Devo dimostrare per induzione la seguente formula:
per ogni n>0$ $n^3 -4n è multiplo di 3

Quindi il passo base è:

p(1) = 1^3 - 4*1 = 1 - 4 = -3

Il passo induttivo invece dice che:
Supponendo vera $P(n)= n^3 -4n$
Allora P(n+1) = (n + 1)^3 - 4·(n + 1)

Ora per dimostrare che sia effettivamente multiplo di tre immagino che devo scrivere la formula P(n+1) in modo che si capisca a colpo d'occhio che sia effettiamente multiplo di 3. Però non riesco a trovare nessun modo per scriverlo.

no, hai ragione. hai messo il secondo membro maggiore di zero nel sistema. ora torna.

dipende. se a>0 e non ha soluzioni reali, l'equazione di secondo grado sarà sempre positiva. se a<0 invece no, devi studiare il segno.

la prima parentesi è multiplo di 3 per ipotesi induttiva, la seconda parentesi è anch'essa palesemente multiplo di 3. fine.

per non lasciare nulla al caso, mi potresti fare un esempio in cui non si può elevare al quadrato ?

ciao

Quindi in quest'altro esercizio:

Per ogni n >= 2 3n+1 < 3n^2

Il passo base è verificato infatti:
P(2) = 3*3+1 < 3*2^2
che diventa 6 < 12


Per il passo induttivo supponiamo vera P(n)=3n+1 < 3n^2

Quindi P(n+1) = 3(n+1)+1 < 3(n+1)^2

perciò mi ritrovo a 3n+4 < 3n^2+6n+3

Cioè posso dire che:

3n+4 < 3n^2+6n+3

si può scrivere anche come

(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3

Ed essendo

3n+1 < 3n^2

Se diciamo che esiste h1, h2, appartenenti a Z ovvero h1 = (3n+1) e h2 = (3n^2)
Ed abbiamo detto nel passo induttivo che h1< h2

Possiamo dire anche che
h1+3< h2+6n+3 sarà a sua volta sicuramente vera? o l'ho fatta troppo facile?

no, è ancora più semplice :D

infatti arrivi a scrivere sviluppando i quadrati:

esaminando solo la parte senza 6n, la disequazione è vera per ipotesi induttiva. se sommi al secondo membro un numero sicuramente positivo (n appartiene ai naturali positivi maggiori di due) la disequazione è ancora vera, perchè la stai rafforzando.

1<2 ma ancora di più 1<2+3

semplice :D

non è che non si può elevare al quadrato, devi semplicemente stare attento quando studi i segni, perchè perdi delle soluzioni senza imporre condizioni come hai fatto precedentemente ;)

quindi se mi affido a queste non sbaglio mai ?

penso di si, anche perchè altrimenti avrebbero già modificato la voce.

comunque devo ammettere di essere poco abituato a ragionare per regole e metodi. ad esempio quando ho visto la disequazione precedente mi è venuto subito in mente di dividere la singola disequazione in due, dove in una prendevo il secondo membro maggiore di zero e elevavo a potenza, la seconda elevando a potenza ma cambiando di segno la disequazione. in maniera tale da non perdere nessuna soluzione per strada.

poi naturalmente il risultato veniva esattamente come dice wikipedia, ma mi sembra più utile capire quello che si sta facendo, piuttosto che arrivare al risultato corretto ;)

sinceramente non ho trovato nulla che spieghi perchè funzioni a quel modo, intuitivamente a me non viene in mente nulla

ciao

p.s.
QUI si dice che esiste un altro metodo per risolvere le disequazioni irrazionali ma sinceramente non l'ho capito

leggendo una delle proposizioni del teorema fondamentale dell'aritmetica sono arrivato a questa:

Con a>1
a= p1^alfa1*p2^alfa2*..*pn^alfan

Poi dice sia b un divisore di a con b>0
b=p1^beta1*p2^beta2*pn^betan

con 0<=beta1<=alfa1
..
con 0<=betan<=alfan

Quindi beta1 può essere scritto in alfa1+1 modi
..
betan può essere scritto in alfan+1 modi

Non l'ho capita.

Ho a= 15
a= 3^1 *5^1

Poi ho B= 3
3 è primo e quindi è scomponibile solo per se stesso

Quindi beta1 qui è 1 e alfa 1 è anche uno quindi

0<= 1 <= 1

Quindi 1 può essere scritto in 1+1=2 modi? ovvero?

Stai sbagliando ragionamento. L'EQUAZIONE associata non ha soluzioni in R, ma la DISEQUAZIONE ha per soluzioni tutto R. E' perfettamente logico.
Se hai una disequazione del tipo:
ax^2+bx+c>=0
quando risolvi l'equazione associata
ax^2+bx+c=0
non stai trovando direttamente le soluzioni della disequazione.
TI STAI SERVENDO delle soluzioni dell'EQUAZIONE per trovare le soluzioni della DISEQUAZIONE.
Nel tuo caso, l'equazione associata non ha soluzioni(lascia perdere il campo complesso).
Ciò significa, semplicemente, che la soluzione della disequazione non è sotto forma di intervallo: o è tutto R o è insieme vuoto.
Ora, poiché a>0 e poiché la disequazione ha il simbolo >= tra i membri, la soluzione è tutto R.

Esempio semplice semplice:

x^2+2>0

L'equazione associata ha delta negativo, quindi l'equazione non ha soluzione.
Ma la disequazione, lo vedi tu stesso, ha per soluzioni tutto R, poiché il primo membro è maggiore di zero sempre, qualsiasi valore(reale) tu inserisca in x.

altri dubbi :stordita:

dato il seguente intervallo
A=(3,5] - {x appartiene R: 3 < x <= 5}
si dice che:

3 è un minorante di A ma non è il minimo di A perchè non sta in A, per dire che 3 sta in A avrei dovuto scrivere 3 <= x <= 5

5 è sia un maggiorante che il massimo di A

in grafica:
-oo ---- (3 ------- 5] ----- +oO

domanda:
quindi il minimo di a è ad esempio 2 ?
I maggioranti di A sono oltre al 5, il 6, 7 etc.. ?


grazie

ciao

ecco a cosa mi serve l'equazione associata :muro:
A trovare un eventuale intervallo e può esistere o non esistere e se non esistono soluzioni nell'equazione associata non è detto che la disequazione non sia verificata :muro:

p.s.
difatti non avevo ben chiaro a cosa mi servisse risolvere l'equazione associata

grazie

Vedi questa spiegazione come un discorso generale per capire meglio che cosa dice il libro(anche perché potrei aver sbagliato a scrivere qualcosa).

In generale, abbiamo 4 casi:

1) sqrt(f(x))>g(x)
2) sqrt(f(x))>=g(x)
3) sqrt(f(x))<g(x)
4) sqrt(f(x))<=g(x)

CASO 1:
A prescindere dal fatto che esistano o meno, le soluzioni possono far cambiare segno a g(x). Ciò comporterebbe dei problemi...
Per risolvere, distinguiamo i casi nei quali g(x) è negativo e g(x) è maggiore o ugale a zero. Separiamo cioè la disequazione in due parti, troviamo le soluzioni di entrambe, e alla fine le UNIAMO.

Se g(x)<0, il primo membro, sempre positivo, fa si che la disequazione sia sempre vera, almeno per i valori di x che rendono g(x) negativo.
Oltre a ciò, deve pure essere f(x)>=0, sennò il primo membro non ha senso.
Quindi una parte delle soluzioni di 1) è costituita dai valori di x che rispondono a queste due condizioni, e tali valori sono proprio le soluzioni del sistema:

/ g(x)<0
|
\ f(x)>=0

Se invece g(x)>=0, non sappiamo direttamente se sqrt(f(x))>g(x). Però possiamo elevare al quadrato ambo i membri, perché la relazione di ordine che intercorre tra due numeri positivi vale anche per i loro quadrati(cioè, dati A e B positivi, se A>B allora pure A^2>b^2, se sono negativi invece accade il contrario). Otterremmo quindi f(x)>g(x)^2.
Inoltre vale sempre f(x)>=0.
Quindi abbiamo tre disequazioni, che devono essere sempre verificate per ogni soluzione(sennò non si chiamerebebro soluzioni).

/ g(x)>=0
| f(x)>g(x)^2
\ f(x)>=0

Trovate le soluzioni di questi due sistemi, la soluzione totale è l'unione di essi.

CASO 2:
Questo caso è uguale al precedente tranne che nel secondo sistema, la seconda disequazione è f(x)>=g(x)^2.

CASO 3:
Forse questo è più semplice.
Poiché il primo membro è sempre positivo, il secondo NON PUO' essere negativo e nemmeno nullo(un numero positivo o nullo non è mai minore di uno negativo o nullo, il massimo che puoi ottenere è 0<0, che è FALSA).
Quindi g(x) può solo essere strettamente positivo, perciò possiamo elevare al quadrato la disequazione, e unitamente alla condizione precedente e alla ovvia f(x)>=0 otteniamo:

/ g(x)>0
| f(x)<g(x)^2
\ f(x)>=0

Perciò hai un solo sistema: risolvendo quello trovi le soluzioni della disequazione iniziale.

CASO 4:
Come sopra solo che stavolta g(x) può essere 0(infatti potrebbero esistere valori di x che annullano sia sqrt(f(x)) che g(x); avremmo 0<=0, che è VERA).
Pericò:

/ g(x)>=0
| f(x)<=g(x)^2
\ f(x)>=0


Noterai che la condizione f(x)>=0 c'è sempre. E' ovvio.
Essa infatti è una CONDIZIONE DI ESISTENZA DELLA DISEQUAZIONE, non delle soluzioni. E' una condizione più forte di quelel che riguardano le soluzioni, perché se non è rispettata non solo non hai soluzioni, ma la disequazione stessa NON HA SENSO.

Mi sa che intendevi 2, visto che -2 non sta in A.:mbe:
Se fossimo nell'insieme dei numeri naturali 2 sarebbe il minimo, ma se stiamo in R quell'intervallo non ha minimo.:eek:
In pratica, nell'insieme dei numeri che stanno in (3,5], qual'è quello più piccolo?
Non c'è perché per ogni numero K che è maggiore di 3 io te ne posso trovare uno più piccolo: quello che sta tra 3 e K.:D
Quindi è un numero che non potrai mai trovare, quindi non esiste.

Il minimo(o massimo), se esise, è il numero più piccolo(o più grande) che sta nell'intervallo.
Capirai che il minimo(o massimo) se esiste ce n'è uno solo.

Se ho sbagliato nelle definizioni qualcuno mi corregga subito.:doh:

Quell'esponente negativo, quell'addendo di gamma, sono 1 oppure la lettera L?
Nel secondo caso la vedo dura esplicitare epsilon...

In che senso un numero può essere scritto in n modi?:mbe:
Cosa intende il testo?

per piacere, usa latex:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155

dopodiché ti do una mano.

infatti volevo scrivere 2 :fagiano: pardon.
Per minimo 2 intendo, scusa per l'imprecisione, un numero a piacere prima del 3 ma poteva essere un altro; il 2 l'ho usato allo scopo di sapere se avevo capito il concetto di minimo.
Da quanto ne ho capito la parentesi quadra posta a questo modo 5] fa assumere al numero 5 il significato di massimo in quanto tutti i numeri oltre il 5 piccoli o grandi a piacere sono maggioranti.
Il 3 invece è minimo in quanto per via della parentesi (3 non lo include nell'insieme A e quindi si dice che in quell'intervallo non c'è un minimo ma 3 è un minorante :stordita:

grazie 1000

Fermo, fermo!!!:eek:
Ho detto una cazzata.
2 sta fuori dell'intervallo, quindi non è un minimo.
Nell'insieme dei numeri naturali 4 è il minimo dell'intervallo (3,5].

5] significa che 5 fa parte di quell'insieme, ed essendo il più grande è il massimo dell'insieme.
(3 significa che 3 non fa parte dell'insieme. In questo caso il minimo sarebbe il successivo di 3, che in N esiste e è 4, ma in R NON ESISTE.

Se lo sapessi non sarei qui a domandarlo :D

Bè scusami ma essendoci giusto qualche elevazione a potenza ho pensato che fosse comunque facile leggerle con il semplice segno ^.

scusa riassumendo: (3, 5]
3 non è minimo, non ammette minorante e non e limitato inferiormente in quanto on ammette minorante

5 è massimo, ammette maggiorante ed è limitato superiormente

ciao

ragazzi come si fa a dimostrare le seguenti affermazioni?

siano f : A->B e X, Y ⊆ A
1. L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini.
In simboli: f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y)

2. L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: f(X∩Y) = f(X) ∩ f(Y)

3. dimostrare che la seconda uguaglianza vale se e solo se f è iniettiva

potete aiutarmi? Uno spunto di partenza, qualsiasi cosa :p

Vado a cappella:

1) Basta che definisci l'immagine di X U Y

f(X ∪ Y) è l'insieme degli z elementi tali che
z=f(x) con x appartenente a X => z appartiene a f(X)
oppure
z=f(y) con y appartenente a Y => z appartiene a f(Y)
Quindi ogni elemento di z appartiene a f(X) oppure a f(Y), ma ciò significa che appartiene a f(X) U f(Y), dalla definizione di unione di insiemi.

2) Come sopra, basta sostituire oppure con e, e il simbolo U con ∩.

3) Se f non fosse iniettiva, potrebbe succedere che esistano x e y tali che f(x)=f(y)=z
Se x appartiene sia a X che a Y ma y appartiene a Y ma non a X, allora
f(x) appartiene a f(X ∩ Y)
f(y) appartiene a f(X U Y)\f(X) cioè all'immagine della parte di Y non "condivisa" con X.
Ma ciò è assurdo, perché significherebbe che c'è un elemento z=f(x)=f(y) che appartiene a due insiemi separati, f(X ∩ Y) e f(X U Y)\f(X) non hanno elementi in comune.

grazie mille :)

Qualcuno sa dirmi perchè nel Crivello di Eratostene si considerano solo i numeri primi inferiori alla radice del numero che si vuole controllare primo?

Non è proprio così.
Se vogliamo trovare tutti i numeri primi minori di 30, il procedimento del Crivello di Eratostene si ferma nel punto in cui vogliamo eliminare i multipli di 7. Infatti, l'unico multiplo che troveremmo sarebbe 49, che sta fuori dell'intervallo considerato. Poiché gli altri multipli(14,21,28,...) li abbiamo già eliminati quando abbiamo cercato i multipli dei numeri primi precedenti a z(14 e 28 li abbiamo cancellati quando cercavamo i multipli di 2, 21 quando cercavamo i multipli di 3), non troveremo altri multipli minori di 30, escluso, ovviamente 7.
http://it.wikipedia.org/wiki/Crivello_di_Eratostene

Per ogni numero n, la lista dei suoi multipli è struttrata in due parti:
Prima parte: n moltiplicato per i vari numeri minori di n: n, 2n, 3n, 4n, 5n...
Seconda parte: n moltiplicato per i numeri maggiori o uguali a n: n*n, n*(n+1), n*(n+2),...

Quindi alla domanda "perchè ci si ferma alla radice del numero per cercare i numeri primi" posso rispondere perchè tutti i numeri successivi alla radice o sono combinazioni dei numeri che abbiamo già trovato, e quindi li abbiamo già cancellati, oppure le loro combinazioni vanno oltre al numero di cui desideriamo testare se è primo o meno.

Che dici? si può smussare qualche angolo? :fagiano:

domanda:

numeri da 1 a 90 (giuoco del lotto)

le combinazioni da 2 numeri (ambi) sono 4005

quindi giocando un ambo ho una probabilità su 4005 di vincere


vengo al punto...
quante probabilità ho, giocando N volte (con N = qualsiasi numero intero positivo) lo stesso ambo, di vincere ALMENO una volta?

Piccola imprecisione: se parli di giocata su ruota singola, gli ambi estratti ogni volta sono 10, perché vengono estratti 5 numeri. Ciò significa che devi dividere 4005 per 10, quindi la probabilità di fare un ambo è di 1 su 400,5.

Riguardo il quesito, intendendo che tu voglia giocare lo stesso ambo in estrazioni diverse :D , a meno di un abbaglio enorme che non escludo :asd: , direi che devi moltiplicare 1/400,5 per N.

azz e' vero :fagiano:
mmm non mi convince...nel caso in cui N fosse 400 avrei una probabilita' CERTA (=1) di vincere...ovvero giocando per 400 volte lo stesso ambo dovrei vincere almeno una volta...cosa che non e' assolutamente vera!

ho la seguente disequazione con valore assoluto:
|x-1| < x+1

quindi devo risolvere i due seguenti sistemi:
(1)
x >= 1
x - 1 < x + 1

(2)
x < 1
-x + 1 < x + 1

mi chiedevo se invece avessi avuto una cosa simila:
|x-1| < |x+1|

devo risolvere 4 sistemi e cioè aggiungere questi 2 ulteriori sistemi ?

(3)
x >= -1
x - 1 < x + 1

(4)
x < -1
x - 1 < -x - 1
grazie

Se p è la probabilità di vincere in una singola giocata e se le giocate sono indipendenti, allora la probabilità di vincere almeno una volta in N giocate, è 1 meno la probabilità di perdere sempre in N giocate, ossia:



Per p=1/400,5 e N=52 hai P_N=12,19%.

grazie mille!

Avevo fiutato l'"abbaglio enorme"... :asd:

Piuttosto, posso chiedervi una mano sulle sottrazioni fra binari?
Però niente indovinelli, che già so che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, se poi non siete chiari e coincisi sono perso :D

Praticamente si è detto che per rappresentare in binario in un numero negativo si effettua il modulo due del numero ovvero si effettua il modulo 1 e poi si aggiunge 1. Dove per modulo 1 si intende convertire gli 1 in 0 e viceversa.

Ad esempio 8 = 01000 e -8 = 10111 in modulo 1 e 10111+1 = 11000 in modulo 2 (utilizzo 5 bit anzichè 4 altrimenti non riusciremmo ad effettuare la rappresentazione)

A questo punto se devo fare 10 -8 scrivero in colonna il corrispettivo dei due numeri e ne effettuero la somma.

In questo caso 10 = 1010 + 11000 ovvero 100010

Ovvero ignoriamo il bit in più, che sarà il segno e avremo 00010 ovvero 2 che è il nostro risultato.

Se facciamo invece -8 - 8 = -16 dobbiamo sommare il modulo 2 di 8 a se stesso ovvero:

11000+11000 = 110000 A questo punto però, essendo a sua volta un risultato negativo rifacciamo il modulo due del risultato e otteniamo 001111+1= 10000 che è proprio uguale a 16 in valore assoluto


Prendimo invece il caso in cui dobbiamo fare 8 -10 = -2, tradotta in binario dovremo fare.
1000 + il complemento 2 1010 = 0101 +1 quindi 1000 + 0110 = 1110 Dato che si tratta di un risultato negativo per riottenere il valore decimale in valore assoluto rifacciamo il complemento a 2 di 1110 che è 0001+1= 0010 ovvero 2.

Ho detto giusto fin qui?

Però c'era un caso particolare che diceva a lezione in cui nell'incolonnamento, se i due numeri avevano diverso numero di cifre, bisognava aggiungere un 1 o qualcosa del genere. Il punto è che non riesco più a trovare l'esempio, non riesco a trovare nulla nelle diappositive che lo spieghi, e quindi non so come vedere questa cosa.

Consigli?

Bèh, no, con due valori assoluti hai 3 casi non 4. Devi studiare come si comporta il segno delle quantità segnate come valore assoluto, al variare di x.

1) x<-1
In questo caso |x-1| e |x+1| sono entrambi negativi

2) -1<=x<1 cioè x>=-1 et x<1
In questo caso |x-1| è negativo e |x+1| è positivo o nullo

3) 1<=x
In questo caso |x-1| e |x+1| sono entrambi positivi o nulli

Nota che non esiste nessun valore di x che rende |x-1| positivo o nullo e |x+1| negativo...:D

Quindi i tre sistemi diventano:

(1)
1-x < -x-1
x<-1

(2)
1-x < x+1
x>=-1
x<1

(3)
x-1 < x+1
x>=1

nel primo caso però se trasporti la x membro a membro si ottiene

1-x < -x-1
1-x + x < -1
1 < -1

o iceversa

-x < -x -1 -1
-x < -x-2

non c'è qualcosa che non quadra ?

ciao

E che ti frega?
Vuol dire che il primo sistema non ha soluzione.:rolleyes: