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p3e2 24-08-2006 15:26

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio
Ehm... esattamente come ha scritto sotto Ziosilvio, notando che la y era una successione di numeri "triangolari" (chi ha letto il mago dei numeri sa cosa intendo :o ) ed utilizzando la nota formula di gauss

Quindi passi al continuo...
Non è rigorosissimo, ma funziona!

Non l'avevo notato... ;)

Purtroppo ho studiato le parabole (solo quelle con retta direttrice parallela ad uno degli assi) ma nonostante provassi a sostituire i dati ottenuti nell'equazione generica, da me studiata, non ottenevo mai la soluzione corretta. Questo succedeva perchè la parabola in questione non è del tipo da me studiato o sbagliavo qualcosa???

Per chi non sapesse cosa sono i numeri triangolari (come il sottoscritto):
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare

Mi sposto nel 3d in rilievo per esporvi altri miei quesiti!!!

Grazie a tutti per la disponibilità :D

p3e2 24-08-2006 15:39

2 domande

Si può riconoscere un numero irrazionale???

Mi rendo conto sempre più che le mie nozioni di matematica mi stanno un po' strettine, vorrei sapere verso cosa mi dovrei orientare per lo studio. Attualmente so tutto ciò che ho imparato a scuola nei miei tre anni di liceo scientifico: insiemi (ovviamente ben poca roba), equazioni e disequazioni con grado superiore al secondo (da rispolverare), geometria analitica (rette, parabole, circonferenze, ellissi). Cosa fare e da dove partire???

Grazie :D

TALLA 24-08-2006 16:11

Bè un numero irrazionale è un numero a rappresentazione infinita.
Ad esempio sono irrazionali numeri come pi greco, e il numero di nepero, i quali hanno infiniti termini diversi tra loro.

Poi non capisco a quale tipo di studio ti vuoi orientare, e da dove vuoi partire...per cosa?

p3e2 24-08-2006 16:32

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Bè un numero irrazionale è un numero a rappresentazione infinita.
Ad esempio sono irrazionali numeri come pi greco, e il numero di nepero, i quali hanno infiniti termini diversi tra loro.

Questo lo so... ;) Mi chiedevo se si potesse riconoscerlo... ad esempio radical 7 è irrazionale???

Quote:

Poi non capisco a quale tipo di studio ti vuoi orientare, e da dove vuoi partire...per cosa?
Nulla di che mi piace molto la geometria analitica e le equazioni... comunque è per avere delle buone basi in generale per poi buttarmi su qualche argomento più specifico. ;)

TALLA 24-08-2006 17:01

Bè ogni radice è irrazionale a parte quella di un quadrato perfetto. :fagiano:

Secondo me una buona base matematica che affronti argomenti che spaziano dallo studio di funzioni fino all'integrazione, con il supporto di vari teoremi di geometria è più che sufficente per qualsiasi introduzione approfondita alla materia :cool:

p3e2 24-08-2006 17:26

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Bè ogni radice è irrazionale a parte quella di un quadrato perfetto. :fagiano:

Sì sì, ok!!! Non mi sono spiegato... ma chi mi dice che da un numero irrazionale ne derivi, attraverso un operazione, sempre un altro anche se i due sono entrambi irrazionali. Questa è la domanda più precisa... Come faccio a dire che un numero è irrazionale o addirittura trascendente??? Cioè si ha la certezza che da un numero irrazionale ne derivi di certo un altro???

Quote:

Secondo me una buona base matematica che affronti argomenti che spaziano dallo studio di funzioni fino all'integrazione, con il supporto di vari teoremi di geometria è più che sufficente per qualsiasi introduzione approfondita alla materia
Link, libri da dove posso cominciare???

Grazie

Ziosilvio 24-08-2006 17:35

Quote:

Originariamente inviato da p3e2
Si può riconoscere un numero irrazionale?

Non sempre.
Ad esempio, della costante gamma di Eulero-Mascheroni non si sa se sia razionale o irrazionale.
Quote:

ad esempio radical 7 è irrazionale?
Se p è primo, allora la radice quadrata di p è un numero irrazionale.
Quote:

chi mi dice che da un numero irrazionale ne derivi, attraverso un operazione, sempre un altro anche se i due sono entrambi irrazionali
.
Nessuno.
Infatti radice-di-due e radice-di-otto sono entrambi irrazionali, ma il loro prodotto è 4, che è addirittura intero.
Quote:

vorrei sapere verso cosa mi dovrei orientare per lo studio.
Per adesso, va bene quello che studierai i prossimi anni.

Ziosilvio 24-08-2006 17:38

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
un numero irrazionale è un numero a rappresentazione infinita

Un numero irrazionale è un numero a rappresentazione infinita aperiodica.
Solo che la periodicità di uno sviluppo decimale non è una proprietà decidibile...

p3e2 24-08-2006 18:11

Quindi definire un numero razionale non è una cosa tanto semplice... se mi trovassi di fronte ad un numero con una lunghezza spropositata di decimali, dimostrare che esso sia irrazionale non è un procedimento abbastanza diretto.

Da dire che però... la radice-di-otto non è che 2-per-radice-di-due. Quindi essenzialmente ho elevato a potenza di 2 la radice-di-due. ;)

E ancora... un numero irrazionale è unico!!! (Spero di dire bene) Non esiste nessun altro numero irrazionale che sia parte di esso. Mi spiego... Radice-di-due meno uno da un numero irrazionale che non può essere frutto di nessun altro calcolo... Quindi la sequanza dei numeri decimali di un numero irrazionale è unica e non è ottenibile da nessun altra operazione, se non attrverso l'utilizzo del numero irrazionale stesso. Questo significa che il numero 0,1415... è ottenibile solo da pi greco meno tre!!! E' giusto no???

Grazie

ChristinaAemiliana 24-08-2006 23:57

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio
Wow! Bello vedere che questo thread abbia successo anche durante le vacanze!
Io sono felicemente a malta, ma non temete: presto tornero'! :Perfido:
Scusate il post spammoso... comunque ciao a tutti, mi mancate!!!
F.

:mbe: :D

Ho unito al thread la discussione di p3e2. ;)

E visto che siamo in vena di spam estivo, comunico che sono anch'io soddisfattissima dell'aiuto ricevuto nel thread, dal momento che grazie ai chiarimenti di Ziosilvio sulle distribuzioni la mia ripresa degli studi è iniziata con un bel 30 in Analisi 3! :yeah:

Lucrezio 25-08-2006 00:03

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
:mbe: :D

Ho unito al thread la discussione di p3e2. ;)

E visto che siamo in vena di spam estivo, comunico che sono anch'io soddisfattissima dell'aiuto ricevuto nel thread, dal momento che grazie ai chiarimenti di Ziosilvio sulle distribuzioni la mia ripresa degli studi è iniziata con un bel 30 in Analisi 3! :yeah:

Complimenti!
Ma... scusa, esattamente che cosa hai "ripreso" a studiare? Seconda laurea in arrivo?

Ziosilvio 25-08-2006 10:12

Quote:

Originariamente inviato da p3e2
se mi trovassi di fronte ad un numero con una lunghezza spropositata di decimali, dimostrare che esso sia irrazionale non è un procedimento abbastanza diretto.

Innanzitutto, un numero con una sequenza spropositata ma finita di decimali, è necessariamente razionale.
Poi, come ho già detto, la periodicità di una stringa infinita non è una proprietà decidibile.
Quote:

Da dire che però... la radice-di-otto non è che 2-per-radice-di-due. Quindi essenzialmente ho elevato a potenza di 2 la radice-di-due.
No, a potenza di tre, perché hai moltiplicato 2, che è radice di 2 al quadrato, per radice di 2: quindi i fattori uguali a sqrt(2) sono tre, non due.
Quote:

un numero irrazionale è unico
Qualsiasi numero è unico.
E qualsiasi sviluppo decimale identifica un numero e uno solo.
Semmai, ci possono essere coppie di sviluppi decimali che identificano lo stesso numero (es. 0,9 periodico e 1); ma sono un insieme di misura nulla.
Quote:

Non esiste nessun altro numero irrazionale che sia parte di esso.
E perché no?
Quote:

Radice-di-due meno uno da un numero irrazionale che non può essere frutto di nessun altro calcolo
Questa affermazione è semplicemente falsa.
sqrt(2)-1 è uguale a 2*sqrt(2)-sqrt(2)-1: calcoli diversi ma risultato uguale.
Quote:

Quindi la sequanza dei numeri decimali di un numero irrazionale è unica
Questo è vero, ma il motivo non è quello che dici tu.

(E poi: in questo contesto è corretto parlare di cifre decimali.)

Ziosilvio 25-08-2006 10:14

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
:mbe: :D

Ho unito al thread la discussione di p3e2. ;)

E visto che siamo in vena di spam estivo, comunico che sono anch'io soddisfattissima dell'aiuto ricevuto nel thread, dal momento che grazie ai chiarimenti di Ziosilvio sulle distribuzioni la mia ripresa degli studi è iniziata con un bel 30 in Analisi 3! :yeah:

Noto con piacere che rompermi la schiena tutti questi anni è servito a qualcosa :sborone:

Complimenti, dottoressa! :cincin:

p3e2 25-08-2006 11:43

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Innanzitutto, un numero con una sequenza spropositata ma finita di decimali, è necessariamente razionale.
Poi, come ho già detto, la periodicità di una stringa infinita non è una proprietà decidibile.

No, aspetta... quello che volevo dire è che se ci trovassimo con un numero con milioni (non so quale sia il livello dei nostri calcolatori) di cifre decimali. ovviamente abbiamo approsimato il numero perchè molto probabilmente è irrazionale ma c'è sempre la possibilità che dopo due miliardi di cifre dopo la virgola possiamo mettere la parola fine a quel numero. Non oso pensare che frazione sia... però c'è questa possibilità... come tu hai dato prova mostrandomi la costante gamma di Eulero-Mascheroni. ;)

Quote:

Qualsiasi numero è unico.
E qualsiasi sviluppo decimale identifica un numero e uno solo.
Semmai, ci possono essere coppie di sviluppi decimali che identificano lo stesso numero (es. 0,9 periodico e 1); ma sono un insieme di misura nulla.
OK, mi sono spiegato meglio dopo...

Quote:

E perché no?

Questa affermazione è semplicemente falsa.
sqrt(2)-1 è uguale a 2*sqrt(2)-sqrt(2)-1: calcoli diversi ma risultato uguale.
Aspetta... hai fatto ricorso sempre alla radice di due!!! E per realizzare quella sequenza dovrai sfruttare sempre la radice-di-due anche se non direttamente. ;)

Quote:

Questo è vero, ma il motivo non è quello che dici tu.

(E poi: in questo contesto è corretto parlare di cifre decimali.)
Ci siamo. :D

Ziosilvio 25-08-2006 18:46

Quote:

Originariamente inviato da p3e2
Aspetta... hai fatto ricorso sempre alla radice di due!!! E per realizzare quella sequenza dovrai sfruttare sempre la radice-di-due anche se non direttamente. ;)

Hai ragione.

Allora chiamiamo pow(x,k) la k-esima potenza di x e diciamo che:
Codice:

pow(2,1/2) - 1 = pow(2,1/4) * pow(2,1/4) - 1
A secondo membro la radice quadrata di due non c'è.
Va meglio? ;)

p3e2 25-08-2006 19:23

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Hai ragione.

Allora chiamiamo pow(x,k) la k-esima potenza di x e diciamo che:
Codice:

pow(2,1/2) - 1 = pow(2,1/4) * pow(2,1/4) - 1
A secondo membro la radice quadrata di due non c'è.
Va meglio? ;)


No... :Prrr: C'è sempre... sì possiamo aggirare... quello che volevo dire... di certo non voglio dimostrare che la sequenza è unica perchè non è riproducibile... Il fatto che non sia ritrovabile attraverso un'operazione è una conseguenza del fatto che la sequenza è unica, anzi che ogni numero è unico. (come facevi notare tu.) ;) Comunque sono io che ho la testa un po' bacata ed avevo una mezza ideuccia del tutto strampalata... :p

Grazie

TALLA 26-08-2006 11:22

Taylor
 
Il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione



con centro in t(0)=1

Facendo i calcoli a me risulta

Invece la soluzione dovrebbe essere



Ma non capisco proprio dove sbaglio :muro:

Lucrezio 26-08-2006 12:14

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione



con centro in t(0)=1

Facendo i calcoli a me risulta

Invece la soluzione dovrebbe essere



Ma non capisco proprio dove sbaglio :muro:

Beh, la derivata prima è

che calcolata in t=1 dà -2/e;
la derivata seconda è

che calcolata in t=1 dà 2/e
Quindi il polinomio di Taylor di grado due dovrebbe essere:

Funziona!

TALLA 26-08-2006 12:41

Giusto che idota!!!
Io consideravo solo il pezzo del polinomio di 2°grado :doh:
cioè solo



Grazie lucri!

Lucrezio 26-08-2006 13:00

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Giusto che idota!!!
Io consideravo solo il pezzo del polinomio di 2°grado :doh:
cioè solo



Grazie lucri!

Di nulla!

8310 28-08-2006 22:40

[ot][spam]

Vedo che siete tornati tutti dalle vacanze :)
Io sono impelagato nei meandri della Fisica Tecnica...l'esame si avvicina....altro che vacanze :cry:
Complimenti a Christina per il 30!!!!Saluti a ZioSilvio ( :ave: ^ :ave: non mi stanco mai di leggere i tuoi post, anche e soprattutto riguardo argomenti che non conosco) e all'Epicureo :D

[/spam][/ot]

Lucrezio 28-08-2006 23:01

Quote:

Originariamente inviato da 8310
[ot][spam]
[cut]
e all'Epicureo :D

[/spam][/ot]


Sarei io :mbe:
Cmq in bocca al lupo per fisica tecnica! Facci sapere! :D

Lelesquiz 29-08-2006 14:20

Qualcuno mi potrebbe ricordare com'è la regola delle frazioni generatrici?
Mi serve x i compiti ma nn me la ricordo proprio, e sui wiki nn ho trovato niente.... grazie

Ziosilvio 30-08-2006 15:58

Quote:

Originariamente inviato da Lelesquiz
Qualcuno mi potrebbe ricordare com'è la regola delle frazioni generatrici?
Mi serve x i compiti ma nn me la ricordo proprio, e sui wiki nn ho trovato niente.... grazie

Immagino tu ti riferisca al problema di trovare una frazione che corrisponda a un numero periodico dato.
Ossia: tu hai un numero x del tipo 0,a{1}...a{k}p{1}...p{n}p{1}...p{n}... --- quindi: numero compreso tra 0 e 1, con antiperiodo a{1}...a{k} e periodo p{1}...p{n} --- e vuoi trovare due interi y e z tali che x = y/z.

Se l'antiperiodo non c'è, prendi come y il periodo, e come z un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Ad esempio, 0,125125125... è uguale a 125/999.

Se l'antiperiodo c'è, osservi che x = 0,a{1}...a{k} + 0,0...0p{1}...p{n}p{1}...p{n}... --- con k zeri tra la virgola e il periodo.
Il primo numero è semplicemente a{1}...a{k}/(10^k); il secondo, è 0,p{1}...p{n}p{1}...p{n} diviso anche lui per 10^k.
E allora puoi trovare y e z così:
- y è formato dal periodo, più l'antiperiodo moltiplicato per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo;
- z è formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Ad esempio, hai x = 0,1252525... --- quindi, antiperiodo 1 e periodo 25.
L'antiperiodo ha una cifra, il periodo ne ha 2.
Poni y = 1*99 + 25 = 124; poni z = 990.
Allora y/z = 124/990 = 62/495 = 0,12525...

Lelesquiz 30-08-2006 18:11

Grazie mille! Ecco com'era! Adesso posso continuare i compiti... thks a lot

serbring 31-08-2006 15:39

qualcuno sà come posso scomporre in fratti semplici la questa frazione utilizzando il metodo dei residui? ( Cioè quello descritto a pag 107 di questo file questo )

Ziosilvio 01-09-2006 17:53

Quote:

Originariamente inviato da serbring
qualcuno sà come posso scomporre in fratti semplici la questa frazione utilizzando il metodo dei residui? ( Cioè quello descritto a pag 107 di questo file questo )

Ti ricordo innanzitutto il Teorema dei residui:
Codice:

Sia A un aperto del piano complesso
e sia S un sottoinsieme di A costituito unicamente da punti isolati.

1) Se gamma è un circuito contenuto in A\S,
allora esiste al più un numero finito di punti s appartenenti ad S
tali che l'indice di avvolgimento di gamma intorno ad s
sia diverso da zero.

2) Se inoltre f è una funzione olomorfa in A\S, vale la formula:

    /                 
    |                  ---
    | f(z) dz = 2 Pi j  >    Res(f,s) Ind(gamma,s)
    |                  ---
    / gamma            s in S                 

dove Res(f,s) è il residuo di f in s,
e Ind(gamma,s) è l'indice di avvolgimento di gamma intorno ad s.

Adesso, considera la tua equazione:
Codice:

                n
P(z)            ---  A{k}
---- = P0(z) +  >  ------
Q(z)            --- z-z{k}
                k=1

Funzioni uguali hanno residui uguali in punti uguali. Per ogni k, puoi considerare una circonferenza di centro z{k} e raggio talmente piccolo che nessun altro z{h} è contenuto al suo interno: l'integrale di 1/(z-z{k}) su tale circuito è notoriamente 2 Pi j, mentre l'integrale di 1/(z-z{h}) sullo stesso circuito è 0, perchè tale "polinomio inverso" è olomorfo in un aperto che contiene il circuito. Applicando il Teorema dei residui, trovi che A{k} è esattamente uguale a Res(f,z{k}): ed è questo il succo del metodo.

Per cui, tu hai:
Codice:

f(z) = (z-1)/(z^2+2z+2)(z^2+2z+5)
Il denominatore non si annulla per z=1, e ha quattro radici semplici z1, z2, z3 e z4 che puoi calcolare tranquillamente. Quelle radici sono i poli di f.

A proposito: dato che i poli sono semplici, puoi usare la formula:
Codice:

Res(f,z) = lim {w-->z} (w-z)f(w)

ChristinaAemiliana 01-09-2006 20:16

Uhm...per aiutare serbring al meglio sarebbe bene sapere se per caso fa ing elettronica o qualcosa di affine, in quanto in genere a ingegneria i poli complessi coniugati si trattano in una maniera un po' particolare...niente di difficile, semplicemente si sfrutta il fatto che, per le funzioni fratte di interesse, poli complessi coniugati hanno residui complessi coniugati e si scrive la scomposizione in una forma che è comoda per fare poi l'antitrasformata di Laplace (che a ingegneria si usa come il pane). ;)

Serbring, quello che ci hai linkato è il tuo libro di testo? O insomma, gli appunti messi a disposizione dal docente...:p

serbring 04-09-2006 10:16

grazie ragazzi...a me servirebbe la scomposizione per fare le antitrasformate di laplace. Col metodo illustrato da ziosilvio gli esercizi mi vengono anche se è un po' laborioso. Ne conoscete qualcuno di più rapido?

Ho un'altra domandina, scusate la banalità ma non riesco a trovare l'errore in questa relazione....

Ziosilvio 04-09-2006 13:12

Quote:

Originariamente inviato da serbring
Col metodo illustrato da ziosilvio gli esercizi mi vengono anche se è un po' laborioso. Ne conoscete qualcuno di più rapido?

Puoi mettere a sistema. Ma ho qualche dubbio che sia più rapido.
Quote:

non riesco a trovare l'errore in questa relazione
Infatti non c'è nessun errore: è un altro modo di scrivere la nota formula
Codice:

sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x

serbring 04-09-2006 16:51

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Puoi mettere a sistema. Ma ho qualche dubbio che sia più rapido.

Infatti non c'è nessun errore: è un altro modo di scrivere la nota formula
Codice:

sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x


guarda ieri ho fatto le prove con la calcolatrice e non mi era sembrata corretta....mah...

grazie!!Certo che ne sai di matematica....complimenti...:)

TALLA 05-09-2006 19:24

aiuto su integrale e serie
 
Come faccio a determinare l'insieme dei valori alpha>0 per cui



l'integrale è convergente?

Poi sempre i valori alpha>0 per cui




E l'insieme dei valori alpha>0 per cui la serie:



è convergente?

Grazie

Lucrezio 05-09-2006 20:17

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Come faccio a determinare l'insieme dei valori alpha>0 per cui



l'integrale è convergente?

La parte principale di sin(x) per x che tende a zero è x; quindi poiché il numeratore va a zero nella peggiore delle ipotesi come x^a è necessario che a sia strettamente maggiore di uno, in modo che la parte principale del tuo integrando sia 1/x^b con b minore di 1!
Quote:

Poi sempre i valori alpha>0 per cui




E l'insieme dei valori alpha>0 per cui la serie:



è convergente?

Grazie
Beh... il principio è sempre quello! Prova!

Ziosilvio 06-09-2006 09:40

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Come faccio a determinare l'insieme dei valori alpha>0 per cui



l'integrale è convergente?

Innanzitutto, spezza:



Dato che , il secondo integrando è prolungabile per continuità nell'origine, per cui il secondo integrale non dà problemi.

Per lo stesso motivo, in un intorno destro dell'origine si comporta come x^(alpha-2). Tale funzione è integrabile tra 0 e 2 se e solo se alpha-2>-1, ossia se alpha>1.
Quote:

Poi sempre i valori alpha>0 per cui


Poni y=x-2. Allora:



Dato che , in un intorno destro dell'origine l'integrando si comporta come , che è integrabile tra 0 e 1 se e solo se...
Quote:

E l'insieme dei valori alpha>0 per cui la serie:



è convergente?
Hai l'indice di sommatoria a esponente, quindi ti conviene applicare il Criterio del confronto con una serie esponenziale.
Ovviamente, per , converge a... quindi devi avere...

TALLA 06-09-2006 09:59

Quindi la serie



all'infinito va come

quindi per convergere dev'essere >1 e quindi se non sbaglio
a>3 se il ragionamento è giusto il risultato è ben corretto, ma ho ancora un dubbio sul primo integrale:
per x che tende a 0 ho che è asintotico a x quindi otterrei

cioè
Per convergere
-a+1>1
e quindi a<2 ma il che è sbagliato...

TALLA 06-09-2006 10:20

poi un altro dubbietto scusa, nel primo integrale
sostituendo si ha appunto
che converge se a-1>1 il che dev'essere a>2...ma è sbagliato

Ziosilvio 06-09-2006 10:36

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
Quindi la serie



all'infinito va come

No: come .
Quote:

quindi per convergere dev'essere >1
Se 3/a > 1, cosa fa (3/a)^n ?
Quote:

e quindi se non sbaglio a>3
Sì, ma il motivo non è quello che hai detto tu.
Quote:

ho ancora un dubbio sul primo integrale:
per x che tende a 0 ho che è asintotico a x
No, a x^2.
Quote:

quindi otterrei

cioè
Otterresti se fosse così; ma non è così, e non devi stupirti se non ottieni.
Quote:

Per convergere
-a+1>1
e quindi a<2 ma il che è sbagliato...
E vorrei vedere.

Ziosilvio 06-09-2006 10:40

Quote:

Originariamente inviato da TALLA
poi un altro dubbietto scusa, nel primo integrale
sostituendo si ha appunto
che converge se a-1>1

No: se a-1 < 1.

Mi sa che hai un po' di confusione sul comportamento di x^a tra 0 e 1, e tra 1 e oo...

TALLA 06-09-2006 11:09

E' si....quando non si sa la teoria! :muro:

Convintissimo che il comportamento dell'integrale tra 0 e 1 sia uguale a quello tra 0 e oo

Adesso vedo di trovare la spiegazione della serie da qualche parte

Grazie mille ancora x la pazienza

Lucrezio 06-09-2006 11:15

P.S.: Noto con piacere che anche il miglior matematico del forum si è finalmente deciso a passare al LaTeX!


Tutti gli orari sono GMT +1. Ora sono le: 19:37.

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