(1) Falsa: se X = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, distribuzione uniforme, A = {0,1,2,3,4,5,6}, B = {5,6,7,8,9}, allora...
(2) Vera: se A è contenuto in B, allora A and B = A, e gli unici modi in cui P(A)/P(B) = P(A) sono...
(3) Vera: se X ~ N(2,2), allora Y = (X-2)/sqrt(2) ~ N(0,1), quindi



Applica un cambio di variabile u = t*sqrt(2).
(4) Vera: se P(X>=0) = 1, allora FX(x) = P(X<=x) = 0 per ogni x<0; vedi il valore atteso come integrale di x in dFX.
(5) Falso: se Var(Y) > Var(X), la formula darebbe Var(X-Y) < ...
(6) Vera: se X e Y sono prove bernoulliane indipendenti di parametro p, allora XY è una prova bernoulliana di parametro...

grazie ziosilvio.

ti chiedo una mano con questo esercizio:



sapendo che il segnale X ~ Be (0,75)

so che
π0 = P(x=0) = 0,25
π1 = P(x=1) = 0,75 -> che è lo stesso parametro
di Bernoulli.

quindi si aggiunge un rumore al segnale

Y ~ N(0, 1/9) indipendente da X

da quello che ho capito questo dovrebbe esser ora un
segnale continuo e non più discreto.

ora:

sapendo che Z = X + Y

{Z >= 1/2} = {ricevo 1}
{Z < 1/2} = {ricevo 0}

1) mi calcolo:

p01 = P(R1 \ x=0) ovvero la probabilità di ricevere 1
avendo trasmesso zero
e
p10 = P(R0 \ x=1) ovvero la probabilità di ricevere 0
avendo trasmesso uno


p01 = P(Z >= 1/2 \ x=0) = P[(X+Y >= 1/2) \ X=0]
= [P(X = 0 , Y >= 1/2)] / [P(X = 0)]
= [P(X = 0) * P(Y >= 1/2)] / [P(X = 0)]
= P(Y >= 1/2)
che è la prob di una variabile aleatoria gaussiana

sapendo che Y ~ N(0, 1/9)
so che Z = [Y / radice.quad(1/9)]
ovvero Z = 3Y

allora Z ~ N (0, 1)

quindi P(3Y >= 1/2) = P(Z >= 3/2) = 1 - O(1,5)

e il grafico è quello gaussiano e la parte considerata
è quella da 3/2 a più infinito.

per p10 invece:

p01 = P(Z < 1/2 \ x=1) = P[(X+Y < 1/2) \ X=1]
= [P(X = 1 , Y < -1/2)] / [P(X = 1)]
= [P(X = 1) * P(Y < -1/2)] / [P(X = 1)]
= P(Y < -1/2)

quindi P(Y < -1/2) = P(Z < -3/2) = 1 - Ø(1,5)

e il grafico è quello gaussiano e la parte considerata
è quella da meno infinito a - 3/2.

2) il punto due mi chiede qual è la prob di commettere
errore

in base a quello che ho trovato prima so che

P(E) = π0 * p01 + π1 * p10
= [1 - Ø(1,5)] * [π0 + π1]

ma π0 + π1 = 1
quindi

P(E) = [1 - Ø(1,5)]


3) per il punto tre (la probabilità di aver ricevuto
1) invece sono arrivato fino ad un punto e mi son
fermato.

P(R1) = P[R1 ∩ (X = 0 U X = 1)]
= P[(R1 ∩ X = 0) U (R1 ∩ X = 1)]

però non so come andare avanti.

il resto ti sembra giusto?

Secondo me devi "solo" applicare la formula delle probabilità composte: se A{1}, ..., A{N} partizionano lo spazio degli eventi, allora P(B) = P(A{1})*P(B|A{1}) + ... + P(A{N})*P(B|A{N}).
Mi sembra ci sia qualche errore qua e là.
Ricorda che Phi(x) è la probabilità che una gaussiana standard sia minore o uguale a x, e non maggiore.
Inoltre, nella soluzione chiami Z qualcosa di diverso da quello che nel testo viene chiamato Z.

ok, penso di aver capito

invece qui non mi è chiaro...
cosa ho sbagliato?
che correzioni devo apportare?

qualcuno mi puà dare una mano con esempi di notazioni in "o piccolo" e "O grande"??

Tnks

edit

sistema di 2 equazioni...
 

ciao a tutti, ho questo sistema, so già il risultato (10 e 4) ma non sono riuscito a risolverlo...ho provati in tutti i modi..: mi bastano i passaggi chiave iniziali...

| x^2 + xy = 56
|
| 5x + 2y = 40

per sostituzione non va, per riduzione non è possibile; non riesco a ricondurmi ad avere solo somme e prodotti di variabili (xy e x+y); il trucco del quadrato di un binomio non serve...
come cavolo devo fare??!!:muro:
grazie
francesco

Calma, niente panico :D Il sistema è di secondo grado, dunque se è risolubile le soluzioni sono due.

:confused: :wtf: A me va. Dalla seconda equazione ricavi y = (40 - 5x)/2, che sostituito nella prima ti porta (moltiplicando per -2) a 3x^2 - 40x + 112 = 0.
Risolvi e trovi le due soluzioni per la x (una è 4, l'altra è...) e poi ricavi le rispettive y (che sono 10 e...).

E perché no? :D Solo che la tecnica per riduzione, che è assai "potente", viene insegnata solo per le equazioni lineari, mentre invece si può usare per qualsiasi cosa.
Si fa così: dopo aver verificato che x = 0 non porta a soluzioni (basta sostituire 0 ad x nella prima equazione), moltiplica la seconda per -x/2 e poi sommi. Ti ritrovi subito con la stessa equazione risolvente vista sopra.
Per sfruttare al meglio questa tecnica, c'è da dire, ci vuole un po' di esperienza... ;)

Con i sistemi mi sono sempre sbizzarrito... Un'altra idea è quella di fare il quadrato della seconda equazione, e ti viene 25x^2 + 20xy + 4y^2 = 1600, cioè 20(x^2 + xy) + 5x^2 + 4y^2 = 1600. Dalla prima ricavi x^2 + xy e lo sistituisci nella seconda, e l'equazione diventa 5x^2 + 4y^2 = 480... un bell'ellissoide! :D
Poi, sempre dalla seconda, ti ricavi 2y, o anche 5x, e lo sostituisci nell'equazione dell'ellissoide...
Sono tecniche un po' contorte ma almeno ci si diverte :asd:

Edit: eccotene un'altra. Moltiplica la prima per 4 ed aggiungi y^2 ad entrambi i membri. Al primo membro hai il quadrato di 2x + y, ed allora poni z = 2x + y. Nella seconda moltiplica per 2 ed aggiungi e togli y al primo membro, e alla fine sostituisci 10x + 5y con 5z. Ora hai il seguente sistema in y e z :asd:


Una volta trovati y e z, trovi anche la x ;)

Si scrive f(x) = o(g(x)) per x che tende a x0 (o a +oo, o a -oo) se il rapporto f(x)/g(x) tende a zero per x che tende a x0 (o a +oo, o a -oo).
Ad esempio, per x-->+oo, x = o(x log x), ma x log x = o(x^a) per ogni a>1.

Si scrive f(x) = O(g(x) per x che tende a +oo se esistono C>0 ed x0 tali che f(x) <= C*g(x) per ogni x>=x0.
Ad esempio, x log x = O(x^2), con C=x0=1.

puoi spiegarmi meglio questo punto che non mi è chiaro?

grazie :)

Ciao!
Il prof di matematica ci ha introdotto la notazione o piccolo e O grande, e ci ha detto che dovremmo sfruttarla per il calcolo dei limiti..io più o meno credo di aver capito quando una f(x) è O(g(x)) o o(g(x)), però non riesco a sistemare il calcolo di limite..faccio un esempio: devo calcolare questo limite



usando "ordine e principio di sostituzione"..
io mi sono scritta le varie funzioni in parte principale + resto, ma poi non so come andare avanti..:fagiano:

Grazie

EDIT: scusate, al denominatore c'è un errore: tra l'1 e (sen x^2) c'è un'addizione, non una moltiplicazione!

Sapendo che X e Y sono bernoulliane indipendenti di parametro p, calcola i valori possibili di X*Y, e le probabilità con le quali sono ottenuti.

(L'altro post è troppo lungo, dovrei dedicargli molto più tempo di quanto posso ora.)

Puoi usare la notazione o-piccolo sfruttando il principio per cui una somma di infinitesimi va a zero con la velocità del più lento, ossia, se g1(x) = o(f1(x)) e g2(x) = o(f2(x)), allora (f1(x)+g1(x))/(f2(x)+g2(x)) si comporta come f1(x)/f2(x).

Nel tuo caso, devi anche applicare un po' di limiti notevoli, soprattutto al denominatore.

Allora... questi sono gli ultimi, ve lo giuro :D ... oggi ho fatto l'esonero dell'anno scorso, ne ho sbagliate 4 su 30, vi posto quelle errate perché ho solo il numero della risposta giusta, ma senza la soluzione:







Nel 23 non ho la più pallida idea di cosa vogliano quei simboli, quindi non l'ho neanche iniziato; nel 16 (risp esatta c), A non è formato da punti che collegati formerebbero due rami di iperbole equilatera? Come fa ad avere il minimo allora? Il 22 non riesco a "visualizzarlo" graficamente, e nel 11 (risp esatta b) non capisco perché c'è 2 e non radice di due :stordita: ...

La prima e l'ultima immagine sono troppo grandi e rovinano l'impaginazione.
La cosa è estremamente fastidiosa.
Sarebbe bene che tu rimpicciolissi le immagini, o scrivessi in LaTeX.
Non conosci i simboli di unione e intersezione di insiemi di una famiglia indicizzata?
Allora forse è meglio studiare un altro po', e dopo mettersi a fare esoneri.
A è un insieme di punti della retta, e non del piano.
E se pure fosse: mica sarebbero tutti i punti dell'iperbole...
Pazienza, non è necessario.
Essendo le altre tre opzioni palesemente false, propenderei per un errore di stampa.

Ragazzi, evitando di aprire un altro thread posto qui.

All'uni mi è capitato di leggere questo problema (materia, elett. dei sistemi digitali). La batteria di un orologio elettronico a CMOS contiene un energia di 0,1 J e dura due anni. Qual'è la potenza dinamica dissipata dall'orologio??

Ora sappiamo che E=pt, ma questo credo che centri poco con la potenza dinamica, infatti essa include il discorso di carica e scarica del condensatore e la potenza di cortocircuito. Soltanto che non riesco a raccapezzarmi su quale possa essere la soluzione. Suggerimenti?

Ps. Scusate se sono offtopic!

Ammazza aho che cattivo! :D
E dai che non si tratta di cose così concettuose :asd:

Se posso aggiungere una nota sul quesito 22: si "risolve", come buona parte dei quesiti a risposta multipla, creandosi buoni esempi e controesempi. Prendendo ad esempio delle f(x) lineari, o polinomiali in generale, o altre funzioni note.

Bravo! Ma premetto che al limite è una domanda di fisica e non di matematica...

In assenza di altri dati, o il problema è mal posto (e suppongo di no) o semplicemente mi limito a considerare equivalente la potenza dinamica semplicemente con la potenza dissipata, per cui vale la relazione che hai scritto tu.

:D No, il problema non è mal posto, soltanto che la potenza dinamica è un concetto diverso rispetto a quella statica. Effettivamente mi rendo conto di essere un pochettino ot, magari lo posto nella sezione generale di scienza e tecnica :) Grazie lo stesso per l'aiuto:) :)

MaxArt ti ringrazio davvero x l'interessamento!! :) complimenti!
ciao grazie

francesco

Mentre ero di passaggio, ho sostituito le immagini con le corrispondenti thumbnail. ;)

Non c'è di che! Ma se a me fanno i complimenti, a Ziosilvio - cui lascio tutti i problemi più noiosi - dovrebbero dedicare un monumento equestre! :asd:

Me lo sto immaginando...:rotfl:

Mmm..ma io credo di non riuscire ad arrivare ad un limite in quella forma..
cioè, sempre considerando l'esempio di prima, io avrei scritto che:



fino a qua sono giuste le scomposizioni?

sperando di sì :stordita: , avrei poi riscritto il limite come:


e adesso non posso applicarela regola che mi hai detto tu qui sopra, no?
e quindi non so come andare avanti..scusate se sono domande stupide ma non saprei neanche dove studiare queste cose..ho cercato sul libro, ma liquidano l'argomento troppo velocemente!
Grazie

Grazie :flower:
Ah bieco sfruttatore dei tuoi connazionali! :D

Attenta alle radici quadrate: se



allora



Stesso discorso per la tangente.


Questo è giusto.

Adesso rifai le stime...

Grazie 1000, non ero capace, altrimenti l'avrei fatto anch'io... adesso guardo come hai fatto così imparo :)

Veramente no, dato che non abbiamo mai trattato l'argomento, probabilmente l'avrà fatto l'anno scorso e quest'anno avrà scelto di saltarlo, se l'ho chiesto e perché sono curioso di sapere cosa sono... e cmq tranquillo, prima di mettermi a fare gli esercizi studio sempre tutto il programma, non sono uno sprovveduto ;)

Non riesco a capire questa cosa del piano e della retta, puoi spiegarti un po' meglio? :)

Bene, non sono più neanche capace a copiare dal quaderno..Il secondo limite l'avevo fatto come dici tu, è che nel copia-incolla con la terza scomposizione ho aggiunto solo il /2 e mi sono dimenticata di togliere i quadrati :fagiano:
per il primo limite..sarebbe sbagliato se considerassi il limite notevole
(tan x - sen x)/x^3
invece che i singoli tan x e sen x?


EDIT
Ho provato a farlo decomponendo singolarmente senx e tanx e mi viene questo:

(se non ho copiato male..)
al numeratore poi posso semplificare le due radici di x e poi mi rimangono i due o(x) e x (che è quello a cui devo arrivare se voglio poi togliere gli o piccoli, no?)..e al denominatore invece come procedo?
Grazie

Si tratta di sfruttare il servizio messo a disposizione gratuitamente da siti come imageshack.us per caricare immagini online. Questi siti creano miniature (thumbnail) collegate all'immagine a grandezza originale. Comodissime per non snaturare l'impaginazione e alleggerire il caricamento della pagina.

Non è in fondo molto diverso dai comuni simboli di sommatoria e produttoria. Solo che in questo caso, anziché sommare, si fa l'unione o l'intersezione insiemistica.

L'insieme A è un sottoinsieme di R, e dunque è un sottoinsieme della retta. Quanto tu immagini è derivato dalla relazione tra k e x+1/k, che sul piano risulta appunto un'iperbole, o meglio, un suo sottoinsieme.
Ma A è comunque una collezione di... numeri. Uno per ogni intero diverso da 0. Il fatto che tu creda che sia illimitato dipende dall'idea che hai di iperbole, che è corretta ma non corrisponde all'insieme A.
Prova a sostituire a k qualche valore e ti accorgerai subito di come vanno le cose... ;)

Ah, tutto chiaro... io confondevo la retta (R) con il piano (che invece è R^2, perché X x Y = R x R, se non sbaglio), quindi quelli sono solo punti di una retta e, effettivamente, provando si vede subito con k = -1 si ha il minimo, perché con valori di k < -1 la "x" diminuisce sempre di più tendendo a pi greco all'infinito.. grazie sei stato chiarissimo :)

Se hai una famiglia di insiemi X{i} indicizzata da un insieme I, allora



è l'insieme di tutti gli oggetti che appartengono ad almeno uno degli insiemi X{i}.
Discorso simile per l'intersezione.
Il tuo insieme A è un insieme di punti della forma "Pi greco, più o meno qualcosa": questi sono numeri, quindi punti sulla retta reale.
I punti di un'iperbole, invece, giacciono su un piano.

Wow!

Certo che uno non può neppure assentarsi per un solo pomeriggio - pallosissimo collegio docenti in cui si approvano i soliti progetti ben pagati di chi non entra mai in classe per far lezione... :grrr: - che voi ne macinate di roba!

All'utente blue_blue dico di non prendersela: alcuni sono proprio fissati col simbolismo di Landau!

A Zio Silvio chiedo invece se preferisce che il monumento gli venga eretto in terra italica o d'Islanda.

:ciapet:

scomposizione
 

salve, volevo sapere un metodo univoco e generale per scomporre un denominatore già sottoforma di prodotto di polinomi. Conosco il metodo specifico per alcuni casi semplicissimi: il metodo dovrebbe essere quello dell'uso di due (nel caso siano due i fattori a denominatore) variabili A e B e la ricongiunzione delle frazioni parametrizzate con al numeratore della prima la costante A e la costante B al secondo numeratore.

avevo avuto una mezza intuizione (probabilmente errata) a riguardo: mi sembra che risultava corretto se in ogni frazione parametrizzata mettevo un polinomio di grado inferiore di 1 rispetto a quello del suo denominatore.

Ma non sono ancora arrivato alla conclusione di alcuni esercizi che prevedono questo uso..

aspetto impaziente

ciao a tutti!

Mah... se ho ben capito, vuoi scomporre una frazione algebrica nella somma di più frazioni, o sbaglio?

E' il metodo di decomposizione delle funzioni razionali fratte, che di solito viene introdotto quando si studiano i metodi di integrazione.
In generale, il principio su cui fonda la regola è sempre lo stesso, ma va adattato a seconda della natura delle soluzioni (reali e distinte, coincidenti, complesse distinte, complesse con molteplicità) che presenta il polinomio a denominatore... Trovi i vari casi in un qualunque libro che tratti i metodi di integrazione delle funzioni razionali fratte.

Precisazione (più da matematici che altro ;)): non si dice metodo "univoco", semmai "unico" (a meno che tu non intenda che debba fornire un'unica soluzione a parità di dati iniziali, cosa che fanno tutti gli algoritmi degni di questo nome). E se è "unico" allora è anche generale. Scusa la pignoleria :stordita:

Non proprio. Ad esempio, in questo semplice caso:
Oppure in questo:

Ora seguirà una trattazione di un certo livello, ma che indica un metodo generale come dicevi tu. Se non capisci cosa voglio dire, ed i simbolismi che uso, dimmelo subito!
In ogni caso, ti consiglio di dare un'occhiata all'esempio in fondo.

In generale, si tratta di trovare dei polinomi q_i(x) tali che


dove possiamo scrivere , con a_ij numeri reali (possiamo supporre che i p_i(x) siano irriducibili). Posto e , al numeratore ci possiamo aspettare un polinomio di grado al più M - m. Possiamo quindi operare ponendo al numeratore di ogni termine frazionario un polinomio q_i(x) di grado g_i = m_i - m.
A questo punto, scrivendo , al numeratore ci verrebbe una somma di polinomi di grado M - m, che ci porta ad un sistema dove poniamo i coefficienti dei termini di grado da 1 ad M - m pari a zero, ed il termine noto pari ad 1.

Esempio
Nell'ultimo esempio che ti ho scritto, si ha m_1 = 4 e m_2 = 2, dunque M = 6 e m = 2, da cui g_1 = 2 e g_2 = 0 (una costante). Quindi le nostre incognite sono i coefficienti b_10, b_11 e b12 di q_1(x), e b20 di q_2(x). Sviluppando al numeratore l'espressione


otteniamo il polinomio


Ora, come ho detto, i coefficienti dei termini di grado da 1 in su devono essere nulli, mentre il termine noto deve essere pari ad 1. Si tratta quindi di risolvere il sistema


Si tratta di un sistema con 5 equazioni (di cui due uguali) e 4 incognite, ma è risolubile:


Quindi:

Verifica pure ;)

una domanda abbastanza banale e fine a se stessa... ma pensare e usare la seconda parte dell'ugualianza è la stessa cosa nell'uso "giornaliero" (nella derivazione è molto comodo)???

scusate un attimo
l'equazione che ho messo in allegato, con z complesso e k reale diverso da 0, tralasciando l'argomento che dovrebbe assumere z, ammette soluzioni solo per k=+-1?

Non so cosa tu intenda per "uso giornaliero". Posso solo confermarti che quella che hai scritto è un'identità.

;)

[mate] proiezione vettore su procedimento di Gram-schmidt
 

Salve a tutti, non riesco a capire perchè nel procedimento di Gram-Schmidt cioè il procedimento con il quale da un sottospazio finitamente generato si riesce a ricavare una base ortonormale di vettori, per trovare la proiezione ortogonale di un vettore si moltiplica per 2 volte per il vettore ortonormale precedente.
Cioè:

w2' = v2 - (v2 * w1) * w1

perchè moltilplico 2 volte?
la proiezione parallela a w1 non mi è già data moltiplicando una volta solo il vettore per w1?
Grazie

La prima moltiplicazione è un prodotto scalare: due vettori in input, uno scalare in output.
La seconda moltiplicazione è un prodotto di uno scalare per un vettore: uno scalare e un vettore in input, un vettore in output.
Così ottieni la coordinata della componente di w2 nella direzione di w1.
Infatti quello che fai è togliere da w2 la componente parallela a w1, lasciando solo quella ortogonale.
A questo punto, il sistema {w1,w2'} non può che essere ortogonale.

Salve ragazzi.
Avrei bisogno di aiuto con queste equazioni differenziali:
La prima è facile ma il risultato che vien fuori a me è diverso da quello del mio libro, eccovela:

Si legga:
[(d^2\dx^2)P]: derivate seconda di P in x quadro.
[(d\dx)P]: derivata prima di P in x.
D è una costante.
E ed u sono delle costanti.



D * [(d^2\dx^2)P] = (P-p)\T

Le condizioni al contorno sono queste:

P( x = 0 ) = P(0) = costante.
P(x à inf) = p

Ovviamente chiede la soluzione P(x).

Poi mi chiede di risolvere la stessa equazione mantenendo invariata la prima condizione al contorno e modificando la seguente come segue:

P(W) = p con W un valore di x diverso da infinito ma più grande di 0.

In questa viene fuori il seno iperbolico:Buonasera!!!


Poi eccovi l’altra equazione:

[(d\dt)P] = -uE[(d\dx)P] + [(d^2\dx^2)P] -(P-p)\T

Trovare P(x,t) prima per E=0 e poi per E diverso da 0.




Chi mi aiuta?
Dario