Se la funzione è limitata e discontinua, al più, in un'infinità di punti di misura nulla (pensa ad un'infinità numerabile), essa è certamente integrabile.

I concetti di uniforme continuità e limite mi sa che devi rivederli per benino...

quindi anche la funzione che vale:
-1 per x<0
1 per x>0

è integrabile? oppure no perche in 0 non ha limite ma solo limite destro e sinistro?

Integrabile!
A non essere integrabile secondo Riemann è - ad esempio - la funzione di dirichlet, che vale 1 se x è razionale e 0 altrimenti...
Queste difficoltà si superano solo introducendo un concetto ben definito di misura di un insieme... questo porta in modo quasi automatico all'integrale di Lebesgue!




Invece...
come faccio a dimostrare che una particolare trasformazione è un cambio di base?
Mi basta dimostrare che è unitaria?

Di fatto, se ricordo bene, una funzione definita su un intervallo [a,b] chiuso e limitato --- e, mi sembra di ricordare, ivi limitata --- è ivi integrabile secondo Riemann, se e solo se il suo insieme di punti di discontinuità ha misura nulla secondo Lebesgue.
Se parli di "cambio di base", dò per scontato che si tratti di un endomorfismo.
Se F : V --> W è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali, allora dim V = dim Ker F + dim Im F.
Per cui, un endomorfismo di uno spazio vettoriale è invertibile se e solo se ha nucleo banale, ossia se è iniettiva; il che avviene se e solo se la matrice di cambiamento di base ha rango massimo. D'altra parte, ogni matrice invertibile ha ango massimo e induce un automorfismo.
Le applicazioni unitarie sono ipso facto iniettive...

lasciando perdere Lebesgue che non abbiamo trattato a lezione, la primitiva di una funzione discontinua, nel punto in cui la funzione è discontinua, cosa fa? ha un asintoto? o è continua? o non si sa?

Se ce la fai, sì, ti basta :D
Ma non è necessario: per un cambiamento di base è sufficiente dimostrare che la matrice è invertibile.

Bum, addirittura uniformemente continua... :rolleyes:
E' una condizione sufficiente, ma non necessaria. Ti ha risposto correttamente Ziosilvio.

No, affatto.
In entrambi i casi hai a che fare con questi dannati epsilon > 0, però i concetti sono ben diversi. Qual è il punto che ti confonde?

Dipende dalla discontinuità. Se è di seconda specie (leggasi: un salto finito, tipo la funzione a gradini che hai definito qualche post prima), allora la funzione integrale è continua ma ha un punto angoloso. Se è di prima specie, a seconda dei casi puoi avere un asintoto o meno. Ad esempio, se integri 1/x tra 0 e 1 hai una quantità infinita, mentre l'integrale di log(x) nello stesso intervallo vale -1.

se una funzione è continua su un intervallo è anche uniformemente continua su quell'intervallo... no?
comunque ok, questo l'ho capito! :sofico:

il punto è che mi sembra che entrambe stanno dicendo che elementi vicini devono avere immagini vicine... o non è così?

Per l'uniforme continuità l'intervallo deve essere chiuso (teorema di Heine-Cantor).

Per quanto riguarda il concetto di limite e di uniforme continuità, torno a ripetere che devi tornare a studiarli. Inoltre, troverei più naturale che i tuoi dubbi riguardassero la continuità e l'uniforme continuità piuttosto che il concetto di limite - che sta a monte - e l'uniforme continuità stessa.

Ad ogni modo, nell'uniforme continuità, il raggio dell'intorno dipende solo dall'epsilon scelto e non già dal punto x in cui la funzione è continua...

Scusa, intendevi forse "seconda specie" dove hai scritto "prima" e viceversa?

