3 su cui sto studiando c'è un'altra versione del teorema.
l'integrale è esteso non su una normale curva chiusa regolare, ma sulla frontiera di un dominio regolare contenuto in un aperto A in cui la f(z) è olomorfa.
quindi anche se il dominio non è semplicemente connesso il risultato dell'integrale è sempre zero(c'è un secondo termine che si sottrae).

(ALGEBRA)Divisione tra radicali
 

Salve,
sono un po' arrugginito in algebra, mi è venuto un dubbio in questa divisione:


Devo per forza ribaltare il secondo termine? E dopo posso semplificare in croce o devo semplicemente moltiplicare?

Grazie

ALGEBRA Equazione di primo grado
 

Salve,
ho provato in tutti i modi, ma non mi viene, mi date una mano?

x(3-√3)=6(x/3-√3 -2)

Devo fare il minimo comune multiplo nella seconda parentesi?

La parte in grassetto è il denominatore della x.

Grazie

ti conviene traasformare le radici in potenze