:confused:

Uhmmmm... sì. :stordita:

esatto :D
In realtà sono in dimensione infinita (sono in uno spazio di Hilbert), comunque sicuramente si tratta di un endomorfismo.
Dunque una volta che la mia trasformazione è invertibile - e questo è banale, dato che è definita come esponenziale di un operatore, tipo exp(iT), con T autoaggiunta - sono a posto... se in più è unitaria sono a cavallo, non sbaglio?

funzioni a due variabili
 

Buongiorno,
spero che qualcuno sia in grado di aiutarmi perchè non sono ancora riuscito a capire come risolvere i seguenti problemi

1)

Trovare punti di massimo in



Calcolare



nel dominio

D={(x,y): http://operaez.net/mimetex/(x-1)^2+y^2<=1,y>=0 }

2)

Trovare punti di massimo e minimo in

http://operaez.net/mimetex/{(x,y) x^2+y^2-9>=0, x<=6, y<=6}



Scusate ma non riesco a far visualizzare tutte le formule!!

Allora le cose si complicano, perché in dimensione infinita non è più vero che ogni endomorfismo iniettivo è invertibile, nemmeno se è un'isometria.
Controesempio: spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile; operatore T definito da (Tx){0}=0, (Tx){i+1}=x{i} per ogni i; allora T è un'isometria, ma la successione 1,0,0,0,... non ha la forma Tx per nessun x.
Non sbagli: unitario vuol dire che l'aggiunto è uguale all'inverso.
Vedi anche Wikipedia.

I criteri per la ricerca dei punti di massimo di funzioni di più variabili, sono più o meno gli stessi del caso unidimensionale. Il requisito "derivata nulla" diventa però "derivate parziali nulle".
Nel tuo caso, però, l'insieme in cui cercare il massimo è una circonferenza, quindi puoi esprimere x e y in funzione di seno e coseno di una variabile opportuna.

Per il calcolo dell'integrale... beh, il dominio di integrazione è un semicerchio: integra prima rispetto a y esprimendo y in funzione di x, e poi integra rispetto a x.
Qui l'insieme di definizione è un dominio, quindi devi usare tutti i metodi che conosci e cercare in tutti i punti possibili. Quali siano quelli possibili, dovrebbe seguire dalle tue reminiscenze di Analisi I.
In LaTeX, per visualizzare una parentesi graffa, devi farla precedere da una barra rovesciata.
Per scrivere minore-o-uguale, minore, maggiore, e maggiore-o-uguale, usa \leq, \lt, \gt, e \geq.

Innanzitutto grazie mille per la risposta,
per quanto riguarda il primo punto della prima domanda la soluzione potrebbe essere questa: il gradiente vale (2x,2y) quindi la funzione ha punto di max o min in (0,0) che siccome non e' all'interno del dominio allora nel dominio stesso non vi sono punti di max! sto dicendo una cavolata?

A parte che il gradiente è (2x-1,2y): fa' attenzione, perché il criterio "gradiente nullo" vale per punti interni, e una circonferenza non ha punti interni (è fatta solo di punti di frontiera).
Prova a seguire il mio consiglio...

Scusami se abuso della tua gentilezza,


Cosa intendi? non credo di averlo mai visto fare !

Questo mi preoccupa veramente.
L'insieme su cui devi trovare i punti di minimo e massimo, è una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1: quindi puoi riscrivere x-1 come cos(t) e y come sin(t), per t che varia tra 0 e 2 Pi.
È una trasformazione assolutamente standard, che dovrebbero aver spiegato a lezione: possibile che non l'abbiano fatto?

Sono le coordinate cilindriche? comunque si le ho viste ma non ci hanno mai spiegato come usarle per calcolare punti di max e min! :muro:

Intende che si tratta di un problema con vincolo, quindi hai due possibilità: o utilizzi il metodo cosiddetto dei "moltiplicatori di Lagrange", oppure espliciti l'equazione della circonferenza e restringi lo studio dei massimi e minimi della tua funzione su di essa (diverrà, in pratica, la ricerca dei massimi e minimi di una funzione di una variabile...).

Dico bene Silvio?

;)

P.S.: Ops! mi sa che i dubbi dell'amico utente erano altri... :doh: